Функции способы построения область определения множество значений

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функции, заданных различными способами. Свойства функции.
план-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс)

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функции, заданных различными способами. Свойства функции.

Скачать:

Вложение	Размер
80_funktsii_oblast_opredeleniya_i_mnozhestvo_znacheniy.doc	136 КБ

Предварительный просмотр:

Тема: Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функции, заданных различными способами. Свойства функции.

• дать определение понятий «функция», «область определения», «область значений», «график функции»;
• рассмотреть способы задания функций;
• рассмотреть свойства функций (нули функций, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции, четность и нечетность функции)
• рассмотреть свойства некоторых элементарных функций

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x ). (Читают: у равно f от х .) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х .

Все значения независимой переменной образуют область определения функции . Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции .

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3. описательный способ (функция задается словесным описанием)

4. графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

2. Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

3. Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функция — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 2 , справедливо неравенство f(x 1 ) 2 ).

Убывающая в некотором промежутке функция — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у = f (x) называется убывающей на интервале (а; b) , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 2 , справедливо неравенство f(x 1 )>f(x 2 ).

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х 2 — четная функция.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х 3 — нечетная функция .

Функция общего вида не является четной или нечетной ( у = х 2 +х ).

Свойства некоторых функций и их графики

1. Линейной функцией называется функция вида , где k и b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b ) и параллельная прямой у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3. Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0 ) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.

3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b ) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох .

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у 0, если . При k 0 имеем, что у > 0, если и у

2. Функция y = x 2

Область определения этой функции — множество R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x 2 , изображаем график функции.

График функции y = x 2 называется параболой.

Свойства функции у = х 2 .

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) — начало координат.

2. Если х ≠ 0 , то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции у = х 2 является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х 2 — четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х 2 возрастает.

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х 2 убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения этой функции — промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле , изображаем график функции.

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) — начало координат.

2. Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞) .

4. Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция возрастающая в области определения.

6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

4. Функция y = x 3

Область определения этой функции — множество R действительных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х 3 , изображаем график функции.

График функции у= х 3 называется кубической параболой.

Свойства функции y = x 3 .

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) — начале координат.

2. Если х > 0, то у > 0, а если х 0, то у

3. Множеством значений функции у = х 3 является вся числовая прямая.

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у = х 3 — нечетная).

4. Функция у = х 3 возрастающая в области определения.

Область определения этой функции — множество R действительных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х у = — х . Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) — начале координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| — четная).

5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения функции: .

Область значений функции: .

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у х

Если k у х > 0; у > 0 при х

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

4. Четность (нечетность) функции.

1. Найдите область определения функции

1. При каких значениях функция принимает положительные значения?

Постройте график функции

1. Постройте график функции и укажите координаты точек пересечения этих графиков.
2. Постройте график функции

Проходит ли график через точку А(-35, -65)?

1. Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой
2. Какая из прямых у = 3х — 1, у = 2х + 4 или у = -2х проходит через начало координат? Постройте график этой функции.

Источник

Функция. Область определения и область значений функции. Графики функции

Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .

Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .

Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .

График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Содержание

Графики элементарных функций

Линейная функция

Линейная функция — это функция вида y=kx+b , где k и b некоторые действительные числа.

Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

График линейной функции — прямая.

Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:

k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .

1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .

2) Функция монотонно убывает при k .

3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac , где k — отличное от нуля, действительное число

Графиком функции y=\frac является гипербола.

1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.

2) Если k , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число

1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [0; +\infty) .

Графиком функции y=x^2 является парабола.

2) Если n=3 , то y=x^3 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in R .

Графиком функции y=x^3 является кубическая парабола.

3) Если n=\frac<1> <2>, то y=x^\tfrac<1> <2>или y=\sqrt . D(f) : x \in [0; +\infty ); \: E(f) : y \in [0; +\infty )

4) Если n=\frac<1> <3>, то y=x^\tfrac<1> <3>или y=\sqrt[3] . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in R

Показательная функция

Показательная функция — это функция вида y=a^x , где a=const, a > 0, a \neq 1

D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in (0; +\infty ) .

Графиком показательной функции является экспонента.

1) Функция будет монотонно возрастать при a > 1 .

2) Функция монотонно убывает при 0 .

Например: y=\left (\frac<1> <2>\right )^

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция — это функция вида y=\log_x , где a — действительное число, a > 0, \: a \neq 1

D(f) : x \in (0; +\infty ); \: E(f) : y \in R .

1) Функция монотонно возрастает при a > 1 .

2) Функция будет монотонно убывать при 0 .

Тригонометрическая функция

К тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=\sin x . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [-1; 1] ; основной период функции T=2 \pi

2) y = \cos x . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [-1; 1] ; основной период функции T=2 \pi

3) y = tg x . D(f) : x \in \left \< R /x \neq \frac<\pi><2>+\pi n\right \>, n \in \mathbb; \: E(f) : y \in R ; основной период функции T= \pi

4) y = ctg x . D(f) : x \in \left \< R /x \neq 0+\pi n\right \>, n \in \mathbb; \: E(f) : y \in R ; основной период функции T= \pi

Обратные тригонометрические функции

К обратным тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=\arcsin x . D(f) : x \in [-1; 1], \: E(f) : y \in \left [ -\frac<\pi><2>; \frac<\pi> <2>\right ]

2) y=arccos x . D(f) : x \in [-1; 1], \: E(f) : y \in [0; \pi]

3) y=arctg x . D(f) : x \in R, \: E(f) : y \in \left (-\frac<\pi><2>; \frac<\pi> <2>\right )

4) y= arcctg x . D(f) : x \in R, \: E(f) : y \in \left (0; \pi \right )

Источник