Системы неравенств: определение, виды, примеры решения
Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.
Определение системы неравенств
Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.
Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.
Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2 · x − 3 > 0 и 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:
2 · x — 3 > 0 , 5 — x ≥ 4 · x — 11
Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.
Основные виды системы неравенств
Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:
- количество неравенств системы;
- количество переменных записи;
- вид неравенств.
Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.
2 · x — 3 > 0 , 5 — x ≥ 4 · x — 11
Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.
x ≥ — 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 — x 2 — 4 · y 2
Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.
Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x , y , z . Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 и 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.
При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:
544 — 4 — x 32 — 2 — x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1
Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.
Решение системы неравенств
Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, которое обращает каждое неравенство заданной системы в верное числовое неравенство, то есть будет являться решением каждого имеющегося неравенства.
Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.
x > 7 , 2 — 3 · x ≤ 0
Если значение х = 8 , то решение системы очевидно, так как выполняется 8 > 7 и 2 − 3 · 8 ≤ 0 . При х = 1 система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет 1 > 7 . Таким же образом решается система с двумя и более переменными.
Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.
Если х = 1 и у = 2 будет решением неравенства x + y 7 x — y 0 , потому как выражения 1 + 2 7 и 1 − 2 0 верны. Если подставить числовую пару ( 3 , 5 , 3 ) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 0 .
При решении системы неравенств могут давать определенное количество ответов, а могут и бесконечное. Имеется ввиду множество решений такой системы. При отсутствии решений говорят о том, что она имеет пустое множество решений. Если решение имеет определенное число, тогда множества решений имеет конечное число элементов. Если решений много, тогда множество решений содержит бесконечное множество чисел.
Некоторые учебники дают определение частного решения системы неравенств, которое понимается как отдельно взятое решение. А общим решением системы неравенств считают все его частные решения. Такое определение используется редко, поэтому говорят «решение системы неравенств».
Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.
Источник
Системы линейных неравенств с одной переменной
Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной
Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.
Рассмотрим простейший пример. Система 
состоит из двух неравенств, которые уже решены.
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.
Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:
Но дело в том, что неравенства x > 4 и x соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями, как захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.
Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.
Значит решениями системы являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства x > 4 и x строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:
Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.
Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:
Сначала указывают границы обоих неравенств:
На верхней области отмечают множество решений первого неравенства x > 4
На нижней области отмечают множество решений второго неравенства x (4; 9) , например, число 8
Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.
Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:
Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.
Пример 2. Решить систему неравенств 
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.
Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.
Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:
На верхней области отметим множество решений первого неравенства x > 17
На нижней области отметим множество решений второго неравенства x > 12
Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 3. Решить систему неравенств 
Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок
Получили систему 
. На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.
Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства ( x > 6 и x > 3 ). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы
Пример 4. Решить систему неравенств 
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений системы 
на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 5. Решить неравенство 
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений системы 
на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Когда решений нет
Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.
Пример 1. Решить неравенство 
Решим каждое неравенство по отдельности:
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.
Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:
На координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Это говорит о том, что неравенства y ≥ 7 и y ≤ −3 не имеют общих решений. Значит не имеет решений система 
А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система
Ответ: решений нет.
Пример 2. Решить систему неравенств 
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений неравенств x ≤ −3 и x ≥ 9 на координатной прямой:
Видим, что на координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Значит неравенства x ≤ −3 и x ≥ 9 не имеют общих решений. А значит не имеет решений система 
А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решить систему неравенств 
Решим каждое неравенство по отдельности:
Получили неравенства 0 и a > 5 . Первое неравенство не является верным и не имеет решений. Решением второго неравенство a > 5 являются все числа, которые больше 5. Но поскольку первое неравенство не будет верным ни при каком a , то можно сделать вывод, что у неравенств нет общих решений. А значит не имеет решений исходная система
Источник
