Функция. Способы задания функций.
Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.
1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.
Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.
2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.
Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.
Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.
3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.
Функцию можно задать с помощью математической формулы y=x 2 , тогда если х равно 2, то у равно 4, возводим х в квадрат.
4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.
Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у. Поясняем: если х равно 4, то у равно 4, а если х равно 358, то у равен сумме 3 + 5 + 8, т. е 16. Далее аналогично.
5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.
При разложении числа Эйлера задается функцией:
Ее сокращение приведено ниже:
При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда, значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.
Источник
Что такое Функция?
О чем эта статья:
7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
- х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Источник
Лекции 12-18. Введение в математический анализ.
Лекции 12-18. Введение в математический анализ.
Тема 1.1 Функция.
1. Понятие множества.
2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
3. Понятие функции.
4. Основные свойства функции.
5. Основные элементарные функции и их графики.
6. Применение функций в экономике.
Задачи для самостоятельного решения.
Тесты для самоконтроля знаний.
Литература: Л- 27[с.77-107], Л-22[с.15-21;39-48],
Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками этого множества. Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел. Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строками. Если а есть элемент множества А, то используется запись 
.
Если в не является элементом множества А, то пишут 
. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ǿ. Например, множеством действительных корней уравнения 3х 2 +1=0 является пустое множество. Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается 
.
Два множества называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов.
Объединением двух множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. 
.
Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. 
. Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. 
Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.
Из школьного курса алгебры нам известны множества: R – действительных чисел, Q – рациональных,
J – иррациональных, Z – целых,
N – натуральных чисел.
Очевидно, что 
.
Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой.
Множество Х, элементы которого удовлетворяют:
неравенству 
, называется отрезком (или сегментом ) [ а; в ];
неравенству а x – интервалом ( а; в );
неравенствам 
или а , называются полуинтервалами [ а; в ) и ( а; в ].
2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
Определение: Абсолютной величиной или модулем некоторого действительного числа называется арифметическое значение этого числа.
Если х- действительное число, то
т.е. 
.
Свойства абсолютных величин.
1. Абсолютная величина суммы двух или нескольких чисел меньше или равна сумме абсолютных величин этих чисел.
2. Абсолютная величина разности двух чисел больше или равна разности абсолютных величин этих чисел
3. Абсолютная величина произведения двух или нескольких чисел равна произведению абсолютных величин этих чисел, т.е.
.
4. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин (если делитель отличен от нуля) т.е.
, у 
5. Абсолютная величина целой положительной или целой отрицательной степени равна соответствующей степени абсолютной величины основания:
.
Всякий интервал. содержащий точку а , называется окрестностью точки а . Интервал ( а-ε, а+ε ), т.е. множество точек х, таких, что 
(где ε>0), называется ε- окрестностью точки а.
3. Понятие функции. Способы задания
Понятие функции является одним из основных понятий современной математики. С этим понятием часто встречаются при изучении реальных процессов в природе, науке и технике. Понятие функции не является раз и навсегда данным. Это понятие возникло в XVIII веке и прошло сложный и трудный путь развития, на каждом этапе которого определялось по разному. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.
Определение1 . Переменная величина y называется функцией от переменной величины х, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины х соответствует единственное вполне определенное значение величины у.
Это определение в общих чертах было сформулировано гениальным русским математиком Н. И. Лобачевским
y = f ( x ), y = F ( x )-функциональная зависимость х и у.
f , F — характеристики функции, х — независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная.
Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования функции.
Пример : 
область определения функции
Чтобы наглядно представить поведение функции, строят ее график , рассматривая независимую переменную х и функцию у как прямоугольные координаты некоторой точки М на плоскости ХОУ.
Определение 2 . Графиком функции у= f (х) называется множество всех точек М(х,у) плоскости ХОУ, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.
Или иными словами говоря, график функции – линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию. Например, х 2 +у 2 =4, у≥0
Источник
