Два способа решения задач с частями

Задачи на части

Рассмотрим задачи, для решения которых некоторую величину можно принять за одну или несколько частей. При решении таких задач бывает полезно делать рисунки, облегчающие решение.

Задача 1. В двух коробках лежит 120 дисков — в первой коробке в 3 раза больше дисков, чем во второй. Сколько дисков лежит в каждой коробке?

Решение: Представим содержимое коробок в виде частей. Если диски, находящиеся во второй коробке, составляют 1 часть, то в первой коробке — 3 такие части. Сделаем схематический рисунок:

1) Сколько частей составляют 120 дисков?

2) Сколько дисков приходится на 1 часть?

120 : 4 = 30 (дисков).

3) Сколько дисков находится в первой коробке?

30 · 3 = 90 (дисков).

Ответ: 90 — в первой коробке, 30 — во второй.

Задача 2. Некто заплатил за книгу на 120 рублей больше, чем за тетрадь. Известно, что книга дороже тетради в 4 раза. Сколько стоит книга?

Решение: Представим стоимость в виде частей. Если стоимость тетради составляет 1 часть, то стоимость книги составляет 4 такие же части. Сделаем схематический рисунок:

1) 4 — 1 = 3 (части) — приходится на 120 рублей.

2) 120 : 3 = 40 (рублей) — приходится на 1 часть.

3) 40 · 4 = 160 (рублей) — стоит книга.

Ответ: Книга стоит 160 рублей.

Задача 3. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

Решение: Сделаем схематический рисунок:

1) Если из первой коробки вынуть 6 карандашей, в ней станет столько же карандашей, сколько и во второй:

2) Найдём число карандашей в каждой из коробок:

3) Теперь вернём 6 карандашей в первую коробку:

Ответ: В первой коробке 18 карандашей, во второй — 12.

Источник

Как решить задачу с частями

Условие 1. Роман поймал на речке 2,4 кг окуней. 4 части он отдал сестре Лене, 3 части – брату Сереже, а одну часть оставил себе. Сколько кг окуней получил каждый из детей?
Решение: Обозначьте массу одной части через Х (кг), тогда масса трех частей – 3Х (кг), а масса четырех частей – 4Х (кг). Известно, что всего было 2,4 кг, составим и решим уравнение:

Х = 0,3 (кг) – окуней получил Роман.

1) 3*0,3 = 0,9 (кг) – рыбы дали Сереже.

2) 4*0,3 = 1,2 (кг) – окуней получила сестра Лена.

Ответ: 1,2 кг, 0,9 кг, 0,3 кг.

Следующий вариант тоже разберем на примере:

Условие 2. Для приготовления грушевого компота нужна вода, груши и сахар, масса которых должна быть пропорциональна числам 4,3 и 2 соответственно. Сколько нужно взять каждого компонента ( по массе), чтобы приготовить 13,5 кг компота?
Решение: Пусть для приготовления компота требуется a (кг) воды, b (кг) груш, c (кг) сахара.

Тогда a/4=b/3=с/2. Примем каждое из отношений за Х. Тогда a/4=Х, b/3=Х, с/2 = Х. Отсюда следует, что a = 4Х, b = 3X, c = 2X.
По условию задачи, a + b + c =13,5 (кг). Из этого следует, что

1) 4*1,5 = 6 (кг) – воды;

2) 3*1,5 = 4,5 (кг) – груш;

3) 2*1,5 = 3 (кг) – сахара.

Ответ: 6, 4,5 и 3 кг.

Следующий тип решения задач «на части» — на нахождение дроби от числа и числа от дроби. При решении задач такого типа необходимо запомнить два правила:

1. Для того чтобы найти дробь от определенного числа, нужно это число умножить на данную дробь.

2. Чтобы найти все число по заданному значению его дроби, необходимо данное значение поделить на дробь.
На примере разберем такие задачи. Условие 3: Найти значение Х, если 3/5 части этого числа равны 30.

Оформим решение в виде уравнения:

В соответствии с правилом, имеем

Условие 4: Найти площадь огорода, если известно, что вскопали 0,7 всего огорода, а осталось вскопать 5400 м2?

