Пропорции
Цели: Ввести понятие пропорции, ее членов; научить составлять пропорции из отношений; ознакомить с двумя способами проверки верной пропорции; развивать грамотную математическую речь.
Информация для учителя
Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, можно:
1. Вычислить числовое значение каждого отношения, составляющего пропорцию.
2. Если отношения верны, то пропорция составлена верно.
3. Если отношения не равны, то пропорция составлена не верно.
1. Найти произведения крайних членов пропорции.
2. Найти произведение ее средних членов
3. Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
I. Организационный момент
1. Найдите: 10% от 500; 40% от 300; 125% от 200; 50% от 620; 250% от 800.
— Как найти процент от числа?
2. Найдите значение выражений: 1/3 + 2/7; 3/8 – 1/3; 4/5 + 2/3; 5/6 – 2/3; 5 – 2/3; 8 – 4/5
III. Работа над задачей
1. Решаем задачу на повторение № 000 (стр.119) (на обратной стороне доски и в тетрадях)
— Решить задачу двумя способами.
— Разобрать только с теми учащимися, которые не понимают, как решать. Они решают только одним способом.
— Зная, что вместо 240 холодильников фактически выпустили 300, что можно знать? (Сколько холодильников выпустили сверх нормы.)
— Зная, сколько холодильников выпустили сверх нормы и зная норму выпуска, что можем узнать? (На сколько процентов увеличилось производство холодильников за смену.)
1) 300 – 240 = 60 (х.) – выпустили сверх нормы.
2) 60 : 240 = 60/240 = 1/4 = 0,25 = 25% — увеличилось производство холодильников за смену.
1) 300/240 = 5/4 = 1,25 = 125% — составляет выпуск холодильников сверх нормы.
В задаче встречается действие деление. Как по другому можно назвать это действие между числами?
Правильно. Так вот мы продолжим изучать отношения …
IV. Сообщение темы урока
— Прочитайте слово: я и о о п п р р ц. Правильно: пропорция. Сегодня на уроке мы познакомимся с пропорциями, узнаем, что они могут быть верными и неверными, научимся составлять верные пропорции.
V. Изучение нового материала
1. Подготовительная работа.
— Придумайте отношение, равное 5.
Записать на доске все ответы.
— Если наши отношения равны 5, я могу составить из них равенства:
100 : 200 = 4: 8 5 : 1 = 500 : 100
100 : 20 = 1/5 : 1/25 50 % 10 = 1/5 : 1/25
— Как по другому записать данное равенство? (Записать частное в виде дроби.)
Определение. Равенство двух отношений называют пропорцией.
2. Работа над новой темой.
а) Запишем пропорцию в буквенном виде: a/b = c/d
Будем считать, что а ≠ 0; b ≠ 0; с ≠ 0; d ≠ 0.
— Читают: отношение a к b равно отношению c к d.
— Или «а так относится к b, как c относится к d».
— Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c — средними членами.
— Назовите крайние и средние члены пропорций.
б) Рассмотрим первую пропорцию: 100 : 200 = 4 : 8.
— Найдите произведение ее крайних и произведение ее средних членов.
— Сравните эти произведения. (Они равны.)
— Проверьте еще две пропорции
— Что интересного заметили?
— Какой вывод можно сделать? (Произведение крайних членов равно произведению средних членов.)
— Я еще добавлю, что это справедливо для пропорции, которая называется верной.
— В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
— Сформулируйте обратное утверждение. (Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция верна.)
— Это свойство называется основным свойством пропорции.
— Запишем это свойство в буквенном виде:
Запись в тетради:
 |
a : b = c : d
a и d – крайние члены
b и c – средние члены
а ≠ 0; b ≠ 0; с ≠ 0; d ≠ 0.
