Энергетические способы определения перемещений

Определение перемещений энергетическими методами

Рассмотренные выше методы неприменимы для балок с криволинейной осью и для рам. Более универсальными в этом смысле являются энергетические методы. Наиболее популярным является метод Мора (интеграл Мора).

Согласно методу Мора рассматриваются два состояния системы (балки, рамы): грузовое и единичное.

Грузовое состояниеобусловлено действием на систему заданной внешней нагрузки. Возникающие при этом силовые факторы и их эпюры называются грузовыми.

Единичное состояниеобусловлено действием на систему единичной обобщённой нагрузки, приложенной по направлению искомого перемещения. Возникающие при этом силовые факторы и их эпюры называются единичными. Под обобщённой нагрузкой понимается либо сосредоточенная сила, либо сосредоточенный момент. Обобщённой нагрузке соответствуют обобщённые перемещения.Сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение. Сосредоточенному моменту соответствует угол поворота сечения.

Пренебрегая перемещениями, связанными с деформацией сдвига ввиду их малости по сравнению с деформацией изгиба интеграл Мора для случая прямого плоского изгиба запишется в виде:

Во всех энергетических методах знак результата означает:

Знак « + » — искомое перемещение совпадает по направлению с приложенной единичной нагрузкой.

Знак «-» — искомое перемещение противоположно по направлению приложенной единичной нагрузке.

Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина.

Формула Верещагина записывается в виде:

Знак « + » — когда площадь грузовой эпюры совпадает по направлению с эпюрой от единичной нагрузки.

Знак «-» — когда площадь грузовой эпюры противоположна по направлению эпюре от единичной нагрузки.

Минимальное количество слагаемых в формуле Верещагина равно количеству участков эпюры единичного момента. Если границы эпюры грузового момента не совпадают с границами эпюры единичного момента, то грузовую эпюру необходимо дополнительно разбить по границе единичной эпюры.

Если имеются трудности с определением площадей и положений центров тяжести участков грузовых эпюр, то для вычисления интеграла Мора

Рационально использовать формулу Симпсона-Корнаухова:

Формула Симпсона — Корнаухова справедлива для конструкций с прямыми участками (для балок и рам). Грузовая эпюра должна быть линейна или является параболой не выше второй степени.

Отметим, что перемещения, определённые с помощью дифференциального уравнения изогнутой линии балки и с помощью энергетического метода получаются одинаковыми по абсолютной величине.

Для оценки величины полученной деформации вычисляют значение перемещения балки. Значения приведены в учебниках по сопротивлению материалов для различных случаев нагружения балок.

Величина прогиба нужна для проверки условия жёсткости: максимальный прогиб не должен превышать допускаемого. Можно воспользоваться значением из справочника при вычислении значения приложенных нагрузок.

Пример: Вычислим значение реакции средней опоры для двухпролётной неразрезной балки с консолями, где

l – длина пролёта;

– длина консоли;

Для вычисления величины прогиба от сил Р воспользуемся методом Верещагина. Для этого нужно площадь грузовой опоры умножить на значение реакции средней опоры для двухпролётной неразрезной балки с консолями. Для вычисления величины прогиба от сил Р воспользуемся методом Верещагина. Для этого нужно площадь грузовой опоры умножить на значение реакции средней опоры для двухпролётной неразрезной балки с консолями.

Для вычисления величины прогиба от сил Р воспользуемся методом Верещагина:

Для этого нужно площадь грузовой эпюры умножить на ординату эпюры от единичной нагрузки, находящуюся на одной линии с центром тяжести площади грузовой эпюры, получаем:

,

где – жёсткость сечения.

Значение величины прогиба , возникающее от действия силы , приложенной в середине, возьмём из справочника по сопротивлению материалов:

.

Приравнивая величины прогибов ,

получим: , следовательно:

Источник

Энергетические способы определения перемещений

Энергетический прием определения перемещений основан на теореме о том, что частная производная от выражения потенциальной энергии по «силе» Р (понимая под Р обобщенную силу) равна вызванному нагрузкой перемещению по направлению этой силы (теорема Кастильяно).