Возьмем весь огород за единицу (1). Тогда,

1). 1 – 0,7 = 0,3 – не вскопанная часть огорода;

2). 5400:0,3 = 18000(м2) – площадь всего огорода.

Ответ: 18000 м2.
Рассмотрим еще один пример.

Условие 5: Путешественник был в пути 3 дня. В первый день он прошел1/ 4 часть пути, во второй – 5/9 оставшегося пути, в последний день он прошел оставшиеся 16 км. Необходимо найти весь путь путешественника.

Решение: Возьмем весь путь за Х (км). Тогда, в первый день он прошел 1/ 4Х(км), во второй – 5/9(Х – 1/ 4Х) = 5/9*3/4Х = 5/12Х. Зная, что в третий день он прошел 16 км, то:

Ответ: Весь путь путешественника равен 48 км.

Условие 6: Купили 60 ведер, причем 5-литровых было в 2 раза больше, чем 10-литровых. Сколько частей приходится на ведра 5литров, на ведра 10 литров, на все ведра? Сколько купили 5-литровых и 10-литровых ведер?

Пусть ведра 10-литровые составляют 1 часть, тогда 5-литровые составляют 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на все ведра;

2) 60:3 = 20 (ведра.) — приходится на 1 часть;

3) 20·2 = 40 (ведра) — приходится на 2 части (пятилитровые ведра).

Условие 7: На выполнение домашнего задания (алгебра, физика и геометрия) Рома потратил 90 минут. На физику он затратил 3/4 того времени, что потратил на алгебру, а на геометрию на 10 мин меньше, чем на физику. Сколько времени Рома потратил на каждый предмет отдельно.

Решение: Пусть х (мин) он потратил на алгебру. Тогда 3/4х (мин) ушло на физику, а на геометрию затрачено (3/4х – 10) минут.

Зная, что на все уроки он потратил 90 минут, составим и решим уравнение:

Источник

Задачи на части с решением

Задачи на части. Само название вида задач говорит о том, что рассматриваемые в них величины состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других надо суметь выделить, приняв подходящую величину за 1 часть и определив, из скольких таких частей состоят другие величины, о которых идет речь в задаче.

Задача 1. Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10 кг ягод?

Решение: В задаче идет речь о массе ягод и массе сахара, необходимых для варки варенья. Известно, что всего ягод 10 кг и что на 2 части ягод надо брать 3 части сахара. Требуется найти массу сахара, чтобы сварить варенье из 10 кг ягод.

Изобразим при помощи отрезка массу ягод. Тогда половина отрезка представляет собой массу ягод, которая приходиться на 1 часть. Сахара же по условию задачи надо 3 таких части.

В

10 кг

С ?

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1) 10 : 2 = 5 (кг) – столько кг ягод приходится на каждую часть;

2) 53 = 15 (кг) – столько надо взять сахара.

Ответ: необходимо взять 15 кг сахара.

Задача 2. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй. Всего было 70 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Решение: В задаче рассматриваются две пачки тетрадей. Всего тетрадей 70. В одной пачке на 10 тетрадей больше. Требуется узнать количество тетрадей в каждой пачке.

Изобразим при помощи отрезка количество тетрадей в первой и во второй пачке.

1 ? 10 т.

2 70 т.

По чертежу видно, что если тетради во второй пачке составляют 1 часть всех тетрадей, то тетради в первой пачке составляют 1 часть и еще 10 тетрадей.

Если эти 10 тетрадей убрать из первой пачки, то в пачках станет поровну. Запишем решение по действиям.

1) 70 – 10 = 60 (т) – столько тетрадей приходится на 2 равные части, или столько было бы тетрадей в двух пачках, если бы их было поровну;

2) 60 : 2 = 30 (т) – столько тетрадей приходится на 1 часть, или столько тетрадей было во второй пачке;

3) 30 + 10 = 40 (т) – столько тетрадей было в первой пачке.

