Функция способы задачи функции

Способы задания функций

Существуют следующие способы задания функции y = f ( x ) :

1. Явный аналитический способ по формуле вида y = f ( x ) .
2. Интервальный.
3. Параметрический: x = x ( t ) , y = y ( t ) .
4. Неявный, как решение уравнения F ( x, y ) = 0 .
5. В виде ряда, составленного из известных функций.
6. Табличный.
7. Графический.

Явный аналитический способ задания функции

При явном способе, значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f ( x ) . В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y , а в правой – выражение, составленное из независимой переменной x , постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления. Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y :
;
;
.

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции, область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:

Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе, вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)

Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t :

Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию можно задать так:

А можно и так:

Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см. «Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных»). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x и y две функции и . Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.

Уравнения (1) – это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями. Например можно ввести два параметра и . Тогда задание функции будет выглядеть так:

Здесь появляется дополнительное уравнение , связывающее параметры. Если число параметров равно n , то должно быть n – 1 дополнительных уравнений.

Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби». Там решение ищется в следующем виде:
(2) .
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t . После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра и .

Неявный способ задания функции

При неявном способе, значения функции определяется из решения уравнения .

Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3) .
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, , то можно выразить переменную y как функцию от x явным способом:
(4) .
Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную , удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
;
.

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда, составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд функций:
.
Также применяется ряд и с отрицательными степенями:
.
Например, функция синус имеет следующее разложение:
(5) .
Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):

.

В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям и , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y . Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y . Чтобы определить значение функции при заданном значении x , мы по таблице, находим значение x , наиболее близкое к нашему. После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y .

Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x линейна, то есть имеет следующий вид:
.
Здесь – значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции при . Из таблицы находим:
.
Тогда

.
Точное значение:
.
Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе, значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат – зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных расчетах.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 18-04-2018

Источник

Что такое Функция?

О чем эта статья:

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

• х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Функция. Способы задания функций.

Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.

1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.

Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.

2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.

Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.

Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.

3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.

Функцию можно задать с помощью математической формулы y=x 2 , тогда если х равно 2, то у равно 4, возводим х в квадрат.

4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.

Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у. Поясняем: если х равно 4, то у равно 4, а если х равно 358, то у равен сумме 3 + 5 + 8, т. е 16. Далее аналогично.

5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.

При разложении числа Эйлера задается функцией:

Ее сокращение приведено ниже:

При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда, значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.

Источник

Функции и способы задания функций

Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение функции

Существуют множество определений для понятия «функция».

Одними из классических определений понятия «функция» считаются определения на базе соответствий. Приведем ряд таких определений.

Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функцией.

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Соответствие $f$, которое каждому $x\in X$ сопоставляет один и только один $y\in Y$ Называется функцией ($f:X → Y$).

Пусть $M$ и $N$ — два произвольных числовых множества. Говорят, что на $M$ определена функция $f$, принимающая значения из $N$, если каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие один и только один элемент из $N$.

Следующее определение дается через понятие переменной величины. Переменной величиной называется величина, которая в данном исследовании принимает различные числовые значения.

Пусть $M$ — множество значений переменной величины $x$. Тогда, сели каждому значению $x\in M$ соответствует одно определенное значение другой переменной величины $y$ есть функция величины $x$, определенной на множестве $M$.

Далее рассмотрим теоретико-множественные определения.

Пусть $X$ и $Y$ — некоторые числовые множества. Функцией называется множество $f$ упорядоченных пар чисел $(x,\ y)$ таких, что $x\in X$, $y\in Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит, по крайней мере, в одну пару [15].

Всякое множество $f=\<\left(x,\ y\right)\>$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)$ таких, что для любых пар $\left(x’,\ y’\right)\in f$ и $\left(x»,\ y»\right)\in f$ из условия $y’≠ y»$ следует, что $x’≠x»$ называется функцией или отображением [7].

Готовые работы на аналогичную тему

Функция $f:X → Y$ — это множество $f$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, что для любого элемента $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$ такой, что $\left(x,\ y\right)\in f$, то есть функция — кортеж объектов $\left(f,\ X,\ Y\right)$.

В этих определениях

$x$ — независимая переменная.

$y$ — зависимая переменная.

Все возможные значения переменной $x$ называется областью определения функции, а все возможные значения переменной $y$ называется областью значения функции.

Далее будем рассматривать три способа для задания функций: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ задания функции

Для этого способа нам понадобится понятие аналитического выражения.

Аналитическим выражением называется произведение всех возможных математических операций над какими-либо числами и переменными.

Аналитическим способом задания функции и является её задание с помощью аналитического выражения.

Приведем далее преимущества и недостатки данного способа:

Плюсы:

1. С помощью формул мы можем определить значение функции для любого определенного значения переменной $x$;
2. Функции, заданные таким способом можно изучать с помощью аппарата математического анализа.

Минусы:

1. Малая наглядность.
2. Иногда приходится производить очень громоздкие вычисления.

Табличный способ задания функции

Данный способ задания состоит в том, что для нескольких значений независимой переменной выписываются значения зависимой переменной. Все это вносится в таблицу.

Плюс: Для любого значения независимой переменной $x$, которая внесена в таблицу, сразу узнается соответствующее значение функции $y$.

Минусы:

1. Чаще всего, нет полного задания функции;
2. Малая наглядность.

Графический способ задания функции

Введем понятие графика функции:

Графиком функции $f(x)$ называется множество точек координатной плоскости, которые имеют вид $(x,\ f\left(x\right))$.

Задание графика с помощью такого изображения его в декартовой системе координат называется графическим способом.

Пример задачи

Дан аналитический вид функции $y=x^2$. Привести табличный и графический способы задания этой же функции.

Решение.

Сначала приведем табличный способ. Так как при возведении в четную степень любого числа получим неотрицательное значение, то получим следующую таблицу:

Это и есть табличное задание.

Перейдем теперь к заданию в виде графика. Для этого отметим в декартовой системе координат точки из таблицы выше. Получим:

Источник