Для доказательства этой теоремы составим выражение потенциальной энергии, ограничившись для краткости только членом, зависящим от изгибающих моментов [см. формулу (5.11)]:

Полное значение изгибающего момента разложим на составляющие, соответствующие отдельным силам:

Здесь — значения изгибающих моментов, вызываемых единичными силами

Возьмем частную производную от выражения U по

В правой части получено выражение перемещения (см. формулы перемещений в § 5.4), а потому

Теоремой Кастильяно для отыскания перемещений стержневых систем практически не пользуются, она представляет чисто теоретический интерес. Последовательность расчета при ее применении такова:

1) к сооружению прикладывается соответствующая «сила» в том направлении, в котором отыскивается перемещение;

2) составляется полное выражение потенциальной энергии от совместного действия приложенной «силы» и нагрузки;

3) путем дифференцирования выражения потенциальной энергии по приложенной «силе» получится формула, определяющая искомое перемещение, в которой затем необходимо приравнять значение приложенной «силы» нулю, так как она не входит в состав нагрузки (или действительному ее значению, если она входит в состав нагрузки).

Пример. Найти угол поворота конца консоли от действия на нее равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (рис. 5.30, а).

Решение. Прикладываем на конце консоли момент М (рис. 5.30, б).

Полное выражение изгибающего момента в сечении х имеет вид

Подсчитываем потенциальную энергию:

После интегрирования получим

Дифференцируем U по М:

Если в составе заданной нагрузки имеется соответствующая искомому перемещению «сила», то отпадает необходимость в приложении дополнительной «силы».

Пусть, например, требуется найти прогиб конца консольной балки, загруженной только одной сосредоточенной силой Р, приложенной также на конце,

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Архив рубрики: Определение перемещений

Определение перемещений по формуле Симпсона

Задача. Для балки определить перемещения в т. А, В, С, D, подобрать сечение из двух швеллеров из условия прочности, проверить жесткость, показать изогнутую ось балки. Материал — сталь Ст3, допускаемое перемещение .

1. Определим опорные реакции.

Наносим значение опорных реакций на расчетную схему

2. Строим эпюру моментов от заданной нагрузки – грузовую эпюру М_F.

Т.к. под равномерно распределенной нагрузкой линия параболическая кривая, то для её проведения потребуется дополнительная точка – поставим т.К в середине нагрузки.

Строим эпюру М_F от заданной нагрузки.

3. Подберем сечение из двух швеллеров:

Подбираем 2 швеллера №33 см 3 .

Проверим прочность подобранного сечения.

Прочность обеспечена.

4. Определим перемещения в заданных точках. Снимаем с балки всю нагрузку. Для определения линейных перемещений (прогибов) прикладываем единичную силу (F=1), а для определения угловых перемещений — единичный момент .

Точки А и В – это опоры, и по граничным условиям в шарнирных опорах прогиб невозможен, а угловое перемещение присутствует. В точках С и D будут и линейные (прогибы), и угловые (углы поворота) перемещения.

Определим угловое перемещение в т.А. Прикладываем в А единичный момент (рис. б). Строим эп , определяем в ней необходимые ординаты. (рис. в).

Ординаты эп.М_F – все положительные, эп. – тоже.

Перемещения будем определять методом Мора по формуле Симпсона.

Определим момент инерции I_х для сечения.

Модуль продольной упругости Е для Ст3 Е = 2·10 5 МПа = 2·10 8 кПа. Тогда:

Угол поворота φ_А получился положительным, это значит, что угол поворота сечения совпадает с направлением единичного момента.

Определим угол поворота φ_В. (рис.г,д )

Теперь определим перемещения в т. С (линейное и угловое). Прикладываем единичную силу (рис. е), определяем опорные реакции и строим эп. от единичной силы (рис.ж).

Рассмотрим рис. е.

Строим эп. :

Определим прогиб в т. С.

Для определения угла поворота в т. С приложим единичный момент (рис. з), определим опорные реакции и построим эпюру единичных моментов (рис. и).

(знак «— « говорит о том, что реакция R_А направлена в обратную сторону. Показываем это на расчетной схеме – рис.з).

Строим эп. ,

Поскольку m=1 приложен в т. С пролета балки, то момент в т. С определим как от левых, так и от правых сил.

Определим прогиб в точке С.

(знак «-» говорит о том, что угол поворота направлен противоположно направлению единичного момента)

Аналогично определим линейное и угловое перемещения в т. D.

Определим у_D . (рис. к).

Строим эп. (рис.л) :

Определим φ_D (рис. м):

Строим эп. — (рис.н).

Определим угол поворота:

(угол поворота направлен в сторону, противоположную единичному моменту).

Теперь покажем изогнутую ось балки (упругую линию), которой стала прямолинейная ось под действием нагрузки. Для этого зарисуем первоначальное положение оси и в масштабе отложим вычисленные перемещения (рис.о).

