Геометрический способ решения дифференциальных уравнений

дЙЖЖЕТЕОГЙБМШОЩН ХТБЧОЕОЙЕН ОБЪЩЧБЕФУС ХТБЧОЕОЙЕ, УЧСЪЩЧБАЭЕЕ ОЕЪБЧЙУЙНХА РЕТЕНЕООХА x , ЙУЛПНХА ЖХОЛГЙА y(x) Й РТПЙЪЧПДОХА ЙУЛПНПК ЖХОЛГЙЙ.

уЙНЧПМЙЮЕУЛЙ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ НПЦОП ОБРЙУБФШ ФБЛ

оЕЙЪЧЕУФОПК ЪДЕУШ СЧМСЕФУС ЖХОЛГЙС y , ЧИПДСЭБС РПД ЪОБЛ РТПЙЪЧПДОЩИ (ЙМЙ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМПЧ).

еУМЙ ЙУЛПНБС ЖХОЛГЙС y(x) ЕУФШ ЖХОЛГЙС ПДОПК ОЕЪБЧЙУЙНПК РЕТЕНЕООПК, ФП ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ОБЪЩЧБЕФУС ПВЩЛОПЧЕООЩН . ч ЬФПК ЗМБЧЕ НЩ ВХДЕН ТБУУНБФТЙЧБФШ ФПМШЛП ПВЩЛОПЧЕООЩЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОЩЕ ХТБЧОЕОЙС.

рПТСДЛПН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС ОБЪЩЧБЕФУС РПТСДПЛ ОБЙЧЩУЫЕК РТПЙЪЧПДОПК, ЧИПДСЭЕК Ч ХТБЧОЕОЙЕ.

оБРТЙНЕТ, ХТБЧОЕОЙЕ

ЕУФШ ХТБЧОЕОЙЕ РЕТЧПЗП РПТСДЛБ, Б ХТБЧОЕОЙЕ

— ХТБЧОЕОЙЕ ЧФПТПЗП РПТСДЛБ.

тЕЫЕОЙЕН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС ОБЪЩЧБЕФУС ЧУСЛБС ЖХОЛГЙС y(x), ЛПФПТБС ВХДХЮЙ РПДУФБЧМЕООПК Ч ХТБЧОЕОЙЕ, ПВТБЭБЕФ ЕЗП Ч ФПЦДЕУФЧП. тЕЫЕОЙЕ ЕЭЕ ОБЪЩЧБЕФУС ЙОФЕЗТБМПН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

рТЙНЕТ

тБУУНПФТЙН ХТБЧОЕОЙЕ .

жХОЛГЙС СЧМСЕФУС ТЕЫЕОЙЕН ЬФПЗП ХТБЧОЕОЙС.

дЕКУФЧЙФЕМШОП,

Й ХТБЧОЕОЙЕ ПВТБЭБЕФУС Ч ФПЦДЕУФЧП:
.
тЕЫЕОЙЕН ТБУУНБФТЙЧБЕНПЗП ХТБЧОЕОЙС ВХДХФ Й ЖХОЛГЙЙ

Й ЧППВЭЕ ЖХОЛГЙЙ
, ЗДЕ Й — РТПЙЪЧПМШОЩЕ РПУФПСООЩЕ.
ч УБНПН ДЕМЕ

Й ХТБЧОЕОЙЕ ПВТБЭБЕФУС Ч ФПЦДЕУФЧП
.

ъБНЕФЙН, ЮФП ТБУУНБФТЙЧБЕНПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЙНЕЕФ ВЕУЮЙУМЕООПЕ НОПЦЕУФЧП ТЕЫЕОЙК ЧЙДБ: .

тЕЫЕОЙЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОЩИ ХТБЧОЕОЙК РЕТЧПЗП РПТСДЛБ

дЙЖЖЕТЕОГЙБМШОЩН ХТБЧОЕОЙЕН РЕТЧПЗП РПТСДЛБ ОБЪЩЧБЕФУС ХТБЧОЕОЙЕ, УЧСЪЩЧБАЭЕЕ ОЕЪБЧЙУЙНХА РЕТЕНЕООХА x , ЙУЛПНХА ЖХОЛГЙА y(x) Й РТПЙЪЧПДОХА РЕТЧПЗП РПТСДЛБ ЙУЛПНПК ЖХОЛГЙЙ.

дЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РЕТЧПЗП РПТСДЛБ ЙНЕЕФ ЧЙД .

