Учебник по теории вероятностей
1.3. Геометрическое определение вероятности
Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие A – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G.
Если для простоты считать, что все точки G «равноправны» (выбор точек равномерен внутри области), то вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.
Геометрическая вероятность события А определяется отношением: $$ P(A)=\frac
Чаще всего, в одномерном случае речь будет идти о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, в трехмерном — об объемах тел.
При этом, некоторые задачи сразу имеют геометрическую интерпретацию (первый пример), а другие выглядят как задачи «про жизнь», самая распространенная из них — задача о встрече (второй пример).
Основная сложность при решении задач такого типа — построить математическую модель эксперимента, нужным образом выбрать пространство элементарных исходов, обозначить событие, выразить его математически как некоторую область. К сожалению, единого рецепта решения подобых заданий нет, нужно «набить» руку на разных задачах (см. примеры тут, например).
Примеры решений на геометрическую вероятность
Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной $2d$, расстояние между осевыми линиями которых равно $2D$, наудачу брошен круг радиуса $r$ ($r+d\lt D$). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.
Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние $x$ от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы (ее обозначим за 0). Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок, равный половине расстояния между осями полос $G=\
Рассмотрим теперь случаи, благоприятствующие событию $A$ = (Круг пересечет полосу), и найдем меру соответствующей области точек. На чертеже выше покажем различные варианты выпадения круга.
Пересечение круга с полосой очевидно произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу (точнее, ее половину), т.е. координата центра круга удовлетворяет неравенству $0 \le x \le d$, длина этого отрезка $d$.
Также круг пересечет полосу, если его центр будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус (если равен радиусу — круг коснется полосы, если больше — то отстоит от полосы), т.е. когда $d \le x \le d+r$ (длина этого отрезка $r$).
Тогда вероятность события $A$ по геометрическому определению вероятности: $$ P(A)=\frac
Пример. Два человека договорились встретиться в определенном месте от 17 до 18 часов. При этом каждый обязался после прихода на место встречи ожидать другого 30 минут. Какова вероятность встречи этих людей, если каждый из них равновозможно придет в течение указанного интервала времени?
Решение. Обозначим моменты прихода первого и второго человека за $x$ и $y$. Так как они приходят в промежуток длительности 60 минут (от 17 до 18 часов), то справедливы следующие условия: $0 \le x \le 60$ и $0 \le y \le 60$.
Рассмотрим прямоугольную систему координат $xOy$. В этой системе координат всем возможным значениям времени прихода людей соответствуют точки квадрата со стороной 60.
Лица встретятся, если один человек придет раньше, чем уйдет другой, то есть если $y \lt x+30$, когда $y \gt x$ (второй пришел позже первого, но не позже чем через 30 минут от него) и $x \lt y+30$, когда $y \lt x$ (первый пришел позже второго, не но позже чем через 30 минут).
Более компактно запишем условия $$ x \lt y \lt x+30 \quad \text < или >\quad x-30 \lt y \lt x. \quad (*) $$
Построим прямые $y=x$, $y=x-30$, $y=x+30$ и закрасим область, лежащую внутри квадрата, точки которой удовлетворяют условиям (*). Точки этой фигуры (серый шестиугольник в центре) являются благоприятствующими событию $A$ =(люди встретятся).
Тогда искомая вероятность встречи по геометрическому определению вероятности равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата: $$ P=\frac<60^2-1/2\cdot 30^2-1/2\cdot 30^2><60^2>=\frac<3600-900><3600>=\frac<3><4>=0,75. $$
Источник
Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности применимо для несовместных событий, в которых число равновозможных исходов бесконечно, например, попадания точки на участок отрезка, плоскости, пространства, объёма.
Общая формула для определения геометрической вероятности:
Отношение меры области g, благоприятствующей событию А, к мере всей области G.
Формула геометрической вероятности попадания точки на участок отрезка L для одномерного пространства равна:
Формула геометрической вероятности попадания точки в область пространства S для фигур в двухмерном пространстве равна:
Формула геометрической вероятности попадания точки в заданный объём для фигур в трёхмерном пространстве V равна:
Пример 1
Решение
Пример 2
Решение
Аналогично первому примеру, вероятность равна:
P(A)=l/L=10/20=1/2
Пример 3
В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
Пример 4
Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры
Решение
P(A)=0.5·πr 2 /πr 2 =0.5
Пример 5
Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).
Источник
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №37. Геометрическая вероятность.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Геометрическая вероятность
- Задачи на геометрическую вероятность
Глоссарий по теме
Испытанием называется осуществление определенных действий.
Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.
Любой результат испытания называется исходом.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
Геометрической вероятностью некоторого события называется отношение P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9. сс.253-259.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вероятность наступления некоторого события A в испытании равна P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов.
Пусть на плоскости задана некоторая область D, площадь которой равна S(D), и в ней содержится область d, площадь которой равна s(d). В области D наудачу ставится точка. Тогда вероятность события А – «точка попадает в область d» равна числу P(A) = s(d)/S(D).
Рисунок 1 — иллюстрация геометрической вероятностей
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l равна P(A) = |l|/|L|.
Пусть пространственная фигура d составляет часть фигуры D. В фигуру D наудачу ставится точка. Вероятность попадания точки в фигуру d равна P(A) = V(d)/V(D).
Пример использования геометрического определения вероятности при решении задачи.
Два друга договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи друзей, если приход каждого из них может произойти
наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
х — момент прихода первого друга
y — момент прихода второго друга
Рисунок 2 — Иллюстрация к задаче
S=60 2 –2·1/2·40 2 =2000
P(A) = 2000/60 2 = 5/9.
Ответ: вероятность встречи 5/9.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Метровый шнур случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.
Общему числу исходов соответствует длина шнура 1 м. Чтобы длина обрезка составила не менее 0,8 м, можно отрезать не более 0,2 м. Такие отрезы можно выполнить с любой стороны шнура, их суммарная длина равна 0,2+0,2=0,4 м. По геометрическому определению:
Пример 2. В шар брошена случайная точка.
2а) С какой вероятностью она попадёт в центр шара?
Объём одной точки (центра шара) равен нулю, значит и искомая вероятность равна 0
2б) С какой вероятностью она попадёт на какой-нибудь диаметр шара?
Любая точка шара всегда попадает на какой-нибудь диаметр. Поэтому вероятность равна единице.
2в) С какой вероятностью она попадёт в одно, определённое, полушарие?
При решении этой задачи используем отношение объемов фигур. Пусть весь объём шара равен V. Все точки шара — трёхмерная фигура Ω. Искомая вероятность равна отношению объёма полушария V(A) к объёму шара V:
Пример 3. В круг радиуса 
см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. При необходимости в расчетах используйте значение π с точностью до целых.
Площадь круга равна 
Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна диаметру круга (прямой угол опирается на диаметр), то есть 
.
Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны между собой, и по теореме Пифагора каждый катет равен 
. Площадь такого треугольника будет равна 
(можно найти площадь треугольника, не вычисляя длины катета: рассмотрим квадрат со стороной, равной гипотенузе нашего треугольника, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника 
Вероятность попадания точки в треугольник равна отношению площадей треугольника и круга:
Источник