Мы использовали при решении вспомогательную модель – чертеж, которая показывает и второй способ решения. Если за 1 часть принять тетради в первой пачке, то чтобы во второй стало столько же, надо к ней прибавить 10 тетрадей:

Существует и третий арифметический способ решения данной задачи:

1) 10 : 2 = 5(т.) – столько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую, чтобы в них стало поровну;

2) 70 : 2 = 35 (т.) – столько тетрадей в каждой пачке, если из первой переложить во вторую 5 тетрадей;

3) 35 + 5 = 40 (т.) – столько тетрадей в первой пачке;

4) 35 – 5 = 30 (т.) – столько тетрадей во второй пачке.

Ответ: в первой пачке 40 тетрадей, во второй – 30 тетрадей.

Задача. В новом книжном шкафу на каждой полке разместилось на 8 книг больше, чем в старом. Поэтому, в новом шкафу на 5 полках укладывается столько книг, сколько в старом на 7. Сколько книг размещается на одной полке нового шкафа?

Решение: Пусть х книг – на одной полке в новом шкафу. Тогда (х – 8) книг – в старом шкафу. 5х (книг) – на пяти полках в новом шкафу. 7(х – 8) (книг) – на семи полках старого шкафа. Получим уравнение: 5х = 7(х – 8). Решаем его. 5х = 7х – 56; х = 28.

Ответ: 28 книг в новом шкафу.

Данные задачи также разбираются на семинарах в Москве.

Задача. В двух бидонах 28 л краски. Когда из первого израсходовали 3 л, а во второй долили 2 л, то в первом бидоне стало на 7 л больше, чем во втором. Сколько краски было в начале в каждом бидоне?

Решение: Пусть было х л краски в первом бидоне, (28 – х) л – во втором. Тогда, после того, как израсходовали краску из первого бидона, в нем стало на 7 л больше чем во втором: (х – 3) – 7 = 28 – х + 2. Решаем уравнение: 2х = 40; х = 20. Значит, 20л было в первом бидоне. А во втором было 28 – х = 8(л).

Ответ: В первом бидоне было 20 л краски, во втором – 8 л.

Задача. Комбайнер в первый день убрал пшеницу с 5/18 площади участка, во второй – с 7/13 оставшейся площади, а в третий – с последних 9,5 га. Сколько пшеницы было собрано со всего участка, если средняя урожайность со всего поля составила 30 ц с гектара?

Решение. 1) 5/15 + 7/13 = 191/234 – было собрано пшеницы;

2) 1 – 192/234 = 43/234 – осталось собрать;

Источник

Задачи на части

Презентация к уроку

Тип урока: комбинированный.

Цели и задачи урока:

• образовательные – сформировать у учащихся умения решать текстовые задачи на части арифметическим способом, развитие речи (учащиеся должны пересказывать условия, анализировать его, при необходимости отработать навыки решения всех видов задач на части);
• развивающие – развивать и совершенствовать умения, применять имеющиеся у учащихся знания в арифметических действиях, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;
• воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: Проектор, экран, компьютер, карточки, тетради, чистые листы для самостоятельной работы, листочки со схемами.

Ход урока

I. Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.

II. Этап проверки домашнего задания.

Задача: установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях; совершенствовать знания, умения и навыки учащихся при решении текстовых задач на движение.

1. Проверка домашнего задания устно из задания для самопроверки.

Задание 1. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы проехать 60 км за 5 ч?

Решение. 60 : 5 = 12 (км/ч) – скорость велосипедиста.

Ответ: Велосипедист должен ехать со скоростью 12 км/ч, чтобы проехать 60 км за 5 ч.

Задание 2. За какое время велосипедист проедет расстояние 48 км, если будет ехать со скоростью 12 км/ч ?

Решение. 48 : 12 = 4 (ч).

Ответ: Велосипедист проедет расстояние 48 км со скоростью 12 км/ч за 4 ч.

Задание 3. Велосипедист ехал 3 ч со скоростью 14 км/ч. Какое расстояние он проехал?

Решение. 14 * 3 = 42 (км).

Ответ: Велосипедист, ехав 3 ч со скоростью 14 км/ч, проехал 42 км.

