Функция способы задания функций преобразования графиков функции

Презентация по математике на тему «Функции.Способы ее задания. Преобразования графиков»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Числовая функция Определение. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от x. x – аргумент функции (независимая переменная) Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x)

Область определения функции f обозначают D(f). Множество, состоящее из всех чисел f(x), таких, что х принадлежит области определения функции f, называют областью значений функции f и обозначают E(f).

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Объединение множеств А и В обозначается так:

Функции вида f(x)=p(x), где p(x) – многочлен, называют целыми рациональными функциями, а функции вида где p(x) и q(x) – многочлены, называют дробно-рациональными функциями.

График функции Графиком функции f называют множество всех точек (х, у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f. 0 x y y=f(x)

Линейная функция y = kx + b k – угловой коэффициент k = tg α b – свободный коэффициент b x y α 0

Свойства линейной функции 1о D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; +∞). 2о Если b = 0, то функция нечетная. Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная. 3о Если х = 0, то у = b, если у = 0, то х = − . 4о Если k > 0, то функция возрастает при х (−∞; +∞). Если k 9 слайд

Степенная функция y = xn x y 0 y = xn, где n = 2k, k Z y = xn, где n = 2k +1, k Z 1 1

Свойства степенной функции y = xn Если n = 2k, где k  Z 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=[0 ; +∞). 3о Функция четная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х[0 ; +∞); убывает при х(−∞; 0]. Если n = 2k +1, где k  Z 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=(−∞; +∞). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х(−∞; +∞).

Степенная функция y = x-n, n – четное 0 x y

0 x y Степенная функция y = x-n, n – нечетное

Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, а ≠ 0 x y 0 c x1 x2 xв ув

Свойства квадратичной функции 1о D(y) = (−∞; +∞). 2о Если a > 0, то E(y) = [ув ; +∞); Если a 0, то функция возрастает при х[xв ; +∞); функция убывает при х(−∞; хв ]. Если a 15 слайд

Обратная пропорциональность 0 x y

Свойства обратной пропорциональности 1о D(y) = (−∞; 0)u(0; +∞) 2о E(y) = (−∞; 0)u(0 ; +∞) 3о Функция нечетная. 4о х ≠ 0, у ≠ 0. 5о Если k > 0, то функция убывает при х(−∞; 0)u(0; +∞). Если k 17 слайд

Тригонометрические функции y = sin x и y = cos x y = sin x x y 0 1 -1 y = cos x

Свойства функции y = sin x 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=[−1; 1]. 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при Функция убывает при 6о

Свойства функции y = cos x 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=[−1; 1]. 3о Функция четная. 4о Если х = 0, то у = 1. 5о Функция возрастает при х[−π+2πn;2πn], nZ. Функция убывает при х[2πn; Π+2πn], где nZ. 6o xmax = 2πn; xmin = π+2πn, где nZ.

Тригонометрические функции y = tg x и y = ctg x 0 1 -1 y = ctg x y = tg x у π −π −2π 2π x

Свойства функции y = tg x 1о D(y)= где nZ. 2о E(y)=(−∞; +∞). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х где nZ. 6o Экстремумов нет.

Свойства функции y = ctg x 1о D(y)=(πn; π+πn), где nZ 2о E(y)=(−∞; +∞). 3о Функция нечетная. 4о х ≠ 0; у = 0 если х , где nZ. 5о Функция убывает при х(πn; π+πn), где nZ. 6o Экстремумов нет.

Преобразование графиков Параллельный перенос на вектор (0;b) вдоль оси ординат. Для построения графика функции f(x)+b, где b – постоянное число, надо перенести график f на вектор (0;b) вдоль оси ординат.

Преобразование вида y = f(x)+b — Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на b единиц вдоль оси ординат Если b > 0, то происходит Если b 25 слайд

Преобразование вида y = f(x)+b x y 0 b y = x2 y = x2 + b

Растяжение вдоль оси Оу с коэффициентом k Для построения графика функции y=kf(x) надо растянуть график функции y=f(x) в k раз вдоль оси ординат.

Замечание. Если 0 28 слайд

Преобразование вида y = kf(x) — Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f(x) вдоль оси ординат Если , |k| > 1, то происходит Если , |k| 29 слайд

Преобразование вида y = kf(x) x y 1 1 k 0

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (а;0) График функции y=f(x-a) получается из графика f переносом (вдоль оси абсцисс) на вектор (а;0). Если а>0, то вектор (а;0) направлен в положительном направлении оси абсцисс, а при a 31 слайд

Преобразование вида y = f(x – a) — Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на а единиц вдоль оси абсцисс Если а > 0, то происходит Если а 32 слайд

Преобразование вида y = f(x – a) x y 0 y = (x – a)3 y = x3 a

Растяжение вдоль оси Ох с коэффициентом k Для построения графика функции надо подвергнуть график функции f растяжению с коэффициентом k вдоль оси абсцисс.

