Доказательство теоремы пифагора способом гарфилда

Презентация: «Доказательство т.Пифагора методом Гарфилда»

Опредложил один из способов доказательства теоремы Пифагора предложил Гарфилд.

Скачать:

Вложение	Размер
dokazatelstvo_t._pifagora_metodom_garfilda.pptx	366.73 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Подготовила: Рязанова Надежда ученица 8 класса Б Руководитель: Булгакова Ольга Анатольевна Доказательство теоремы Пифагора методом Гарфилда

Доказательств этой теоремы — великое множество. Мне нравится очень простое и наглядное доказательство, которое вошло в историю как доказательство Гарфилда . Гарфилд ( James Abram Garfield , 1831-1881) 20-й президент США.

Формулировки Геометрическая формулировка: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах . Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через с , а длины катетов через а и в: a 2 + b 2 = c 2 Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади . То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Дано: ABC-прямоугольный треугольник АС=в, СВ=а, АВ=с A B C Доказать: a 2 + b 2 = c 2 b c a

Подставив, получим Доказательство: На продолжении катета CB отложим отрезок BC 1 , равный катету AC, и восставим из точки C 1 перпендикуляр C 1 B 1 , равный СВ. Соединим точки B и B 1 . Имеем трапецию ACC 1 B 1 . Основаниями этой трапеции являются катеты AC и C 1 B 1 , а высотой — сумма катетов CB и C 1 B.Площадь трапеции равна A C B B 1 C 1 b c (1) где AC = BC 1 =b, CB = C 1 B 1 = a,

где Тогда площадь трапеции (2) S = S ABC+ S BB1+ S ABB1 S ABC= S BB1=1/2ab S ABB 1 =1/2c² Доказательство: C другой стороны, площадь этой же трапеции равна сумме площадей треугольников ABC, BB 1 C 1 и ABB 1 .

Доказательство: П риравняв правые части формул (1) и (2) получим: ( а+в ав+ ав+ Применив формулу и приведя подобные слагаемые получим a 2 + b 2 = c 2 A C B B 1 C 1 b c

Источник

История теоремы Пифагора. Доказательство теоремы методом Гарфилда

ИСТОРИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА.

Выполнил: Сдобнов Василий

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 32 + 42 = 52 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование».

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном , теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

Стихотворение, посвящённое теореме Пифагора:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

Доказательство Гарфилда:
На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников

Дано: Прямоугольный треугольник abc

Доказать: c2 = a2 + b2

Используемые источники и рекомендуемая литература:

2. Белл математики. Предшественники современной математики/ Под ред. . М., 1979

3. Трилогия о математике (Диалоги о математике. Письма о вероятности. Дневник – Записки студента по теории информации)/ Пер. с венг. Под ред. . М., 1980

4. Хрестоматия по истории математики в 2-х т./ Под ред.

5. Математика в школе. Рубрики «Математический календарь» и «Ученые-математики» (с 1975 г.)

Источник

История теоремы Пифагора. Доказательство теоремы методом Гарфилда

ИСТОРИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА.

Выполнил: Сдобнов Василий

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 32 + 42 = 52 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование».

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном , теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

Стихотворение, посвящённое теореме Пифагора:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

Доказательство Гарфилда:
На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников

Дано: Прямоугольный треугольник abc

Доказать: c2 = a2 + b2

Используемые источники и рекомендуемая литература:

2. Белл математики. Предшественники современной математики/ Под ред. . М., 1979

3. Трилогия о математике (Диалоги о математике. Письма о вероятности. Дневник – Записки студента по теории информации)/ Пер. с венг. Под ред. . М., 1980

4. Хрестоматия по истории математики в 2-х т./ Под ред.

5. Математика в школе. Рубрики «Математический календарь» и «Ученые-математики» (с 1975 г.)

Источник

Доказательство Дж. Гарфилда (1882)

Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда».

Постройте прямоугольный треугольник АВС. Нам надо доказать, что ВС2=АС2+АВ2.

Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD, который равен катету АВ. Опустите перпендикулярный AD отрезок ED. Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В, а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже

Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ, является не только прямоугольным, но и равносторонним. Не забываем также, что АВ=CD, АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, SABED=2*1/2(AB*AC)+1/2ВС2.

При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD.

Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC2=(DE+AB)*1/2(AC+CD). Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC2=1/2(АВ+АС)2. А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC2=1/2АС2+2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ2. Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС2=АС2+АВ2. Мы доказали теорему.

Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость, то, переливая ее, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

в) Задачи на теорему Пифагора

В своей проектной работе мы решили разобрать несколько интересных задач на теорему Пифагора.

Задача №1

Задача древних индусов, тоже написанная в форме стихотворения:

“Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

CD – глубина озера, обозначим ее х

Тогда по теореме Пифагора имеем:

Задача №2

Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика ХII в. Бхаскары:

“На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи

У тополя как велика высота?”

2) По теореме Пифагора

3) АВ= 3+5= 8 футов

Задача №3

Она взята из первого учебника математики на Руси. Называется этот учебник “Арифметика”.

— Кто из вас, ребята, знает автора первого учебника?

(Ответ: Леонтий Филиппович Магницкий.)

— Однако настоящая его фамилия Телянин, а Магницким он стал по приказу Петра I, который был восхищен его занятиями, притягивавшими к себе всех любознательных подобно магниту.

“Случится некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать”.

1. Пусть СВ= х стоп. Тогда, используя теорему Пифагора (треугольник – прямоугольный), имеем равенство:

г) Интересные факты о теореме Пифагора

Пифагоровы штаны – на все стороны равны.

Чтобы это доказать, нужно снять и показать.

Этот стишок известен всем со средней школы, с тех самых пор, когда на уроке геометрии мы изучали знаменитую теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. А вот вам 10 фактов о знаменитой теореме.

1. Происхождение штанов понятно: построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов. Правда, это как посмотреть: средневековые школяры называли эту теорему «pons asinorum», что означает «ослиный мост».

2. Книга рекордов Гиннесса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. И поясняет в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора, включая одно предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом.

3. Теорему Пифагора доказывали через подобные треугольники, методом площадей и даже через дифференциальные уравнения – это сделал английский математик начала двадцатого века Годфри Харди. Известны доказательства теоремы Пифагора, предложенные Евклидом и Леонардо Да Винчи. А Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, а среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты».

4. Только одно доказательство теоремы Пифагора нам не известно: доказательство самого Пифагора. Долгое время считалось, что доказательство Евклида и есть доказательство Пифагора, но теперь считают, что это доказательство принадлежит Евклиду.

5. К настоящему моменту историки математики обнаружили, что теорема Пифагора не была открыта Пифагором – ее знали в разных странах задолго до древнегреческого философа и математика родом с острова Самос, жившего в VI веке до н.э.

6. Крупнейший историк математики Мориц Кантор разглядел папирус из Берлинского музея и обнаружил, что равенство три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате было известно уже египтянам около 2300 года до нашей эры во времена царя Аменемхета I.

7. Приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника обнаруживается в вавилонских текстах времен правления царя Хаммурапи, то есть за два тысячелетия до нашей эры. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около VIII века до нашей эры.

8. Голландский математик Бартель Ван дер Варден сделал важный вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Пифагор, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

9. «В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,

Славную он за него жертву быками воздвиг».

Со слов неизвестного древнего стихотворца легенда о гекатомбе – жертвоприношении ста быков пошла гулять по умам и страницам изданий. Остряки шутят, что с тех самых пор все скоты боятся нового.

10. Сам Пифагор никогда не носил штанов – в те времена греки их не знали.

6. Практическая часть

Кроме того, в нашем проекте мы решили сами придумать задачу на данную теорему и снять мультфильм о путешествии великого ученого по Египту. Также, совместными усилиями мы составили кроссворд из слов, связанных с Пифагором и его известной теоремой.

В своей нелегкой работе над проектом мы попытались вспомнить и изложить все, что нам известно о теореме Пифагора. Разумеется, не обошлось без дополнительных источников, ссылки на которые мы приводим ниже. В заключение хотим сказать, что теорема Пифагора — одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2=a2+b2.

Источник