Геометрические способы задания плоскости

Способы задания плоскости в пространстве

Все возможные способы задания плоскости в пространстве представлены в следующей таблице.

Аксиома о плоскости, заданной тремя точками.

Через три различные точки в пространстве проходит одна и только одна плоскость.

Теорема о плоскости, определяемой прямой и точкой.

Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми.

Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми.

Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Аксиома о плоскости, заданной тремя точками.

Через три различные точки в пространстве проходит одна и только одна плоскость.

Теорема о плоскости, определяемой прямой и точкой.

Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми.

Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми.

Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Утверждение . Через любую прямую в пространстве проходит бесконечно много плоскостей (рис.5).

Замечание . Через любые две скрещивающиеся прямые скрещивающиеся прямые не проходит ни одной плоскости.

Источник

Геометрические способы задания плоскости

Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис. 41 );

Фигура	Рисунок	Тип утверждения и формулировка
Три различные точки
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой
Две пересекающиеся прямые
Две параллельные прямые
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой

Рисунок 41. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

а) модель		б) эпюр

2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис. 4 2);

Рисунок 42. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии

а) модель		б) эпюр

3. двумя пересекающимися прямыми (рис.43);

Рисунок 43. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми

а) модель		б) эпюр

4. двумя параллельными прямыми (рис.44);

Рисунок 44. Плоскость, заданная двумя п араллельны ми прямы ми

а) модель		б) эпюр

5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис.45).

С ледом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная a плоскость различают горизонтальный a _П1, фронтальный a _П2 и профильный a _П3 следы.

Рисунок 45. Плоскость, заданная следами

а) модель		б) эпюр

Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках a _x , a _y , a _z . Эти точки называются точками схода следов , их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.

Источник

Лекция 3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ₁, фронтальный – απ₂ и профильный – απ₃, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π₁, фронтальной π₂ и профильной π₃ (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

\left.\begin\alpha=m\parallel n,\\D\in\alpha\\C\in\alpha\\\end\right\> \Longrightarrow CD\in\alpha

Упражнение

Рисунок 3.7 – Решение задачи

Решение :

1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим фронтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K: A₂C₂ ∩ B₂D₂=K₂.
4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD: на проекции диагонали B₁D₁ строим К₁.
5. Через А₁К₁ проводим проекцию диагонали А₁С₁.
6. Точку С₁ получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А₁К₁.

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π₁) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π₂) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π₃) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Интерактивная модель Горизонталь плоскости

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Интерактивная модель Фронталь плоскости

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Интерактивная модель Профильная прямая плоскости

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

\alpha=m\cap n\\\left.\begina_2\parallel m_2\\a_1\parallel m_1\\\end\right\> \Rightarrow a\parallel\alpha

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN.

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π₁. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение :

1. 1. Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К₁∈А₁В и заданной плоскости σ ⇒ К₁∈σ, следовательно, К₁ находится в точке пересечения проекций А₁В₁ и σ₁;
   2. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ₁ (горизонтальный след плоскости);
   3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К₂∈А₂В₂.

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

Решение:

1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
2. Если α⊥π₁, то на плоскость проекций π₁ плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ₁ или α₁), совпадающую с E₁F₁;
3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено ниже);
4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K.

Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б): Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

1. \left.\begin\alpha \perp \pi_1\\\alpha\in EF\\\end\right\> \Longrightarrow \alpha_1\in E_1F_1
2. \alpha\cap\sigma=(1-2)\left.\begin|\alpha_1\cap A_1C_1=1_1\longrightarrow 1_2\\|\alpha_1\cap A_1B_1=2_1\longrightarrow 2_2\\\end\right.
3. (1_2-2_2)\cap E_2F_2=K_2\\\left.\beginK\in EF\\K\in (1-2)\Rightarrow K\in\sigma\\\end\right\>\Longrightarrow K=EF\cap (\sigma =\triangle ABC)

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π₁ или π₂.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π₂ (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π₂ – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₂ надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π₂.
Направление взгляда на π₂ показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π₂, видно, что точка 4₁ располагается ближе к наблюдателю, чем 3₁.
4₁∈E₁F₁ ⇒ 4∈EF ⇒ на π₂ будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π₁.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π₁ – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₁ надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π₁.
Направление взгляда на π₁ показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π₁, видно, что точка 2₂ располагается ближе к наблюдателю, чем 5₂.
2₂∈А₂В₂ ⇒ 2∈АВ ⇒ на π₁ будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

Решение : В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

1. Через точку F проводим прямую m, параллельную, например, АВ.
2. Через точку F, или же через любую точку, принадлежащую m, проводим прямую n, параллельную, например, ВС, причём m∩n=F.
3. β = m∩n и β//α по определению.

Интерактивная модель Параллельность двух плоскостей

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Порядок построения линии пересечения плоскостей:

1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М₁ и М₂, при этом М₁=М, т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π₁).
2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N₁ и N₂, при этом N₂=N, т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π₂).
3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М₁N₁ и М₂N₂.

МN – линия пересечения плоскостей.

Упражнение

Решение:
Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС, то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.
Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L, то есть K₁ и L₁ , на пересечении горизонтального следа (α₁) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС: А₁В₁ и A₁C₁. После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K₂ и L₂ на фронтальных проекциях прямых АВ и АС. Соединим одноимённые проекции: K₁ и L₁; K₂ и L₂. Линия пересечения заданных плоскостей построена.

Алгоритм решения задачи :

\left.\beginAB\cap\sigma=K\\AC\cap\sigma=L\\\end\right\> \left.\begin\Rightarrow A_1B_1\cap\sigma_1=K_1 \rightarrow K_2\\\Rightarrow A_1C_1\cap \sigma_1=L_1 \rightarrow L_2\\\end\right.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

\left.\begin\alpha\cap\sigma=(4-5)\\\beta\cap\sigma=(3-2)\\\end\right\>\\\left.\begin\alpha\cap\tau=(6-7)\\\beta\cap\tau=(1-8)\\\end\right\>\left.\begin(4_1-5_1)\cap(3_1-2_1)=M_1\rightarrow M_2\\(6_1-7_1)\cap(1_1-8_1)=N_1\rightarrow N_2\\\end\right\>\rightarrow\\\left.\beginM_1N_1\\M_2N_2\\\end\right\>\Rightarrow\alpha\cap\beta=MN

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π₂, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π₂ (τ∈b). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π₂ и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C₁D₁ должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π₂, если его диагональ MN //π₂ (Рисунок 3.26).

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π₁.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π₁.

Источник