Примеры. Доказать равносильность формул, используя их таблицы истинности:
Доказать равносильность формул, используя их таблицы истинности:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
а) Сравним таблицы истинности для правой и левой частей:
Итоговые столбцы таблиц истинности (выделены фоном) совпадают, значит, формулы равносильны.
б) 
Итоговый столбец совпадает с первым столбцом, значит, эта формула равносильна Х.
в) 
Исключить возможно большее число скобок:
а) 
;
б) 
.
а) 
;
б) 
.
Восстановить максимальное число скобок, ориентируясь на формальное определение формулы:
а) 
;
б) 
.
а) 
;
б) 
.
а) 
;
б) 
.
а) Удаляя «лишние» скобки, получим:
.
б) Применяя последовательно основные логические законы (III.2.), (II.1.), (I.5.), (IV.8.) и (IV.1.) и удаляя «по пути» скобки, получим:
.
Доказать равносильность формул, используя логические законы:
а)
;
б) 
.
а) Преобразуем левую формулу к виду правой формулы, последовательно применив логические законы (I.6.), (I.6.) и (I.2.):
.
б) Применим к левой формуле логические законы (III.1.), (II.2.) и (II.1.):
.
Определить, является ли формула тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
а) Приведем формулу к наиболее простому виду, последовательно исключая импликации по логическому закону (III.1.) и убирая двойные отрицания по закону (II.1.):
.
Полученная формула не является логической константой, следовательно, исходная формула не является ни тавтологией, ни противоречием.
б) Применим логические законы (II.2.), (IV.7.) и (IV.2.):
.
Исходная формула – противоречие.
в) Применим (III.1), (I.6), (IV.8) и (IV.1):
Исходная формула не является ни тавтологией, ни противоречием.
г) Применим (III.1), (II.3), (II.2), (II.1), (I.2), (IV.1), (I.5), (IV.3):
Исходная формула не является ни тавтологией, ни противоречием.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
Докажите равносильность двумя способами
Алфавит логики высказываний состоит из трех групп символов: высказывательные переменные a , b , c , d , …, x , y , z ; логические символы 
, 
, →, ↔, −; символы скобок ( , ). Словом в алфавите называется произвольная конечная последовательность символов.
Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:
1) любая высказывательная переменная – формула;
2) если А и В формулы, то слова 
, 
, 
, 
, 
– формулы;
3) только те слова являются формулами, для которых это следует из 1) и 2).
Например: 
или 
. Скобки указывают порядок выполнения действий.
Скобки в формулах можно опускать, придерживаясь следующего порядка выполнения действий: коньюнкция, дизьюнкция, импликация и эквиваленция.
1) 
равносильно 
.
2) 
равносильно 
.
Логическое значение формулы полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний.
При x = 1, y = 1, z = 0 формула 
Логическое значение формулы изменяется в зависимости от изменений значений элементарных высказываний, входящих в формулу. Все возможные логические значения формулы могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.
Таблица истинности логических значений формулы 
будет следующая:
Если формула содержит n элементарных высказываний, то она принимает 2 n значений. Таблица истинности будет содержать 2 n строк.
Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений, входящих в формулы элементарных высказываний.
Обозначается равносильность ≡, т. е. A ≡ B .
Следующие формулы являются равносильными: 
Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией ), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.
Следующие формулы являются тавтологиями: 
,
Формула А называется тождественно ложной , если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных.
Формула 
является тождественно ложной.
Отношение равносильности обладает следующими свойствами: оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула 
– тавтология, и обратно, если формула – тавтология, то формулы А и В равносильны.
Равносильности алгебры логики используются для того, чтобы любую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой.
Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.
1. Основные равносильности
Докажем формулу 4.
Пусть А ≡ 
при x = 1, значение А = 1, при х = 0, значение А = 0. Итак во всех случаях значения формулы А совпадают со значениями х, следовательно, А ≡ х.
2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие
Замечание. Формулы 5 и 6 получаются из 3 и 4, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания.
Докажем формулы 1–4.
Докажем формулу 1.
1) при одинаковых логических значениях x и y формулы 
, 
и 
– истинны, следовательно, истинной будет и коньюнкция 
т. е. обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.
2) пусть теперь x и y имеют разные логические значения , тогда будут ложными 
и одна из или . При этом будет ложной и коньюнкция 
т. е. обе части равносильности имеют одинаковые ложные значения. Что и требовалось доказать.
Докажем формулу 3.
1) пусть x и y одновременно принимают истинные значения , тогда будет истинной и коньюнкция 
и ложным ее отрицание 
. В то же время будут ложными и , следовательно, будет ложной и дизьюнкция .
2) пусть хотя бы одна из переменных x или y принимает значение ложь, тогда тоже ложь, а – истина. В то же время отрицание хотя бы одной из переменных будет истинным, следовательно, будет истиной и дизьюнкция .
Следовательно, во всех случаях обе части равносильности 3 принимают одинаковые логические значения.
Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.
Из равносильностей группы 2 следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: коньюнкцию и отрицание или дизьюнкцию и отрицание.
3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики
– комм утативность коньюнкции и дизьюнкции.
Докажем формулу 6.
При х = 1, формулы , 
и 
будут истинны, тогда и 
– тоже истинна.
При х = 0, 
≡ 
, ≡ 
≡ 
следовательно, 
Таким образом, обе части формулы 6 равносильны одной и той же формуле 
и поэтому принимают одинаковые логические значения. Что и требовалось доказать.
Равносильности 3-ей группы выражают основные законы алгебры логики: коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность (относительно логических операций – коньюнкции и дизьюнкции). Эти же законы имеют место в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел, т. е.
1) раскрытие скобок;
2) заключение в скобках;
3) вынесения за скобки общего множителя.
Кроме этих преобразований над формулами алгебры логики можно производить и преобразования, основанные на использовании равносильностей.
Равносильные преобразования формул используют
1) для доказательства равносильностей,
2) для приведения формул к заданному виду,
3) для упрощения формул.
Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций коньюнкции и дизьюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.
1. Доказать равносильность
2. Упростить формулу
3. Доказать тождественную истинность формулы
Источник