Преобразование вида y = f(mx) — Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс Если , |m|> 1, то происходит Если , |m| 35 слайд

Преобразование вида y = f(mx) 0 x y 1 1 y = x2 y = (mx)2

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 813 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 287 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-845258

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

В Пензенской области запустят проект по снижению административной нагрузки на учителей

Время чтения: 1 минута

Шойгу предложил включить географию в число вступительных экзаменов в вузы

Время чтения: 1 минута

Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Конспект лекции»Функция и ее свойства. Преобразование графиков функций»

Технологическая карта теоретического занятия (лекции) №1

Дисциплина (профессиональный модуль) : математика: алгебра и начала математического анализа

Специальность: все специальности

Тема: « Функция и ее свойства. Преобразование графиков функций ».

Группы: фарм А-11, Б-11, лаб А, Б-11, с/д АБВ-11

Преподаватель: Башлиева Анастасия Юрьевна

Продолжительность 90 минут Место проведения ККБМК

Изучить понятие функции, ее свойства.

Научить строить графики разнообразных функций.

Систематизировать и обобщить знания о функции, полученные в школе.

1. Развить представления о роли месте математики в современном мире

2. Способствовать развитию алгоритмического, творческого мышления.

1. Способствовать развитию интереса к предмету, активности

2 . Воспитывать аккуратность в работе

Требования к знаниям и умениям:

Знать: определение функции, области определения и значения, графика функции.

Уметь: строить графики функций, находить область определения и значения.

Тип лекции : информационная.

Образовательные технологии: информационная, обучающая технология.

Методы и приемы обучения: рассказ, беседа.

Технические средства обучения: компьютер.

Электронные ресурсы: мультимедийные презентации.

Башмаков М. И. Учебник. Математика. – Академия, 2013 год.

Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10(11) кл. – М., 2000

Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2004.

Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровень). 11кл.-. М., 2006.

Межпредметные и внутрипредметные связи: химия, физика, информатика

Хронологическая карта занятия

Вступление, мотивация изучения темы:

— формулировка темы лекции, характеристика ее профессиональной значимости, новизны и степени изученности;

— изложение плана лекции, включающего основные вопросы, подлежащие рассмотрению;

— характеристика рекомендуемой литературы.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция (вопросы, изученные на прошлой лекции, связь их с новым материалом).

Основная часть лекции (изложение содержания в соответствии с планом).

Обобщение и систематизация изученного материала.

Вступление, мотивация изучения темы:

Понятие функции является одним из главнейших во всей математике, науке, технике. Без этого понятия — никак. Вообще никак. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это достаточно просто. Если рискнуть, и. почитать.

Начнём с представления о функции, затем освоим понятие функции. После этого определение функции окажется простым и вполне человеческим.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция:

Какое понятие функции вам известно?

Что такое система координат?

Что такое натуральное и действительное число?

Основная часть лекции:

Числовой функцией с областью определе­ния D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, за­висящее от х.

Ф ункции обычно обозначают латинскими или гречески­ми буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точ­ке х и обозначают f(х) . Область определения функции f обозна­чают D ( f ) . Множество, состоящее из всех чисел f(х) . таких, что х принадлежит области определения функции f , называют об­ластью значений функции f и обозначают Е ( f ) .

Функции вида f (х) = р (х), где р (х) — многочлен, называют целыми рациональными функциями, а функции вида f <х) = р (х)/ q (х), где р и q — многочлены, называют дробно-рациональными функ­циями.

Частное р (х)/ q (х) определено, если q ( x ) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции f <х) = р (х)/ q (х) —множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q ( x ).

2. График функции. Графиком функции f называют множество всех точек (х; у) коор­динатной плоскости, где y = f (х), a x «пробегает» всю область определения функции f .

Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу. Множество, изображенное на рисунке 1, не является графиком функции , так как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой а, но разными ординатами b ₁ и b ₂ . Если бы мы сочли это множество графиком функции, то пришлось бы считать, что эта функция имеет при х = а сразу два значения b ₁ и b ₂ , что противоречит опре­делению функции. Часто функцию задают графически. При этом для любого хо из области определения легко найти соответствующее значение y _o = f (х _о ) функции (рис. 2).

1) Параллельный перенос вдоль оси ординат. Для построения графика функции f ( x ) + b , где b — постоянное число, надо перенести график f на величину b вдоль оси ординат.