Решение задач пиcьменно у доски.

Задача1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В (cлайд 4). Скорость первого 12 км/ч, второго 15 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч, если расстояние между ними 64 км.

Эту задачу можно решить двумя способами.

I способ.

Решение. Найдём расстояние, которое пройдёт за 2 ч каждый велосипедист.

1) 12 * 2 = 24 (км) – проедет I велосипедист;
2) 15 * 2 = 30 (км) – проедет II велосипедист;
3) 24 + 30 = 54 (км) – проедут вместе 2 велосипедиста за 2 ч.

Найдём расстояние между велосипедистами.

4) 64 – 54 = 10 (км) – будет расстояние между ними через 2 ч.

II способ.

1) Найдём скорости сближения велосипедистов.
12 + 15 =27 (км/ч) – скорости сближения велосипедистов;

2) Найдем на какое расстояние удаляется 2 велосипедиста друг от друга за 2 ч.
27 * 2 = 54 (км) – удалятся 2 велосипедиста за 2 ч.

3) Какое расстояние будет между ними через 2 часа?
64 – 54 = 10 (км0 – расстояние между ними.

Ответ: 10 км – будет расстояние между велосипедистами через 2 часа.

Проверка работы, выполненной на доске. Каждый учащийся комментирует свою решенную задачу. Выясняется, что учащиеся не поняли или не усвоили.

2. Устный счет.

Всему классу предлагается решить задание № 14 из «Задания для самопроверки» устно стр. 81.

Чему равна скорость лодки по течению реки?
6 км/ч + 2 км/ч = 8 км/ч – скорость лодки по течению реки;

Сколько км проплывет лодка по течению реки за 2 ч?
8 * 2 = 16 (км) – проплывет лодка по течению реки за 2 ч;

Чему равна скорость лодки против течения реки?
6 км/ч – 2 км/ч = 4 км/ч – скорость лодки против течения реки;

Сколько км проплывет лодка против течения реки за 3 ч?
4 * 3 = 12 (км) – проплывет лодка за 3 ч против течения реки.

Задание 4. Ленту длиной 11 м 20 см разрезали на куски по 80 см. Сколько получилось таких кусков?

Решение. 11 м = 1100 см ; 1100 см + 20 см = 1120 см; 1120 см : 80 см = 14 (кусков).

3. Самостоятельная работа по дидактическому материалу (время выполнения 7 минут).

Вариант 1. Какое расстояние пройдёт теплоход по течению реки за 3 ч, если его собственная скорость 29 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч?

Вариант 2. Какое расстояние пройдёт катер против течения реки за 4 ч, если его собственная скорость 14 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

Во время выполнения самостоятельной работы учитель следит за выполнением работы.

III. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду задачи.

Обращаем внимание учащихся на экран, где расположен слайд 5 с записью краткого условия задачи.

Задача 2.

Найдём сколько книг на II полке?
67 * 4 = 268 (книг) на II полке;

Найдём сколько всего книг вместе в двух полках?
67 + 268 = 335 (книг) всего.

IV. Этап усвоения новых знаний.

Задача: знакомство учащихся с новым типом текстовых задач. Задачи на части, способ их решения. Добиться умения определять вид задачи, отработать навыки их решения.

Учитель называет вид задачи (задачи на части) и предлагает учащимся записать тему урока: «Задачи на части».

Работаем с книгой.

Решаем задачу из учебника.

Задача 3. В кулинарной книге написано, что для варенья из малины на 3 части ягод надо взять 2 части сахара. Сколько сахара надо взять на 9 кг ягод.

Решаем эту задачу на доске, подробно объясняя ход решения.

Учащиеся записывают в тетради.

Так как 9 кг ягод составляет 3 части, то можно узнать, сколько кг приходиться на 1 часть:

1) 9 : 3 = 3 (кг) – приходиться на одну часть
2) 3 * 2 = 6 (кг) – сахара надо взять

Ответ: 6 кг сахара надо взять на 9 кг ягод.

Следующий шаг увеличение компонентов.

Задача 4. (по схеме)

Составляем схему (слайд 6).

