Функция способы ее задания свойства функции монотонность

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

функция, аргумент функции, значение функции
график функции, преобразование графика функции
свойства функции, исследование свойств функции

Глоссарий по теме урока

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у — зависимая переменная, значение функции

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁ у₂.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

D(y)=

Множество значений функции

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

Четность / нечетность функции

D(y)= — симметрична относительно нуля

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

у>0 при

у 2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x 2 у.е.

Тогда на 2 объект направлено (24 — x) рабочих – суточная заработная плата (24 — x) 2 (у.е.)

Всем рабочим нужно заплатить 4x 2 +(24 — x) 2 = 5x 2 -48x+576 (у.е.)

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

Рассмотрим функцию f(x)=5x 2 -48x+576.

Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x₀ = 4,8 .

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, — симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

Данная функция одновременно четна и нечетна.

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

логарифмируемое выражение должно быть положительным

Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, — функция общего вида.

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

Зайдем с другого конца, выразим -f(x):

домножим на сопряженное

Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.

и четная, и нечетная

Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.

Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.

В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.

Источник

Лекция по теме «Функция» для 1 курса

Лекция: Понятие функции. Основные свойства функции.

Преподаватель: Горячева А.О.

О. : Правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией .

Функция считается заданной, если:

— задана область определения функции X ;

— задана область значений функции Y ;

— известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.

О. : Множество X всех допустимых действительных значений аргументаx, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции .

Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции .

Рассмотрим некоторые способы задания функций.

Табличный способ . Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

Графический способ . Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами — наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Аналитический способ . Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Словесный способ . Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.

Пример 2: функция y = — дробная часть числа. Точнее y = = x — [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим = r + q — r=q

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Основные свойства функции .

1. Четность и нечетность

Функция называется четной , если

– область определения функции симметрична относительно нуля;

– для любого х из области определения f(-x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной , если

– область определения функции симметрична относительно нуля;

– для любого х из области определения f(-x) = –f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f(x) называется периодической с периодом Т, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3 . Монотонность (возрастание, убывание).

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 f(x2).

Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х)

Значение Ymax = f(Xmax) называется максимумом этой функции.

Хmax – точка максимума

Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).

Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.

Xmin – точка минимума

Xmin, Хmax – точки экстремума

Ymin, Уmax – экстремумы.

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M, что |f ( x )| M для всех значений x .

Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

Задания (выполнить устно):

1. График какой из функций изображен на рисунке а)?

1) y=6x; 2) y=6x 2 ; 3) y= , 4) y=

2. Укажите нули функции (рис. б):

4) функция не имеет нулей

3.Найдите все значения х, при которых функция принимает положительные значения (рис. в):

1) (0;1); 2) (-1;1); 3) (0;+ ); 4) (- ;0)

4. Найдите все значения х, при которых функция принимает неположительные значения (рис. г):

1) (- ;0]; 2) (- ;-2] [2;+ ); 3) [-2;2]; 4) [-2;0]

5. Найдите все значения х, при которых функция принимает отрицательные значения (рис. д):

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )

6. Найдите все значения х, при которых функция принимает неотрицательные значения (рис. е):

1) [0;+ ); 2) (- ;0) (0;+ ); 3) (- ;+ ); 4) 0.

7. Найдите наибольшее значение функции (рис. з).

1) -6; 2) 0; 3) 9; 4) 10.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-1;1] (рис. и).

Источник