Преобразование графиков элементарных функций
Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать с элементарными функциями, которые получили из основных с помощью добавления констант и коэффициентов. Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.
Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y = — 1 3 x + 2 3 2 + 2 , графиком которой является парабола y = x 2 , которая сжата втрое относительно О у и симметрична относительно О х , причем сдвинутую на 2 3 по О х вправо, на 2 единицы по О у вверх. На координатной прямой это выглядит так:
Геометрические преобразования графика функции
Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что график изображается функцией вида ± k 1 · f ( ± k 2 · ( x + a ) ) + b , когда k 1 > 0 , k 2 > 0 являются коэффициентами сжатия при 0 k 1 1 , 0 k 2 1 или растяжения при k 1 > 1 , k 2 > 1 вдоль О у и О х . Знак перед коэффициентами k 1 и k 2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по О х и по О у .
Существует 3 вида геометрических преобразований графика:
- Масштабирование вдоль О х и О у . На это влияют коэффициенты k 1 и k 2 при условии не равности 1 , когда 0 k 1 1 , 0 k 2 1 , то график сжимается по О у , а растягивается по О х , когда k 1 > 1 , k 2 > 1 , то график растягивается по О у и сжимается по О х .
- Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака « — » перед k 1 симметрия идет относительно О х , перед k 2 идет относительно О у . Если « — » отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
- Параллельный перенос (сдвиг) вдоль О х и О у . Преобразование производится при наличии коэффициентов a и b неравных 0 . Если значение a положительное, до график сдвигается влево на | а | единиц, если отрицательное a , тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси О у , что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном – вниз.
Степенная функция
Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.
Преобразовать y = x 2 3 и построить график функции y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 .
Представим функции таким образом:
y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 = — 1 2 · 8 x — 1 2 2 3 + 3 = — 2 x — 1 2 2 3 + 3
Где k 1 = 2 , стоит обратить внимание на наличие « — » , а = — 1 2 , b = 3 . Отсюда получаем, что геометрические преобразования производятся с растяжения вдоль О у вдвое, отображается симметрично относительно О х , сдвигается вправо на 1 2 и вверх на 3 единицы.
Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что
при растягивании вдвое вдоль О у имеем, что
Отображение, симметричное относительно О х , имеет вид
а движение вправо на 1 2
движение на 3 единицы вверх имеет вид
Показательная функция
Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах.
Произвести построение графика показательной функции y = — 1 2 1 2 ( 2 — x ) + 8 .
Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что
y = — 1 2 1 2 ( 2 — x ) + 8 = — 1 2 — 1 2 x + 1 + 8 = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8
Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y = 1 2 x :
y = 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 1 2 x → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8
Получаем, что исходная показательная функция имеет вид
Сжимание вдвое вдоль О у дает
Растягивание вдоль О х
Симметричное отображение относительно О х
Отображение симметрично относительно О у
Сдвигание на 8 единиц вверх
Логарифмическая функция
Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y = ln ( x ) .
Построить функцию y = ln e 2 · — 1 2 x 3 при помощи преобразования y = ln ( x ) .
Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:
y = ln e 2 · — 1 2 x 3 = ln ( e 2 ) + ln — 1 2 x 1 3 = 1 3 ln — 1 2 x + 2
Преобразования логарифмической функции выглядят так:
y = ln ( x ) → y = 1 3 ln ( x ) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln — 1 2 x → y = 1 3 ln — 1 2 x + 2
Изобразим график исходной логарифмической функции
Производим сжимание строе по О у
Производим растягивание вдоль О х
Производим отображение относительно О у
Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем
Для преобразования графиков тригонометрической функции необходимо подгонять под схему решения вида ± k 1 · f ( ± k 2 · ( x + a ) ) + b . Необходимо , чтобы k 2 приравнивался к T k 2 . Отсюда получаем, что 0 k 2 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х , при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.
Преобразования y = sin x
Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y = sin x .
Построить график y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 с помощью преобразований функции y=sinx.
Необходимо привести функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Для этого:
y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 = — 3 sin 1 2 ( x — 3 ) — 2
Видно, что k 1 = 3 , k 2 = 1 2 , a = — 3 , b = — 2 . Так как перед k 1 имеется « — » , а перед k 2 — нет, тогда получим цепочку преобразований вида:
y = sin ( x ) → y = 3 sin ( x ) → y = 3 sin 1 2 x → y = — 3 sin 1 2 x → → y = — 3 sin 1 2 x — 3 → y = — 3 sin 1 2 ( x — 3 ) — 2
Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y = sin ( x ) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T = 2 π . Нахождение максимума в точках π 2 + 2 π · k ; 1 , а минимума — — π 2 + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .
Производится растягивание по О у втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T = 2 π — это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы — — π 2 + 2 π · k ; — 3 , k ∈ Z .
При растягивании по О х вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Максимумы переходят в π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы – в — π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .
Изображение производится симметрично относительно О х . Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Переход максимума выглядит как — π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , а минимума – π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .
Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки — π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , минимумов — π + 3 + 4 π · k ; — 5 , k ∈ Z .
На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.
Преобразование функции y = cos x
Рассмотрим подробное преобразование функции y = cos x .
Построить график функции y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 при помощи преобразования функции вида y = cos x .
По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Тогда получаем, что
y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 = 3 2 cos ( — 2 ( x — 1 ) ) + 1
Из условия видно, что k 1 = 3 2 , k 2 = 2 , a = — 1 , b = 1 , где k 2 имеет « — » , а перед k 1 он отсутствует.
Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:
y = cos ( x ) → y = 3 2 cos ( x ) → y = 3 2 cos ( 2 x ) → y = 3 2 cos ( — 2 x ) → → y = 3 2 cos ( — 2 ( x — 1 ) ) → y = 3 2 cos — 2 ( x — 1 ) + 1
Пошаговое преобразование косинусоиды с графической иллюстрацией.
При заданной графике y = cos ( x ) видно, что наименьший общий период равняется T = 2 π . Нахождение максимумов в 2 π · k ; 1 , k ∈ Z , а минимумов π + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .
При растягивании вдоль О у в 3 2 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 3 2 раза. T = 2 π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов в π + 2 π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .
При сжатии вдоль О х вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число T = 2 π k 2 = π . Производится переход максимумов в π · k ; 3 2 , k ∈ Z ,минимумов — π 2 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .
Симметричное отображение относительно О у . Так как график нечетный, то он не будет изменяться.
При сдвигании графика на 1 . Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T = π . Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов — π 2 + 1 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .
При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T = π и не изменен. Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , минимумов в π 2 + 1 + π · k ; — 1 2 , k ∈ Z .
Преобразования функции косинуса завершено.
Преобразования y = tgx
Рассмотрим преобразования на примере y = t g x .
Построить график функции y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 при помощи преобразований функции y = t g ( x ) .
Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b , после чего получаем, что
y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3
Отчетливо видно, что k 1 = 1 2 , k 2 = 2 3 , a = — π 2 , b = π 3 , а перед коэффициентами k 1 и k 2 имеется « — » . Значит, после преобразования тангенсоиды получаем
y = t g ( x ) → y = 1 2 t g ( x ) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = — 1 2 t g 2 3 x → → y = — 1 2 t g — 2 3 x → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 → → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3
Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.
Имеем, что исходный график – это y = t g ( x ) . Изменение положительного периода равняется T = π . Областью определения считается — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .
Сжимаем в 2 раза вдоль О у . T = π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .
Растягиваем вдоль О х в 3 2 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T = π k 2 = 3 2 π . А область определения функции с координатами — 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , меняется только область определения.
Симметрия идет по сторону О х . Период не изменится в этот момент.
Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение О х и О у , тогда преобразуем до исходной функции.
При движении вправо на π 2 видим, что наименьшим положительным периодом является T = 3 2 π . А изменения происходят внутри области определения — π 4 + 3 2 π · k ; 5 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z .
При сдвигании графика на π 3 получаем, что изменение области определения отсутствует.
Преобразование тангенса завершено.
Тригонометрическая функция вида y = a r c cos x
Рассмотрим на примере тригонометрической функции вида y = a r c cos x .
Построить график функции y = 2 a r c sin 1 3 ( x — 1 ) при помощи преобразования y = a r c cos x .
Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций a r c sin x + a r c o cos x = π 2 . Значит, получим, что a r c sin x = π 2 — a r c cos x .
Видно, что y = a r c cos x → y = — a r c cos x → y = — a r c cos x + π 2 .
Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.
График, данный по условию
Производим отображение относительно О х
Производим движение вверх на π 2 .
Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.
Видно, что k 1 = 2 , k 2 = 1 3 , a = — 1 , b = 0 , где отсутствует знак « — » у k 1 и k 2 .
Отсюда получаем, что преобразования y = a r c sin x примет вид:
y = a r c sin ( x ) → y = 2 a r c sin ( x ) → → y = 2 a r c sin 1 3 x → y = 2 a r c sin 1 3 ( x — 1 )
Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.
График y = a r c sin x имеет область определения вида x ∈ — 1 ; 1 , тогда интервал y ∈ — π 2 ; π 2 относится к области значений.
Необходимо растянуть вдвое по О у , причем область определения останется неизменной x ∈ — 1 ; 1 , а область значений y ∈ — π ; π .
Растягивание по О х строе. Происходит расширение области определения x ∈ — 3 ; 3 , но область значений остается неизменной y ∈ — π ; π .
Производим сдвигание вправо на 1 , причем область определения становится равной x ∈ — 2 ; 4 . Без изменений остается область значений y ∈ — π ; π .
Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.
Источник