Проверим жесткость балки , где f – максимальный прогиб.

Максимальный прогиб — жесткость не обеспечена.

Т.о. в данной задаче мы убедились в том, что не всегда сечения, подобранные из условия прочности (в данном случае – сечение из двух швеллеров) удовлетворяют условиям жесткости.

Интеграл Мора

Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.

Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:

1. Составляем выражение изгибающего момента M_F от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента от единичного фактора.

3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:

где: Δ — перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI – изгибная жесткость на участке.

Определение обощенных сил и перемещений

Потенциальную энергию можно определять через работу внешних сил (см. — здесь).

В общем случае: , где Р₀ – любой силовой фактор (растягивающая сила, крутящий момент и тому подобное) называется обобщённой силой;

δ₀ – соответствующая этой силе деформация (удлинение, угол закручивания, угол поворота и тому подобное) называется обобщённым перемещением.

Под обобщённой силой Р₀ следует понимать не одну силу, а уравновешенную систему сил (включая сюда и реактивные усилия), которая производит деформацию.

Рассмотрим общий случай нагружения при изгибе.

За отдельные обобщенные силы здесь можно принимать:

1) Сосредоточенную силу Р с реакциями и

2) Два момента М₀ с соответствующими реакциями.

3) Равномерно распределённую нагрузку q с реакциями А и В.

Обобщённым перемещением δ₀ будем называть величину, характеризующую деформацию, на которую нужно умножить обобщённую силу, чтобы подсчитать произведённую ею работу.

Обобщённым перемещением будут:

1) Прогиб f под силой P,

2) Взаимный угол поворота сечений, где приложены моменты М₀ :

3) Площадь, заключённая между первоначальной и изогнутой осью балки в районе расположения распределённой нагрузки:

Следует отметить, что если действующая на конструкцию нагрузка представлена несколькими обобщёнными силами (Р₀₁, P₀₂, P₀₃,… и т. д.),то каждое из обобщённых перемещений (δ₀₁, δ₀₂, δ₀₃ и т. д.) является, вообще говоря, функцией всех обобщённых сил:

Так, прогиб под силой Р (см. рисунок) является результатом действия не только силы Р , но и моментов М₀ и распределённой нагрузки q.

Обобщённое перемещение будем считать положительным, если соответствующая обобщённая сила на этом перемещении совершает положительную работу.

Обобщённое перемещение, соответствующее определённой обобщённой силе, не изменится при изменении способа закрепления элемента конструкции.

Зависимости могут быть записаны так:

Здесь а₁₁, а₂₁ и т. д. – некоторые коэффициенты пропорциональности.

Первый индекс указывает порядковый номер перемещения, второй – порядковый номер обобщённой силы.

Потенциальная энергия деформации, создающаяся в упругой системе в результате действия нескольких обобщённых сил, равна половине суммы произведений обобщённых сил на соответствующие обобщённые перемещения, получающиеся от совместного действия всех обобщённых сил:

Вычисление потенциальной энергии

Потенциальная энергия деформации U равна работе внешних сил W (см. — здесь).

Рассмотрим отдельные виды деформаций.

Растяжение -сжатие

Кручение

Изгиб

При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними. Множитель ½ появился здесь как следствие того, что нагружение является статическим и деформации упруги – работа внешних сил измеряется площадью заштрихованного треугольника.

Из полученных выражений следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлению в том сечении, где эта сила приложена.

Таким образом, в общем случае можно записать:

, где U — потенциальная энергия деформации, W — работа внешних сил, P₀ — любой силовой фактор (растягивающая сила, крутящий момент и тому подобное) называется обобщённой силой ; δ₀ — соответствующая этой силе деформация (удлинение, угол закручивания, угол поворота и тому подобное) называется обобщённым перемещением (или — обобщенная координата).

Под обобщённой силой Р₀ следует понимать не одну силу, а уравновешенную систему сил (включая сюда и реактивные усилия), которая производит деформацию.

Энергетические методы определения деформаций

Для определения перемещений при изгибе (прогибов и углов поворота сечений балок) существуют различные методы (способы). Это интеграл (формула) Мора, метод начальных параметров, метод (правило) Верещагина, формула Симпсона. Кроме них существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии.

Представим, что к стержню подвешен груз. При статическом растяжении упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии действующего на стержень груза (уменьшение) за счёт перемещения нижнего конца стержня полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня (увеличение).

Действительно, если мы будем нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP, то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится, и ее потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится. Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.

