Дифференциальный способ экономический анализ

Глава з основы дифференциального исчисления. дифференциальное исчисление в экономическом анализе 3.1. экономические задачи, решаемые методами дифференциального исчисления

Глава з основы дифференциального исчисления. дифференциальное исчисление в экономическом анализе 3.1. экономические задачи, решаемые методами дифференциального исчисления

Дифференциальное исчисление широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.

В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования методов дифференциального исчисления. Если экономический показатель у нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя х (например, задача на максимум прибыли как функции объема выпуска), то в оптимальной точке (т.е. в точке максимума) приращение функции у на приращение аргументах должно стремиться к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю. Иначе, если такое приращение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рассматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у в нужном направлении. В терминах дифференциального исчисления это означает, что необходимым условием экстремума функции y=J[x) является равенство нулю ее производной.

В экономике часто приходится решать задачи на экстремум функций нескольких переменных, поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изучены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора). Это задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление. Все эти виды задач и их приложения будут рассмотрены в последующих главах; мы не будем здесь забегать вперед.

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции у=Дх) это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).

В экономике широко используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т.д. Но часто требуется узнать, на какую величину кырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления нахождение производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция іависит от нескольких аргументов.

Так, например, если задана производственная функция:

где х объём затрачиваемого /-го ресурса (/ = 1 . п), у максимальный объем выпуска, который можно получить, затрачивая ресурсы соответственно в объёмах хр. х. хи, то предельный эффект от использования /-го ресурса (/?.) определяется следующим образом:

Дх. +Дх. д„) -Дх. jct. jcn)

Здесь величина pt равна дополнительному объему выпуска, который получается в результате затраты дополнительной единицы Дх, /-го ресурса при неизменных объёмах остальных ресурсов.

Показатель предельного эффекта в оптимизационных моделях применяется для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах, а также для определения оптимального распределения ограниченных ресурсов по различным направлениям их использования. Если максимизируемый показатель (например, прибыль) есть разность результата и издержек (в данном случае результат представлен выручкой), то в оптимальной точке предельная выручка должна равняться предельным издержкам. Такое равенство должно выполняться по каждому из факторов, определяющих выручку и издержки, что вытекает из необходимости равенства нулю частных производных прибыли по всем этим факторам. Необходимые и достаточные условия оптимума во многих экономических задачах записываются с помощью частных производных и дифференциалов. Так, если решается задача на максимум выпуска, описываемого с помощью приведенной выше производственной функции, при наличии ограничения по общему расходу денежных средств на используемые в производстве ресурсы, то в оптимальной точке должны быть равны между собой отношения предельных произво-дительностей ресурсов р. и их цен. Иными словами, для всех ресурсов должен быть одинаков предельный эффект в расчете на единицу дополнительно расходуемых на эти ресурсы денежных средств. В задаче потребительского выбора отношение предельных полезнос-тей благ должно быть равно отношению их цен. Иначе говоря, предельная полезность в расчете на одну денежную единицу должна быть в оптимальной точке одинакова по всем благам; в противном случае бюджет потребителя мог бы быть перераспределен с увеличением его благосостояния. Таким образом, методы дифференциального исчисления позволяют не только решить различные экономические задачи, но и записать необходимые или достаточные условия оптимума в этих задачах, которые позволяют дать ответ на те или иные конкретные вопросы.

Широко используется в экономическом анализе понятие дифференциала, или главной линейной части приращения функции. Так, если некоторая величина у есть функция двух аргументов х, и х2, то с использованием дифференциала легко рассчитать предельную норму замены между этими аргументами, т.е. величину, показывающую, сколько нужно фактора 2 для замены одной единицы фактора 1 с сохранением значения функции у. Предельная норма «мены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость благ), в задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда и капитала) и в ряде других задач. Пусть y=J

предельная норма замены -=—, то есть равняется отношению

частных производных функции у по первому и второму факторам.

Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление это не только аппарат, позволяющий находить решения таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п. Некоторые модели этого типа будут рассмотрены в главе 12.

Из рассмотренных направлений применения дифференциального исчисления в экономике важнейшим является вопрос нахождения и анализа взаимосвязей экономических переменных, определяющих функционирование экономического объекта или протекание жономического явления, который мы сейчас рассмотрим более подробно.

