Два способа вычитания векторов

Теорема доказана.

Пример задачи на понятие разности векторов

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

Из первого правила разности двух векторов, получаем

б) Так как $\overrightarrow=\overrightarrow$, получим

По теореме 2, имеем

Используя правило треугольника, окончательно имеем

Источник

Вычитание векторов

Как происходит вычитание векторов

Вычитание векторов — это арифметическое действие в геометрии, при котором из одного вектора отнимают другой.

Чтобы вычесть \(\overrightarrow b\) из \(\overrightarrow а\) , нужно найти такой \(\overrightarrow с\) , сложение которого с вектором \(\overrightarrow b\) составляло бы \(\overrightarrow а\) .

Таким образом, формула разности будет выглядеть так:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

\(\overrightarrow а-\overrightarrow b=\overrightarrow а+\left(-\overrightarrow b\right)\)

Если задан \(\overrightarrow а\) , то можно построить противоположный ему \(-\overrightarrow а\) , равный по длине, но противоположно направленный. Тогда происходит сведение двух противоположно направленных векторов к нулевому:

\(\overrightarrow а+\left(-\overrightarrow а\right)=0\)

Как производится вычитание векторов по координатам

Если необходимо произвести вычитание векторов по координатам, то следует просто вычесть соответствующие точки. То есть если из \(\overrightarrow а\) отнимается \(\overrightarrow b\) , то из X₁ отнимаем X_2, из Y₁ Y₂ и из Z₁ Z₂.

Проиллюстрируем координатное пространство:

Основные правила вычисления

Для того, чтобы найти значение разности векторов, можно использовать несколько способов.

Правило треугольника

Чтобы графически продемонстрировать разность, необходимо отложить от произвольной точки вектор \(\overrightarrow а\) , из его начала \(\overrightarrow b\) . Тогда вектор, начало которого совпадает с концом \( \overrightarrow b\) , а конец — с концом \(\overrightarrow a\) , и будет искомым вектором разности \(\overrightarrow a\;-\;\overrightarrow b\) . Проиллюстрируем это:

Правило параллелограмма

Если два неколлинеарных, то есть непараллельных вектора \(\overrightarrow а\) и \(\overrightarrow b\) имеют общее начало, то их разностью является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на \(\overrightarrow а\) и \(\overrightarrow b\) , причем начало этой диагонали совпадает с концом \(\overrightarrow b\) , а конец — с концом \(\overrightarrow а\) .

Если векторы \(\overrightarrow а\) и \(\overrightarrow b\) заданы в некотором промежутке:

\(\overrightarrow a=\left(а_1;а_2\right),\;\overrightarrow b=\left(b_1;b_2\right)\)

то, чтобы найти координаты их разности \(\overrightarrow a\;-\;\overrightarrow b\) , необходимо от точек \(\overrightarrow a\) отнять соответствующие точки \(\overrightarrow b\) :

\(\overrightarrow a\;-\;\overrightarrow b=\left(a_1;a_2\right)-\left(b_1;b_2\right)=\left(a_1-b_1;a_2-b_2\right)\)

Проиллюстрируем правило многоугольника:

Примеры задач на понятие разности векторов

Задача 1

Дано

\(\overrightarrow a\;=\left(2;-1\right),\;\overrightarrow b=\left(0;2\right)\)

Найти: \(\overrightarrow с=2\overrightarrow a-3\overrightarrow b\;\)

Решение

Найдем координаты \(2\overrightarrow a\) и \(3\overrightarrow b\) . Для этого умножим каждую на два и три:

\(2\overrightarrow а=2\times\left(2;-1\right)=\left(2\times2;2\times\left(-1\right)\right)=\left(4;-2\right), 3\overrightarrow b=3\times\left(0;2\right)=\left(3\times0;3\times2\right)=\left(0;6\right)\)

Тогда искомый вектор:

\(\overrightarrow с=2\overrightarrow a-3\overrightarrow b=\left(4;-2\right)-\left(0;6\right)=\left(4-0;\;-2-6\right)=\left(4;-8\right)\)

Ответ: \(\overrightarrow с=\left(4;-8\right).\)

Задача 2

Дано

Найти: координаты \(\overrightarrow-\overrightarrow.\)

Решение

Для начала найдем проекции \(\overrightarrow\) и \(\overrightarrow\) .

Для этого от координат конца вектора, то есть точек B и D, нужно отнять соответствующие проекции его начала, то есть точек А и С.

Тогда для нахождения координат разности \(\overrightarrow-\overrightarrow\) , от координат первого вычтем координаты второго:

Источник

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

Для плоских задач

Для трехмерных задач

Для n-мерных векторов

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие: Формула вычитания векторов Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b . » data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″> Оцените статью Вам также может понравиться Ясень семена способ распространения Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической Ярлыки способы создания ярлыков ос windows Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки Японское удобрение фуджима способ применения Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка Японский чай способ заварки Технология заваривания японского чая Известно, что Правообладателям Политика конфиденциальности Контакты Для плоских задач Для трехмерных задач Для n-мерных векторов Источник