Функция. Способы задания функций.
Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.
1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.
Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.
2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.
Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.
Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.
3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.
Функцию можно задать с помощью математической формулы y=x 2 , тогда если х равно 2, то у равно 4, возводим х в квадрат.
4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.
Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у. Поясняем: если х равно 4, то у равно 4, а если х равно 358, то у равен сумме 3 + 5 + 8, т. е 16. Далее аналогично.
5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.
При разложении числа Эйлера задается функцией:
Ее сокращение приведено ниже:
При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда, значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.
Источник
Что такое Функция?
О чем эта статья:
7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
- х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Источник
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- функция, аргумент функции, значение функции
- график функции, преобразование графика функции
- свойства функции, исследование свойств функции
Глоссарий по теме урока
Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
х – независимая переменная, аргумент,
у — зависимая переменная, значение функции
Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).
Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).
Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
- для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).
Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).
Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.
Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1 у2.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.
Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Исследование функции и построение графика
Схема исследования функции на примере функции
1) Область определения функции
Знаменатель дроби не равен нулю:
Получили область определения
D(y)=
- Множество значений функции
Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).
Получили 
- Четность / нечетность функции
D(y)= 
— симметрична относительно нуля
,
следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ
Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение 
Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ
у>0 при 
у 2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?
1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.
Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x 2 у.е.
Тогда на 2 объект направлено (24 — x) рабочих – суточная заработная плата (24 — x) 2 (у.е.)
Всем рабочим нужно заплатить 4x 2 +(24 — x) 2 = 5x 2 -48x+576 (у.е.)
Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.
Рассмотрим функцию f(x)=5x 2 -48x+576.
Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x0 = 4,8 .
3 этап. Перевод на язык задачи
Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.
24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.
Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.
Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.
Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Исследуйте функции на четность.
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, — симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.
Данная функция одновременно четна и нечетна.
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x
у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная
логарифмируемое выражение должно быть положительным
Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, — функция общего вида.
Найдем область определения D(f)
Проверим второе условие
Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.
Зайдем с другого конца, выразим -f(x):
домножим на сопряженное
Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.
и четная, и нечетная
2. 
Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.
Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.
В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.
Источник