Статической называется такая нагрузка, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей, т. е. их скорость остается постоянной и ускорение отсутствует. При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой.

При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере. Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу.

Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы.

Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок U_F. Тогда величина U_F измеряется положительной работой этих нагрузок W_F, с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил W, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

Заменяя в этой формуле величины U_F и U численно равными им значениями работ W_F и —W, получаем иную формулировку этого закона:

W_F = —W или W_F + W = 0

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым «началом» возможных перемещений в применении к упругим системам. Последнее равенство выражает, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю. Таким образом, начало возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии. А потенциальная энергия деформации U численно равна работе внешних сил W_F, проделанной ими этой деформации:

Формула Симпсона для определения перемещений

Для определения перемещения по формуле Симпсона необходимо:

1. Построить грузовую эпюру моментов (эпюру моментов от действия всех внешних нагрузок).
2. Построить единичную эпюру моментов. Для этого в сечении, где нужно определить линейное перемещение (прогиб) приложить единичную силу, а для определения углового перемещения — единичный момент, и от данного единичного фактора построить эпюру изгибающих моментов.
3. Перемножить эпюры (грузовую и единичную) по формуле, которая называется формулой Симпсона:

где l_i – длина участка;

EI_i – жесткость балки на участке;

– значения изгибающих моментов с грузовой эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка;

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак «+», если с разных, то знак «-».

Если результат получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного силового фактора.

Правило Верещагина (способ перемножения эпюр)

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ«перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, но также можно определить перемещения по способу (правилу) Верещагина. Этот способ А.К. Верещагин предложил в 1924 году, будучи студентом.

Рассмотрим последовательность действий по правилу Верещагина. Начальный этап такой же, как по формуле Мора и способу Симпсона, т.е. вначале строится грузовая эпюра от действующих нагрузок (действительное состояние), затем рассматриваем балку во вспомогательном состоянии. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила, равная единице , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару сил, момент, равный единице. Строится эпюра единичных моментов или эпюра от единичной нагрузки. Далее перемещение вычисляется по формуле:

, где в числителе — произведение площади грузовой эпюры на ординату единичной (обязательно прямолинейной), взятой под центром тяжести грузовой эпюры, а в знаменателе — жесткость сечения.

Этот способ становится понятным,если доказать, что результат перемножения двух эпюр ,одна и которых произвольна ,а другая линейна, равен произведению площади грузовой эпюры на ординату единичной, взятой под центром тяжести грузовой эпюры.

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр применимы только при наличии двух условий:

1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной(EI=Const),
2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке (грузовая или единичная) должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

Пусть грузовая эпюра произвольна, а единичная линейна (так как единичной нагрузкой бывает обычно либо сосредоточенная сила, либо пара сил, то единичная эпюра М 0 оказывается ограниченной прямыми линиями). Пусть грузовая эпюра М(z) имеет криволинейное очертание, а эпюра М 0 – прямолинейное (см. рисунок). Произведение можно рассматривать как элемент площади эпюры М, заштрихованной на рисунке.

Так как ордината М 0 равна то произведение , а весь интеграл , где

— статический момент площади эпюры М(z) относительно оси ординат

Но! Статический момент площади ,как известно, это произведение самой площади на координату центра тяжести. Тогда

, где — это

ордината в единичной эпюре, расположенной под центром тяжести грузовой эпюры. Окончательно, перемещение равно:

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади грузовой эпюры на ординату другой (обязательно прямолинейной), взятой под центром тяжести грузовой эпюры.

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс», а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Определение перемещений

Виды перемещений. Дифференциальное уравнение упругой линии балки

При плоском изгибе балки её упругая линия, лежащая в плоскости действия внешних сил, искривляется, точки этой линии получают некоторые перемещения.

Произвольно выбранная точка С перемещается как в направлении, перпендикулярном АВ, так и вдоль этой линии на величину . Наибольший практический интерес представляет перемещение , которое называется прогибом балки. Угол между направлениями 1-1 и 2-2 называется углом поворота сечения балки. Таким образом , перемещения бывают линейные и угловые.

Наряду с расчётом балки на прочность необходимо производить и расчёт на жёсткость, то есть определять прогибы и углы поворота балки. Существует несколько способов решения задачи о деформациях балок. Рассмотрим аналитический способ. Установим зависимость координаты – уравнение упругой линии.