пВЭЕЕ Й ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ

пВЭЙН ТЕЫЕОЙЕН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ ОБЪЩЧБЕФУС ТЕЫЕОЙЕ , ЪБЧЙУСЭЕЕ ПФ ПДОПК РТПЙЪЧПМШОПК РПУФПСООПК C , РТЙДБЧБС ЛПОЛТЕФОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ЛПФПТПК , НПЦОП РПМХЮЙФШ ТЕЫЕОЙЕ , ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЕ МАВПНХ ЪБДБООПНХ ОБЮБМШОПНХ ХУМПЧЙА .

тБЧЕОУФЧП ЧЙДБ , ОЕСЧОП ЪБДБАЭЕЕ ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ, ОБЪЩЧБЕФУС ПВЭЙН ЙОФЕЗТБМПН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС.
ъБНЕФЙН, ЮФП Ч РТБЛФЙЛЕ ЮБЭЕ ЧУЕЗП ВЩЧБЕФ ОХЦОЩН ОЕ ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ, Б ФБЛ ОБЪЩЧБЕНПЕ ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ,ПФЧЕЮБАЭЕЕ ПРТЕДЕМЕООЩН ОБЮБМШОЩН ХУМПЧЙСН, ЧЩФЕЛБАЭЙН ЙЪ ХУМПЧЙС ДБООПК ЛПОЛТЕФОПК ЪБДБЮЙ.
юБУФОЩН ТЕЫЕОЙЕН ОБЪЩЧБЕФУС МАВБС ЖХОЛГЙС , ЛПФПТБС РПМХЮБЕФУС ЙЪ ПВЭЕЗП ТЕЫЕОЙС ,ЕУМЙ Ч РПУМЕДОЕН РТПЙЪЧПМШОПК РПУФПСООПК C РТЙДБФШ ПРТЕДЕМЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ . уППФОПЫЕОЙЕ ОБЪЩЧБЕФУС Ч ЬФПН УМХЮБЕ ЮБУФОЩН ЙОФЕЗТБМПН .
ъБДБЮБ ПФЩУЛБОЙС ТЕЫЕОЙС ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС y I = f(x,y) , ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЗП ЪБДБООЩН ОБЮБМШОЩН ХУМПЧЙСН y(x_o ) = y_o, ОБЪЩЧБЕФУС ЪБДБЮЕК лПЫЙ .

фЕПТЕНБ лПЫЙ
еУМЙ ЖХОЛГЙС f(x,y) — РТБЧБС ЮБУФШ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС y I = f(x,y) — ОЕРТЕТЩЧОБ Ч ОЕЛПФПТПК ЪБНЛОХФПК ПВМБУФЙ D РМПУЛПУФЙ xOy Й ЙНЕЕФ Ч ЬФПК ПВМБУФЙ ПЗТБОЙЮЕООХА ЮБУФОХА РТПЙЪЧПДОХА f I _y (x,y), ФП ЛБЦДПК ЧОХФТЕООЕК ФПЮЛЕ ПВМБУФЙ D УППФЧЕФУФЧХЕФ, Й РТЙФПН ЕДЙОУФЧЕООПЕ, ТЕЫЕОЙЕ, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЕ ОБЮБМШОЩН ХУМПЧЙСН.

рТЙНЕТ

тБУУНПФТЙН ХТБЧОЕОЙЕ
.

пВЭЙН ТЕЫЕОЙЕН ЬФПЗП ХТБЧОЕОЙС СЧМСЕФУС УЕНЕКУФЧП ЖХОЛГЙК
.

дЕКУФЧЙФЕМШОП, РТЙ МАВПН ЪОБЮЕОЙЙ C ЬФБ ЖХОЛГЙС ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ХТБЧОЕОЙА: .
лТПНЕ ФПЗП, ЧУЕЗДБ НПЦОП ОБКФЙ ФБЛПЕ ЪОБЮЕОЙЕ C, ЮФП УППФЧЕФУФЧХАЭЕЕ ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ВХДЕФ ХДПЧМЕФЧПТСФШ ЪБДБООПНХ ОБЮБМШОПНХ ХУМПЧЙА.

оБКДЕН, ОБРТЙНЕТ, ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЕ ОБЮБМШОПНХ ХУМПЧЙА y(1)=-2. рПДУФБЧМСС ЬФЙ ЪОБЮЕОЙС Ч ХТБЧОЕОЙЕ
,
РПМХЮЙН
.
тЕЫБС ЬФП ХТБЧОЕОЙЕ ПФОПУЙФЕМШОП C РПМХЮЙН C = — 3.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ЙУЛПНЩН ЮБУФОЩН ТЕЫЕОЙЕН ВХДЕФ ЖХОЛГЙС: Y = X 2 — 3.

