Другие способы решения систем уравнений с двумя переменными 9 класс

Системы уравнений с двумя переменными, способы решения

Вы будете перенаправлены на Автор24

Напомним для начала определение решения системы уравнений с двумя переменными.

Пара чисел называется решением системы уравнений с двумя переменными, если при их подстановки в уравнение получается верное равенство.

В дальнейшем будем рассматривать системы из двух уравнений с двумя переменными.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений: способ подстановки, способ сложения, графический способ, способ ведения новых переменных. Рассмотрим эти способы на конкретных примерах. Для описания принципа использования первых трех способов будем рассматривать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Способ подстановки

Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Выразим из второго уравнения $y$ через $x$:

Подставим в первое уравнение, найдем $x$:

Ответ: $(-2,\ 3)$

Способ сложения.

Рассмотрим данный способ на примере:

Умножим второе уравнение на 3, получим:

Теперь сложим оба уравнения между собой:

Найдем $y$ из второго уравнения:

Ответ: $(-2,\ 3)$

. Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».

Готовые работы на аналогичную тему

Графический способ

Графический способ заключается в следующем: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:

Изобразим оба графика на одной плоскости:

Ответ: $(-2,\ 3)$

Способ введения новых переменных

Этот способ рассмотрим на следующем примере:

Решение.

Данная система равносильна системе

Пусть $2^x=u\ (u>0)$, а $3^y=v\ (v>0)$, получим:

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

Тогда из второго уравнения, получим, что

Возвращаясь к замене, получим новую систему показательных уравнений:

Источник

Системы уравнений

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

• перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
• разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

x = 7 − 5y

3x − 2y = 4

Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение « 3(7 − 5y) − 2y = 4 » отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*) .

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4 (*)

Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

x + 5y = 7	(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
+ =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
3x − 2y = 4	4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение « 4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы при сложении неизвестное « x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при « x » стоял коэффициент « −3 ».

Для этого умножим первое уравнение на « −3 ».

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

x + 5y = 7 | ·(−3)

3x − 2y = 4

x · (−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)

3x − 2y = 4

−3x −15y = −21

3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21	(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
+ =>	− 3x − 15y + 3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4	−17y = −17 |:(−17)
y = 1

Мы нашли « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо « y » полученное числовое значение и найдем « x ».

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения « x ».

x = 17 + 3y

x − 2y = −13

Подставим вместо « x » во второе уравнение полученное выражение.

x = 17 + 3y

(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = −30 » и найдем « x ».

x = 17 + 3y

y = −30

x = 17 + 3 · (−30)

y = −30

x = 17 −90

y = −30

x = −73

y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)

4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

3x − 3y + 5x = 6x − 4

4x − 2x − 2y = 4 − 3y

8x − 3y = 6x − 4

2x −2y = 4 − 3y

8x − 3y − 6x = −4

2x −2y + 3y = 4

2x − 3y = −4

2x + y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть « 2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений « 2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только « y ».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на « −1 ».

2x − 3y = −4 | ·(−1)

2x + y = 4

2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)

2x + y = 4

−2x + 3y = 4

2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только « y » в уравнении.

−2x + 3y = 4	(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
+ =>	− 2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4	4y = 8 | :4
y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = 2 » и найдем « x ».

Источник

Решение систем уравнений с двумя переменными. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

1) Продолжить работу по оказанию помощи учащимся самостоятельно находить способы решения систем уравнений с двумя переменными.
2) Развивать практические навыки учащихся.
3) Воспитание самостоятельности, ответственного отношения к делу, инициативы и самостоятельности принятия решения.

Оборудование: учебник “Алгебра 9”, материалы теста, дифференцированные карточки, оценочный лист, текст девиза.

Урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Оргмомент:

1) Проверка наличия выполнения домашнего задания (проверяет Совет Кабинета Математик-СКМ);
2) Психологический момент;
3) “Стоп-массаж” – работа на массажных ковриках

4) Девиз дня: “Человек, не знающий на чём он стоит или должен стоять, никогда не достигнет подлинного счастья.”