VI. Закрепление изученного материала
а) 5 : 3 = 2 : 1 : 2; 5/3 = 2/1,2; 5/3 = 1 2/3; 2/1,2 = 20/12 = 5/3 = 1 2/3;
б) 0,9 : 1/3 = 45 : 16 2/3; 0,9 : 1/3 = 9·3/10·1 = 2,7; 45 : 16 2/3 = 45·3/50 = 27/10 = 2,7
в) 2/7 : 0,1 = 14 :4,9: 2/7 : 0,1 = 2·10/7·1 = 20/7 = 2 6/7; 14 : 4,9 = 14·10/49 = 140/49 = 2 6/7.
— Какой вывод можно сделать? (Так отношения равны, то пропорции составлены верно.)
— Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, можно вычислить числовое значение каждого отношения.
— Если отношения равны, то пропорция составлена верно.
— Если отношения не равны, то пропорция составлена не верно.
Источник
Что такое пропорция
О чем эта статья:
Что такое пропорция
Пропорция — это равенство двух отношения.
Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.
Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.
Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:
- a : b = c : d
a и d — крайние члены пропорции
Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d
Например:
Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.
15 и 3 — крайние члены пропорции.
5 и 9 — средние члены пропорции.
Наглядный пример для понимания:
У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.
- Запишем эту непростую ситуацию в виде отношения 8 кусочков к 4 голодным друзьям: 8 : 4
- Далее преобразовываем это отношение в дробь: 8/4
- Выполняем деление: 8/4 = 2
Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!
А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.
Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.
- Запишем в виде отношения: 4 : 2
- Преобразовываем получившееся отношение в дробь: 4/2
- Выполняем деление: 4/2 = 2
Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.
Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.
Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉
Основное свойство пропорции
Запомните основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.
В виде формулы свойство выглядит так:
a : b = c : d = a * d = b * c
Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.
Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.
Давайте проверим несколько пропорций.
Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4
- Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, перемножаем ее крайние члены: 6 * 4 = 24.
- Далее перемножаем средние члены пропорции: 2 * 12 = 24
- Произведение крайних членов пропорции равно 24, произведение средних членов пропорции также равно 24.
- 6 * 4 = 2 * 12
24 = 24
Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.
Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4
- Перемножаем крайние члены пропорции: 10 * 4 = 40.
- Перемножаем средние члены: 16 * 2 = 32.
- Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32.
- 10 * 4 ≠ 16 * 2
40 ≠ 32
Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.
Примеры решения задач с пропорцией
Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.
Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4
- По основному свойству пропорции перемножаем множители:
15 * 4 = 3x - Получаем уравнение: 60 = 3x
- 60/3 = x
x = 20.
Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20
Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.
- Записываем чиcла в виде дробей: 18/9 = 24/x
Где x — четвертый член пропорции. - По основному свойству пропорции, перемножаем средние члены: 9 * 24 = 216
- Выводим уравнение 18x = 216
- Находим x:
x = 216 : 18
x = 12 - Проверяем: 9 * 24 = 216, 18 * 12 = 216.
Пропорция составлена верно.
Ответ: четвертый член пропорции — 12.
Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?
- Записываем числа в виде дроби: 18/9 = x/8
- Перемножаем множители по основному свойству пропорции: 18 * 8 = 9x
- Находим х:
144 = 9x
144 : 9 = 16
Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.
Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4
- По основному свойству пропорции перемножаем множители:
20 * 4 = 2y - Получаем уравнение: 80 = 2y
- Находим у:
80/2 = y
x = 40. - Проверяем пропорцию: 20 * 4 = 80, 40 * 2 = 80.
Источник
Математика. 6 класс
Конспект урока
Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
- Краткая запись условия задачи.
- Составление и решение пропорций по условию задачи.
- Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.
Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.
Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.
Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.
Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?
При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.
Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.
Сделаем краткую запись условия.
Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?
При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.
Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.
Сделаем краткую запись условия.
Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?
Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?
Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.
Подставьте нужные элементы в пропуски.
Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?
При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.
Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.
При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.
Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.
№ 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.
Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.
При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.
Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.
Источник