ьФП ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ЙУРПМШЪХС ОЙЦЕРТЙЧЕДЕООЩК БРРМЕФ ДМС РПУФТПЕОЙС РПМС ОБРТБЧМЕОЙК Й ЙОФЕЗТБМШОЩИ ЛТЙЧЩИ ДМС ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ.

у ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК УЕНЕКУФЧП ЛТЙЧЩИ ОБ РМПУЛПУФЙ xOy , ЪБЧЙУСЭЕЕ ПФ ПДОПК РТПЙЪЧПМШОПК РПУФПСООПК C . ьФЙ ЛТЙЧЩЕ ОБЪЩЧБАФУС ЙОФЕЗТБМШОЩНЙ ЛТЙЧЩНЙ ДБООПЗП ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС.
юБУФОПНХ ТЕЫЕОЙА УППФЧЕФУФЧХЕФ ПДОБ ЙОФЕЗТБМШОБС ЛТЙЧБС, РТПИПДСЭБС ЮЕТЕЪ ОЕЛПФПТХА ЪБДБООХА ФПЮЛХ. фБЛ, Ч РПУМЕДОЕН РТЙНЕТЕ ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ ЙЪПВТБЪЙФУС УЕНЕКУФЧПН РБТБВПМ, РТЙЮЕН ЛБЦДПНХ ЪОБЮЕОЙА РБТБНЕФТБ C ВХДЕФ УППФЧЕФУФЧПЧБФШ ЧРПМОЕ ПРТЕДЕМЕООБС ЛТЙЧБС. юБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ЙЪПВТБЪЙФУС РБТБВПМПК (ТЙУ. 1. ) РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ ФПЮЛХ ъБНЕФЙН, ЮФП ЪБДБФШ ОБЮБМШОПЕ ХУМПЧЙЕ ДМС ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ У ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС ПЪОБЮБЕФ ЪБДБФШ ФПЮЛХ , ЮЕТЕЪ ЛПФПТХА ДПМЦОБ РТПКФЙ УППФЧЕФУФЧХАЭБС ЙОФЕЗТБМШОБС ЛТЙЧБС.

тЕЫЙФШ ЙМЙ РТПЙОФЕЗТЙТПЧБФШ ДБООПЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЬФП ЪОБЮЙФ:

Б) ОБКФЙ ЕЗП ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ЙМЙ ПВЭЙК ЙОФЕЗТБМ, ЕУМЙ ОЕ ЪБДБОЩ ОБЮБМШОЩЕ ХУМПЧЙС,

В) ОБКФЙ ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЕ ЪБДБООЩН ОБЮБМШОЩН ХУМПЧЙСН.

зЕПНЕФТЙЮЕУЛБС ЙОФЕТРТЕФБГЙС ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ

рХУФШ ДБОП ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ, ТБЪТЕЫЕООПЕ ПФОПУЙФЕМШОП РТПЙЪЧПДОПК: .
ьФП ХТБЧОЕОЙЕ ДМС ЛБЦДПК ФПЮЛЙ ПРТЕДЕМСЕФ ЪОБЮЕОЙЕ РТПЙЪЧПДОПК , Ф.Е. ПРТЕДЕМСЕФ ХЗМПЧПК ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ЛБУБФЕМШОПК Л ЙОФЕЗТБМШОПК ЛТЙЧПК, РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ ЬФХ ФПЮЛХ.
фБЛЙН ПВТБЪПН, ТБУУНБФТЙЧБЕНПЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ДБЕФ УПЧПЛХРОПУФШ ОБРТБЧМЕОЙК ЙМЙ, ЛБЛ ЗПЧПТСФ, ПРТЕДЕМСЕФ РПМЕ ОБРТБЧМЕОЙК ЙМЙ РПМЕ МЙОЕКОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ . ъБДБЮБ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС ФБЛПЗП ХТБЧОЕОЙС, У ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, ЪБЛМАЮБЕФУС Ч ОБИПЦДЕОЙЙ ЛТЙЧЩИ, ОБРТБЧМЕОЙЕ ЛБУБФЕМШОЩИ Л ЛПФПТЩН УПЧРБДБЕФ У ОБРТБЧМЕОЙЕН РПМС МЙОЕКОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ Ч УППФЧЕФУФЧХАЭЙИ ФПЮЛБИ .