Эта задача на части, только их надо специально ввести.

Будем считать, что шоколадные конфеты – 1 часть, карамель – 3 части.

С помощью вопросов подключаем учащихся к активной работе.

1) Сколько всего частей приходиться на 20 кг конфет?
1 + 3 = 4 (части) – всего;

2) Сколько кг приходиться на 1 часть?
20 : 4 = 5 (кг) приходиться на 1 часть – шоколадных конфет;

3) Сколько кг карамели?
5 * 3 = 15 (кг) карамели.

Ответ: было куплено 5 кг – шоколадных конфет, 15 кг – карамели.

V. Этап проверки учащимися нового материала.

Задача: установить, усвоили ли учащиеся способ решения нового вида «задачи на части».

На интерактивной доске дается задача по карточке, с записью краткого условия задачи.

Задача 5. Определите вид задачи и укажите способ его решения на слайде 7:

Добиться от учащихся правильного ответа; проверить у учащихся умения делать вывод обобщения (на 23 минуте пауза на физминутку).

VI. Этап закрепления нового материала.

Задача: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке для выполнения письменной работы.

Предлагает учащимся решить на доске задачу № 426 (I вариант), № 429 (II вариант).

По вызову учителя учащиеся выходят к доске и решают с объяснением задачу № 426, а задачу № 429 решают без объяснения.

Задача №426. Требуется смешать 3 части песка и 2 части цемента. Сколько цемента и песка в отдельности надо взять, чтобы получить 30 кг смеси?

1) 3 + 2 = 5 (частей) – всего;
2) 30 : 5 = 6 (кг) – на 1 часть приходится;
3) 3 * 6 = 18 (кг) – песка;
4) 2 * 6 = 12 (кг) – цемента.

Ответ: Надо взять на 30 кг смеси 18 кг песка и 12 кг цемента.

Задача №429. При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова. Кусок сплава весит 350 г. Сколько в нем содержится свинца и сколько олова?

1) 2 +5 = 7 (частей) – всего;
2) 350 : 7 = 50 (г) – на 1 часть приходится;
3) 2 * 50 = 100 (г) – свинца;
4) 5 * 50 = 250 (г) – олова.

Ответ: В 350 г сплава содержится 100 г свинца и 250 г олова.

VII. Этап информации учащихся о домашнем задании.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

Предлагает учащимся записать домашнее задание (можно еще раз прочитать о способе решения задач на части): № 425(а), №427.

VIII. Этап всесторонней проверки знаний.

Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении всех видов задач, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю.

Учащимся предлагается выполнить письменно работу по дидактическому материалу.

Самостоятельная работа (на 6 минут).

П-15 (Вариант I) стр. 92.

Задание 5. Компот из сухофруктов содержит 2 части изюма, 3 части яблок и 1 часть груш. Сколько яблок содержится в 300 г компота?

П-15 (Вариант II) стр. 92.

Задание 6. Для овощного рогу нужно 3 части моркови , 1 часть лука и 4 части картофеля. Сколько картофеля надо взять, чтобы подготовить для рогу 600 г овощей?

По истечении времени предлагается учащимся поменяться работами для проверки работ друг друга, на экране даются ответы самостоятельной работы (слайд 8). На проверку отводится 3 минуты. Учащиеся берут простые карандаши, проверяют письменные работы и записывают фамилию проверяющего.

1. по истечении отведенного времени собирают листочки;
2. подводит итог урока с помощью устных вопросов:
   • С каким видом задачи мы познакомились? (с задачей на части)
   • Как решаются эти задачи?
     1. Найдем сколько всего частей;
     2. Найдем сколько приходиться на 1 часть;
     3. Сколько приходится на 2 части, на 3 ч и т.д.;
3. затем отмечает хорошую работу одних, недостаточную работу (активность) других учащихся. Выставляет оценки за работу у доски; за устные ответы.

Литература:

1. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений/ (Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.); под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2007.- 302 с;
2. Математика: Дидактический материал/ С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, К.А. Краснянская и др. – М.: Просвещение, 2009. – 141 с.

Источник