II. Актуализация опорных знаний.

Задай вопрос по домашнему заданию.

• Какими способами можно решить систему уравнений с двумя переменными?
• П.

• Что понравилось при выполнении домашнего задания?

• Что надо знать, чтобы уметь решать уравнения?

• Какие вопросы пришлось повторить при подготовке к уроку?

• К каким источникам информации обращались?

• Выполните тест.

Читайте также:  Дети демонстрируют навыки отказываться от нежелаемого социально приемлемым способом

1.Найдите решение системы уравнений:

2.Составьте систему уравнений по условию:

Одно из чисел на 2 больше другого. Утроенное первое число равно удвоенному второму.

А) ; Б) ; В) ; С) .

3.Какая из точек является решением данной системы уравнений

III. Поставьте цели для себя и учителя.

Цель для учащихся: Научиться решать системы уравнений с двумя переменными второй степени;

Цель для учителя: Помочь учащимся разобраться с вопросами, в которых не смогли найти решение.

Совет Самому Себе_:_(учащиеся дают сами себе и пожелания на урок – учителю).

IV.Определить уровень работы на сегодняшний урок

(Предлагается 3 уровня)

V. Изучение нового материала

• Учащимся предложили объединиться в группы и найти способы решения.

Учащиеся предложили 2 способа решения:

I.1)упростить 2-е уравнение;

2)выразить одну переменную через другую;

3) подставить в первое уравнение и решить;

1) упростить 2-е уравнение;
2)применить к первому формулу –тождество сокращённого умножения;
3)произвести замену разности и решить линейное уравнение.

• Предложено решить и обменяться решениями;
• Сравнить ответы.
• Сделать вывод : какой способ эффективнее?

VI. Решить систему уравнений (ГИА).

Выразить из первого уравнения у 2 =3-х и выполнить подстановку во второе: у 2 =3-х

Решаем второе уравнение х(3-х)=-4

По т.Виета: х= -1: х=4, т.к. у 2 >=0;

VII. Самостоятельная работа учащихся по заданию соответствующего уровня по выбору.

Оценочный лист учащихся

Ф.И.учащихся

Замечания

Задания разноуровневые учащиеся выбирают сами. Задания записаны на карточках.

Карточки с заданием.

№ карточки

VIII. Домашнее задание.

Составить карточку-тест с заданием для С.Р. разных уровней (по желанию); самим выполнить задания карточки-теста в рабочих тетрадях.

XI. Рефлексия. Выводы, анализ урока.

На серии уроков по данной теме продолжается работа по формированию у учащихся работать с диаграммами. Они позволяют наглядно представить развитие некоторого процесса. Главным остаётся развитие умения читать готовые диаграммы, так как очень часто в жизни мы сталкиваемся с действительностью: порой взрослые не всегда владеют информацией, имеют слабые практические навыки. Показать наглядно, что в век нынешний – век информационных технологий человек нужен с новым мышлением, новыми знаниями, которые сегодняшний ученик имеет. Акцентировать на то, что он умнее, сильнее, грамотнее. Он должен владеть навыками работы на компьютере, использовать Интернет-технологии для экономии времени, не засоряя ненужной информацией. Показать возможности учащемуся, определить его будущие цели, ближайшие перспективы. В данном возрасте учащиеся очень любознательны, увлечены, пытаются многое понять.

Заинтересовать заранее учащихся, подготовить почву для результатов – его цель, и задачи он ставит себе тоже на перспективу.

Продолжить работу по обучению учащихся проведению исследовательской работы, активизировать работу по привлечению учащихся к работе в исследовательских проектах.

Материалы социологических исследований учащихся использовать в работе учителей других учебных предметов в методической копилке учителей ШМО учителей естественно-математического цикла и учителей района.

Источник