Доказать тождество 3 способ

Доказательство тождественности выражений

§ 12. Тема урока: Доказательство тождеств.

Пусть надо доказать, что выражения

\[\def\arraystretch <1.5>\begin4a(21-7b) & & \\ \hline & и & \\ \hdashline & & -28a(b-3) \end\]

тождественно равны. Эту задачу иногда формулируют иначе:
Доказать тождество \( 4a(21-7b)=-28a(b-3). \) Задачи такого типа решаются с помощью тождественных преобразований. Ранее мы уже рассматривали доказательства тождеств в § 4, но сейчас мы добьём эту тему.

Доказать, что равенство \( 4a(21-7b)=-28a(b-3) \) является тождеством, можно различными способами.

1-ый способ доказательства

Преобразуем левую часть равенства к такому же виду, какой имеет правая часть. Для этого из многочлена \( 21-7b, \) заключенного в скобки, вынесем за скобки число \( -7: \)

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного неравенства. Тождественность выражений доказана.

2-ой способ доказательства

Преобразуем правую часть равенства к такому же виду, какой имеет левая часть. Для этого представим множитель \( -28a \) в виде произведения \( 4a\cdot (-7) \) и умножим \( -7 \) на выражение \( b-3, \) заключенное в скобки:

\[\small\begin <2>-28a(b-3)= \\ 4a\cdot (-7)\cdot (b-3) = \\ 4a\cdot (-7b+21) = \\ 4a\cdot (21-7b). \end\]

3-ий способ доказательства

Заменим левую и правую части равенства тождественно равными им многочленами:

Левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же многочлену, поэтому они тождественно равны между собой.

В каждом из рассмотренных способов доказательства мы использовали важное свойство тождественно равных выражений:

Свойство:
Если два выражения тождественно равны одному и тому же выражению, то они тождественно равны между собой.

При доказательстве тождества

все рассмотренные способы доказательства были одинаково удобны. Так бывает далеко не всегда. Например, тождество \( a(a+c)+c(b-a)=a(a+b)-b(a-c) \) не легко доказать преобразованием одной части равенства к виду, которой имеет другая часть. Здесь удобнее преобразовать каждую часть равенства в многочлен стандартного вида:

В результате преобразования каждой части равенства мы получили один и тот же многочлен \( a^<2>+bc, \) следовательно, тождество доказано.

Задачи и примеры решений

Что такое тождество?

Сформулируйте первый способ доказательства тождества

Сформулируйте второй способ доказательства тождества

Сформулируйте третий способ доказательства тождества

Сформулируйте свойство тождественно равных выражений

Источник

Как доказать тождество?

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

В простых случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности , можно просто вычислить правую и левую части.

В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что просто посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно:

1. Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).
2. Преобразовывать только левую или только правую часть.
3. Переносить слагаемые через равно, меняя знак.
4. Умножать левую и правую часть на одно и то же число.
5. Использовать все математические правила и формулы ( формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.

Работаем с левой частью, не трогая правую.
С помощью формул сокращенного умножения раскроем скобки слева,…

Обе части равны — тождество доказано

Преобразуем правую часть, не трогая левую.
Раскроем скобки с помощью формулы квадрата суммы ,…

…упростим одно из слагаемых, сократив \(x\) и \(\frac<1>\) , …

Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано.

Источник

Доказательства тождеств

Доказательство тождеств. В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

• Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.

Некоторые тождества мы уже знаем. Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

• Выполнить равносильные преобразования левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным.
• Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
• Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
• Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
• Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1.

Докажите тождество x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Пример 2.

Докажите тождество a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Решение.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Источник

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.

Источник

Лекция №3. Доказательство тождеств

ЛЕКЦИЯ №3 Доказательство тождеств

Цель: 1. Повторить определения тождества и тождественно равных выражений.

2.Ввести понятие тождественного преобразования выражений.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки.

Пусть каждый день и каждый час

Пусть добрым будет ум у нас,

А сердце умным будет!

В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят. Некоторые тождества мы уже знаем.

Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Формулы сокращенного умножения

4. a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2).

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

Выполнить равносильные преобразования левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным. Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным. Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным. Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным. Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. Доказать тождество — значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.
Способы доказывания тождества:
1. Выполняют преобразования левой части и получают в итоге правую часть.
2. Выполняют преобразования правой части и в итоге получают левую часть.
3. По отдельности преобразуют правую и левую части и получают и в первом и во втором случае одно и то же выражение.
4. Составляют разность левой и правой части и в результате её преобразований получают нуль.
Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1. Докажите тождество x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

x·a + x·b + a·b – a·x = x·b + a·b = b·(a + x).

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

« Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения»

Выяснить какое равенство является тождеством:

4. рху ( — р2 х2 у) = — р3 х3 у3.

«Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений»

Равенство верное при любых значениях переменных, называют тождеством. Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.
Докажем тождество:
xy — 3y — 5x + 16 = (x — 3)(y — 5) + 1 Преобразуем левую часть этого равенства:
xy — 3y — 5x + 16 = (xy — 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x — 3) — 5(x -3) +1 = (y — 5)(x — 3) +1 В результате тождественного преобразования левой части многочлена мы получили его правую часть и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
Для доказательства тождества преобразуют его левую часть в правую или его правую часть в левую, или показывают, что левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же выражению.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен a + b на многочлен c + d. Составим произведение этих многочленов:
(a+b)(c+d).
Обозначим двучлен a + b буквой x и преобразуем полученное произведение по правилу умножения одночлена на многочлен:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
В выражение xc + xd. подставим вместо x многочлен a+b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Итак: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Произведение многочленов a + b и c + d мы представили в виде многочлена ac + bc + ad + bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, получающихся при умножении каждого члена многочлена a + b на каждый член многочлена c + d.
Вывод: произведение любых двух многочленов можно представить в виде многочлена.
Правило: чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Заметим, что при умножении многочлена, содержащего m членов на многочлен, содержащий n членов в произведении до приведения подобных членов должно получиться mn членов. Этим можно воспользоваться для контроля.

Разложение многочлена на множители способом группировки:

Ранее мы познакомились с разложением многочлена на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Иногда удается разложить многочлен на множители, используя другой способ — группировку его членов.
Разложим на множители многочлен
ab — 2b + 3a — 6 Сгруппируем его так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель и вынесем этот множитель за скобки:
ab — 2b + 3a — 6 = (ab — 2b) + (3a — 6) = b(a — 2) + 3(a — 2) Каждое слагаемое получившегося выражения имеет общий множитель (a — 2). Вынесем этот общий множитель за скобки:
b(a — 2) + 3(a — 2) = (b +3)(a — 2) В итоге мы разложили исходный многочлен на множители:
ab — 2b + 3a — 6 = (b +3)(a — 2) Способ, который мы применили для разложения многочлена на множители называют способом группировки.
Разложение многочлена ab — 2b + 3a — 6 на множители можно выполнить, группируя его члены иначе:
ab — 2b + 3a — 6 = (ab + 3a) + (- 2b — 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a — 2)(b + 3)

1. Способы доказательства тождеств.

2. Что называют тождественным преобразованием выражения.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки

Источник

Читайте также:  Съел мороженое способ образования