Пример . Построим графики функций: a ) y = sinx + 2, б) у=х 2 –5.

а) В соответствии с правилом переносим график функции y = sinx вверх по оси Оу на 2 единицы (рис. 3).

б) Построение осуществляется переносом параболы у = х 2 вниз по оси Оу (рис. 4).

2) Растяжение вдоль оси Оу с коэффициентом k .

Для построения графика функции у = kf ( x ) надо растянуть гра­фик функции y = f ( x ) в k раз вдоль оси ординат.

Примеры. Построим графики функций у= — 2х 2

Построение осуществляется в первом случае из графика функ­ции у = х 2 (рис. 5), а во втором случае сначала строим график функ­ции y = cos х, затем воспользуемся растяжением вдоль оси ординат с коэффициентом 1/3 (рис. 6).

3) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (а; 0) за­дается формулами х1=х + а;

Примеры. Построение графика функции у = показано на рисунке 7.

Построение графика функции y = cos ( x — π /4) показано на рисунке 8.

4) Растяжение вдоль оси абсцисс Ох с коэффициентом k задается фор­мулами х1 = k х

Примеры. Построение графиков функций y = cos 2 x

показано на рисунках 9 и 10.

Отчетливое выявление основных свойств, позволяющих достаточно наглядно судить о ее поведении, называют исследованием функции.

В стандартную схему исследования функции обычно включают следующие пункты.

1. Область определения функции.

2. Нули (корни) функции.

3. Промежутки знакопостоянства.

4. Точки экстремума функции.

5. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

7. Множество значений функции.

Дадим краткое описание тех понятий, которые включены нами в схему исследования функции.

Область определения – множество значений аргумента, при которых задана функция. Если функция задана формулой, то имеется в виду ее естественная область определения, т. е. множество чисел, к которым применима данная формула.

Нули (корни) – точки, в которых функция обращается в нуль, или, иначе, решения уравнения f(x) = 0.

Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, или, иначе, решения неравенств f(x) > 0 и f(x)

Точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.

Промежутки возрастания и убывания – интервалы, на которых функция или возрастает, или убывает. Слова “возрастание” и “убывание” функции иногда заменяют одним словом – “монотонность” функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции – самое большое или самое маленькое значение функции по сравнению со всеми возможными (в отличие от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками).

а) y = 1 – x; функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

б) y = –x, x [–1; 1]; наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y(–1) = 1 – наибольшее значение; y(1) = 1 – наименьшее значение.

в) y = x 2 – 1; наименьшее значение функция принимает при x = 0,

y(0) = –1. Наибольшего значения у функции нет.

г) y = –x 2 + 2x, x [1; 3], наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y(1) = 1 – наибольшее значение;

y(3) = –3 – наименьшее значение.

Множество значений функции – множество чисел, состоящее из всех значений функции.

а) y = –x, Е: R, или y – любое число.

б) y = –x, x [–1; 1]. Е: [–1; 1].

в) y = x 2 – 1, E: [–1; +¥ ).

г) y = –x 2 + 2x, x [0; 3], Е: [–3; 1]

для построения графика функции y = |f(x)| для всех x из области определения, надо ту часть графика функции y = f(x), которая располагается ниже оси абсцисс ( f(x)

Таким образом, график функции y = |f(x)| расположен только в верхней полуплоскости.

Пример: y = |x 2 — 4|.

Строим график функции y = x 2 – 4

Как правило, учащиеся хорошо понимают правило построения графика такой функции. Его можно легко довести до автоматизма. Во избежание формализма в знаниях и умениях учащихся необходимо чередовать построение графиков вида y = f (|x|) и y = | f (x)|.

С построением графиков зависимостей вида |y| = f (x) учащихся можно познакомить на внеклассных занятиях, ибо такие графики вызывают наибольшие затруднения. Учитывая, что в формуле |y| = f(x) f(x ) ≥ 0 и на основании определения модуля

Правило: для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции y = f(x) для тех x из области определения, при которых f(x) ≥ 0 и отразить полученную часть графика, симметрично оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости |y| = f(x) состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Обобщение и систематизация изученного материала:

Что включает в себя исследование функции?

Какие свойства функции вам известны?

Что такое график функции?

Какие преобразования графика вам известны?

Что такое функция?

Что такое область определения и область значений?

Что такое график функции?

Какие преобразования графика вам известны?

Подведение итогов: сегодня мы с вами разобрали понятие функции, ее свойства, графики функций, способы построения графиков функций и преобразование графиков. Научились применять свойства функций при решении примеров. Спасибо за внимание

Источник