Из рисунка видно ,что Но! В упругой стадии работы материала углы поворота настолько малы ,что можно считать угол равным его тангенсу. Вспомнив геометрический смысл производной, можно принять угол поворота равным первой производной прогиба по абсциссе сечения.

Правила знаков для перемещений, знаки перемещений

Угол считается положительным, если сечение поворачивается против хода часовой стрелки и наоборот. Прогиб считают положительным согласно принятому направлению осей координат. Если ось координат направлена вверх, то положительным будет прогиб вверх, а отрицательным — вниз.

Для нахождения зависимости y=f(z) используем известное соотношение между кривизной оси с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки

При постоянных моменте, кривизне и жесткости балка изгибается по окружности.

Из математики известно, что кривизна кривой может быть выражена так:

Пренебрегая получим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

При приближённом дифференциальном уравнении изогнутой оси балки пользуются принципом малости перемещений, а если перемещения очень большие, то используют точное дифференциальное уравнение. В технике допускаемая величина прогиба , где — длина пролёта балки. Уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с разделяющимися переменными и может быть проинтегрировано в общем виде:

где v- линейное перемещение (прогиб), θ – угловое перемещение, С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

С₁– угол поворота в начале координат, умноженной на величину ЕI;

С₂ – прогиб балки в начале координат, умноженный на EI.

Значения этих постоянных определяют из граничных условий ,т.е. условий опирания балки и условий на границах смежных участков. Вот эти условия:

— у свободно лежащей балки прогибы на обеих опорах равны нулю. При симметричном нагружении у такой балки угол поворота в середине пролета также равен нулю;

— у консольной балки в заделке и прогиб и угол поворота равны нулю;

— на границе смежных участков балки прогиб и угол поворота одинаковы как для левого, так и для правого участка.

Определение перемещений по методу начальных параметров (или по универсальным формулам прогибов и углов поворота сечений)

где у₀ и φ₀ – начальные параметры, то есть прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки:

Порядок определения перемещений по универсальным формулам:

1. Определить все опорные реакции.
2. Поместить начало координат обязательно в крайнее сечение балки (левое или правое).
3. Ось у направить вверх, ось z — вдоль балки.
4. Найти начальные параметры из условий закрепления балки (возможные случаи показаны выше).
5. Зная начальные параметры у₀ и φ₀, по универсальным формулам определить интересующие нас перемещения.

При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:

а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.

б) Каждая внешняя сила (Мi, Fi, qi) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.

Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару .

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:

Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,

— крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния .

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:

1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

Если результат вычисления получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» ( ), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

где li – длина участка;

EIi – жесткость балки на участке;

M_F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка;

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:

Задача

Определить угол поворота сечения на левой опоре φ_А

1) Находим опорные реакции действительного состояния .

2) Строим эпюру моментов действительного состояния М.

3) Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φ_А.

4) Находим опорные реакции вспомогательного состояния

«Реагируем» на знак «минус».

5) Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:

6) «Перемножаем» эпюры

Поскольку одна из них (а именно ) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента»

Определение перемещений. Метод начальных параметров

Метод начальных параметров (или по универсальным формулам прогибов и углов поворота сечений)

где у₀ и φ₀ – начальные параметры, то есть прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки:

Порядок определения перемещений по универсальным формулам:

1. Определить все опорные реакции.
2. Поместить начало координат обязательно в крайнее сечение балки (левое или правое).
3. Ось у направить вверх, ось z — вдоль балки.
4. Найти начальные параметры из условий закрепления балки (возможные случаи показаны выше).
5. Зная начальные параметры у₀ и φ₀, по универсальным формулам определить интересующие нас перемещения.

При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:

а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.

б) Каждая внешняя сила (М_i, F_i, q_i) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.

Задача

Найти прогиб конца консоли.

1. Задаемся направлениями опорной реакции А и реактивного момента в заделке М_А и составляем уравнения статики:

откуда А = q·2 + F = 10·2 + 20 = 40кН,

1. Помещаем начало координат в заделку (т.0).
2. Ось у направляем вверх, ось z – вдоль балки (вправо).
3. Формулируем условия закрепления балки при выбранном расположении начала координат:

Реализуем эти условия с помощью универсальных формул:

1. Учитывая найденные значения у₀ и φ₀, с помощью формулы прогибов найдём прогиб конца консоли:

при z = 4м

Знак «плюс» результата говорит о том, что прогиб конца консоли происходит в положительном направлении оси у, то есть вверх.

Для получения численного значения прогиба результат следует разделить на изгибную жёсткость балки ЕI, то есть

Источник