рТЙНЕТ

тБУУНПФТЙН ХТБЧОЕОЙЕ
.
ч ЛБЦДПК ФПЮЛЕ (x,y), ПФМЙЮОПК ПФ ФПЮЛЙ (0,0), ХЗМПЧПК ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ЛБУБФЕМШОПК Л ЙОФЕЗТБМШОПК ЛТЙЧПК ТБЧЕО ПФОПЫЕОЙА , Ф.Е. УПЧРБДБЕФ У ХЗМПЧЩН ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПН РТСНПК, РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ Й ФПЮЛХ У ЛППТДЙОБФБНЙ (x,y). пЮЕЧЙДОП, ЮФП ЙОФЕЗТБМШОЩНЙ ЛТЙЧЩНЙ ВХДХФ РТСНЩЕ y=Cx, ЗДЕ C — РТПЙЪЧПМШОБС РПУФПСООБС, Ф.Л. ОБРТБЧМЕОЙЕ ЬФЙИ РТСНЩИ ЧУАДХ УПЧРБДБЕФ У ОБРТБЧМЕОЙЕН РПМС.

фЕПТЕНБ УХЭЕУФЧПЧБОЙС Й ЕДЙОУФЧЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

тБУУНБФТЙЧБС ХТБЧОЕОЙЕ РЕТЧПЗП РПТСДЛБ , ТБЪТЕЫЕООПЕ ПФОПУЙФЕМШОП РТПЙЪЧПДОПК, НЩ УФБЧЙМЙ ЧПРТПУ ПВ ПФЩУЛБОЙЙ ЕЗП ПВЭЕЗП ТЕЫЕОЙС Й, ЕУМЙ ЪБДБОП ОБЮБМШОПЕ ХУМПЧЙЕ ЮБУФОПЗП ТЕЫЕОЙС, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЗП ЬФПНХ ХУМПЧЙА.
чПЪОЙЛБЕФ ЧПРТПУ: ЧУЕЗДБ МЙ УХЭЕУФЧХЕФ ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЕ ЪБДБООПНХ ОБЮБМШОПНХ ХУМПЧЙА Й ЕУМЙ УХЭЕУФЧХЕФ, ВХДЕФ МЙ ПОП ЕДЙОУФЧЕООЩН.
тБУУНПФТЙН, ОБРТЙНЕТ, ХТБЧОЕОЙЕ
.
пВЭЙН ТЕЫЕОЙЕН СЧМСЕФУС ЖХОЛГЙС , Б ЙОФЕЗТБМШОЩНЙ ЛТЙЧЩНЙ — УЕНЕКУФЧП ЗЙРЕТВПМ, РТЙЮЕН ЮЕТЕЪ ЛБЦДХА ФПЮЛХ , ОЕ МЕЦБЭХА ОБ ПУЙ Oy РТПИПДЙФ ПДОБ Й ФПМШЛП ПДОБ ЙОФЕЗТБМШОБС ЛТЙЧБС, Ф.Е. ТБУУНБФТЙЧБЕНПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЙНЕЕФ ЕДЙОУФЧЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ, РТПИПДСЭЕЕ ЮЕТЕЪ ФПЮЛХ, ОЕ МЕЦБЭХА ОБ ПУЙ Oy , ОП ПОП ОЕ ЙНЕЕФ ТЕЫЕОЙС, РТПИПДСЭЕЗП ЮЕТЕЪ ФПЮЛХ, ЧЪСФХА ОБ ПУЙ Oy .
ьФПФ РТЙНЕТ РПЛБЪЩЧБЕФ, ЮФП ОЕ ЧУЕЗДБ УХЭЕУФЧХЕФ ТЕЫЕОЙЕ, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЕ ЪБДБООПНХ ОБЮБМШОПНХ ХУМПЧЙА.
ч ОЕЛПФПТЩИ УМХЮБСИ ТЕЫЕОЙЕ НПЦЕФ ПЛБЪБФШУС ОЕ ЕДЙОУФЧЕООЩН.
фБЛ, ОБРТЙНЕТ, ХТБЧОЕОЙЕ

ЙНЕЕФ ВЕУЛПОЕЮОПЕ НОПЦЕУФЧП ТЕЫЕОЙК, РТПИПДСЭЙИ ЮЕТЕЪ ФПЮЛХ (0,0) .
ч УБНПН ДЕМЕ, ЖХОЛГЙС СЧМСЕФУС ПВЭЙН ТЕЫЕОЙЕН ЬФПЗП ХТБЧОЕОЙС, Б РТЙ МАВПН ЪОБЮЕОЙЙ C РТСНБС РТПИПДЙФ ЮЕТЕЪ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ.
оБ ЧПРТПУ, РТЙ ЛБЛЙИ ХУМПЧЙСИ ДМС ХТБЧОЕОЙС НПЦОП ЗБТБОФЙТПЧБФШ УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ Й ЕДЙОУФЧЕООПУФШ ТЕЫЕОЙС, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЗП ЪБДБООПНХ ОБЮБМШОПНХ ХУМПЧЙА , ПФЧЕЮБЕФ УМЕДХАЭБС ФЕПТЕНБ.

Источник