Способы определения координат центров тяжести тел
Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное твердое тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит, соответственно, в данной плоскости, оси или центре.
2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).
Пример. Определить координаты центра тяжести пластины, изображенной на рис. 6.3.
Решение: Для нахождения центра тяжести пластины разбиваем ее на три прямоугольника и отмечает центры тяжести каждого из них: C1, C2 и C3. Затем определяем координаты центров тяжести каждого прямоугольника и их площади:
Тогда координаты центра тяжести пластины, согласно формулам из раздела 6.2, будут равны:
см; 
см.
Ответ: 
см; 
см.
3. Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.
Пример. Определить центр тяжести круглой пластины, имеющей вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6.4).
Решение: Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины O1. Площадь пластины без выреза S1= πR 2 , 
, площадь выреза S2 = πr 2 = π0,36R 2 . Площадь пластины с вырезом S2 = =πR 2 (1 — 0,36)= 0,64πR 2 ; 
.
Пластина с вырезом имеет ось симметрию О1x, следовательно, yc=0.
.
4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы 
, для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид: 
.
Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:
; 
; 
.
Аналогично, формулы для определения координат центра тяжести площади:
; 
.
Формулы для определения положения центра тяжести линии имеют вид:
; 
; 
.
Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.
Пример. Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2α (рис. 6.5).
Решение: Дуга окружности симметрична оси Ох, следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох, yс = 0. Выделим на дуге AB элемент длиной 
, положение которого определяется углом j. Координата x этого элемента будет равна 
.
Тогда, согласно формуле определения центра тяжести линии, получим:
,
где 
– длина дуги AB.
6. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 6.6).
; 
; 
.
Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.
Источник
Экспериментальные методы
Метод подвешивания
Метод заключается в том, что тело (если размеры это позволяют) последовательно подвешивают за две любые его точки (рис. 10.12).
 | Рисунок 10.12 |
Известно, что на тело будут действовать две силы (сила натяжения нити и вес тела). Поэтому в положении равновесия эти силы действуют по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, центр тяжести тела будет находиться на линии, которая является продолжением нити: подвесили за точку А – на линии АА1; подвесили за точку В – на линии ВВ1. Точка С пересечения этих линий будет центром тяжести тела.
Метод взвешивания
Для определения положения центра тяжести некоторого тела (рис. 10.13) кладем его на платформы трех весов в точках А, В и D.
 Рисунок 10.13 |
Тело находится в равновесии под действием четырех сил: 
– вес тела, 
– реакции платформ, величины которых покажут соответствующие весы.
Имеем уравновешенную параллельную пространственную систему сил. Составляем уравнения равновесия, согласно таблице 6.2.
В этих уравнениях три неизвестные: Р, Xс, Yс, которые легко определить, если координаты хB, хD, уD известные.
Вопросы для самоконтроля по теме 10
1. Что называется центром параллельных сил?
2. Как определить координаты центра параллельных сил?
3. Сформулируйте теорему Вариньона.
4. Что называют центром тяжести тела?
5. Какие существуют способы определения положения центра тяжести тела?
6. По каким формулам определяются координаты центра тяжести однородного объемного
7. Если тело имеет элемент симметрии, где находится его центр тяжести?
8. Запишите формулы для определения координат центра тяжести
– площади кругового сектора.
9. Запишите формулы для определения координат центра тяжести плоской фигуры.
10. Какие существуют экспериментальные способы определения положения центра тяжести тела? Объясните их сущность.
Источник
Способы определения координат центров тяжести тел
Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное твердое тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит, соответственно, в данной плоскости, оси или центре.
2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).
Пример. Определить координаты центра тяжести пластины, изображенной на рис. 6.3.
Решение: Для нахождения центра тяжести пластины разбиваем ее на три прямоугольника и отмечает центры тяжести каждого из них: C1, C2 и C3. Затем определяем координаты центров тяжести каждого прямоугольника и их площади:
Тогда координаты центра тяжести пластины, согласно формулам из раздела 6.2, будут равны:
см; 
см.
Ответ: 
см; 
см.
3. Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.
Пример. Определить центр тяжести круглой пластины, имеющей вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6.4).
Решение: Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины O1. Площадь пластины без выреза S1= πR 2 , 
, площадь выреза S2 = πr 2 = π0,36R 2 . Площадь пластины с вырезом S2 = =πR 2 (1 — 0,36)= 0,64πR 2 ; 
.
Пластина с вырезом имеет ось симметрию О1x, следовательно, yc=0.
.
4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы 
, для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид: 
.
Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:
; 
; 
.
Аналогично, формулы для определения координат центра тяжести площади:
; 
.
Формулы для определения положения центра тяжести линии имеют вид:
; 
; 
.
Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.
Пример. Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2α (рис. 6.5).
Решение: Дуга окружности симметрична оси Ох, следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох, yс = 0. Выделим на дуге AB элемент длиной 
, положение которого определяется углом j. Координата x этого элемента будет равна 
.
Тогда, согласно формуле определения центра тяжести линии, получим:
,
где 
– длина дуги AB.
6. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 6.6).
; 
; 
.
Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.
Источник