3.1.1. Анализ взаимосвязей экономических показателей

Анализируя взаимосвязи экономических показателей, мы должны последовательно ответить на четыре вопроса: Какие факторы определяют интересующий нас экономический показатель? Каков інак этой зависимости?

Какова степень этой зависимости? Каково числовое (функциональное) выражение соответствующей зависимости? Рассмотрим нозможные ответы на эти вопросы на примере простейшей экономической зависимости функции спроса.

От чего зависит (от каких факторов)?

В ответ на этот вопрос надо перечислить все факторы, определяющие исследуемый экономический показатель. В частности, величина спроса qD на какой-либо товар определяется ценой этого товара р, доходом потребителей /, ценами на другие товары (дополняющие (О или заменяющие (S) данный товар), ожидаемыми ценами и ожидаемым доходом. Сокращенно это можно записать так:

Как зависит (положительно или отрицательно)?

В ответ на этот вопрос надо определить характер взаимосвязи. Исследуемый показатель связан с каким-либо фактором положительно, если его значение возрастает при увеличении фактора и отрицательно, если его значение уменьшается при увеличении фактора. В частности, величина спроса qD на какой-либо товар уменьшается при увеличении его цены р, увеличивается (для нормальных товаров) или уменьшается (для некачественных товаров) при увеличении дохода потребителей /, уменьшается при увеличении цен на дополняющие товары и увеличивается при увеличении цен на заменяющие данный товар товары, увеличивается при ожидании повышения цен или доходов. Сокращенно это можно записать так:

прирост фактора прирост исследуемого показателя

(изменение х) (изменение у)

Мера «абсолютной» чувствительности скорость изменения функции (средняя (отношение изменений) или предельная (производная)):

Темповый подход (\%Ах \%Ау).

темп прироста фактора => темп прироста исследуемого показателя (процентное изменение х) => (процентное изменение у) Напомним, что процентное изменение какой-либо переменной это отношение изменения этой переменной к первоначальному ее

Например, если цена буханки хлеба увеличилась с 200 до 300 рублей, то процентное изменение цены

Мера «относительной» чувствительности эластичность функции (средняя (отношение процентных изменений) или предельная (« производной)):

Каково функциональное выражение зависимости?

Для ответа на этот вопрос надо указать конкретное функциональное выражение исследуемой зависимости (в виде формулы, графика или таблицы). Эту зависимость можно получить либо из теоретической модели или из эконометрического (эмпирического) исследования. Например, функция спроса на какой-либо товар может определяться следующим выражением:

гнач) будет положительно Az > 0, а приращение убывающей величины (гн.,ч > г^) будет отрицательно Az >ду»), то и скорость изменения второй функции на рассматриваемом интервале будет больше, чем первой (v,(2)>v (1)).

Геометрический смысл скорости изменения функции на интервале (х0;х) (средней скорости) в том, что она численно равна тангенсу угла наклона отрезка, соединяющего две точки графика функции, соответствующих значениям аргумента х0 и х, т.е. тангенсу угла а в треугольнике M0MN (см. рис. 3.16).

Недостаток такого определения скорости состоит в том, что эта скорость зависит не только от точки х0, относительно которой рассматривается изменение аргумента, но и от самой величины изменения аргумента, т.е. от величины интервала Дх, на котором определяется скорость. Для устранения этого недостатка вводится понятие скорости изменения функции в точке (мгновенной скорости).

Скорость изменения функции в точке (мгновенная скорость)Для определения скорости изменения функции в точке х0 сближают точки х и х0, устремляя интервал Дх к нулю. Изменение непрерывной функции при этом будет также стремиться к нулю. При этом отношение, стремящегоря к нулю изменения функции к стремящемуся к нулю изменению аргумента дает скорость изменения функции в точке х0 (мгновенной скорости), точнее на бесконечно малом интервале, относительно точки х0.

Ax . tu-*o Ax i-v. x-x0

Именно эту скорость изменения функции Дх) в точке х0 и называют производной функции Дх) в точке х0.

Геометрический смысл скорости изменения функции в точке х0 (мгновенной скорости) в том, что она численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке х0. Это непосредственно следует из ее определения, поскольку при сближении точек х0 и х, точки пересечения графика функции прямой линией М0 и М также сближаются и сливаются в одной точке М0, в которой линия и касается графика функции.

Источник

Дифференциальное исчисление в экономике

Использование дифференциальных исчислений в решении экономических задач и при планировании производственной деятельности. Эластичность и её свойства. Предельные показатели в экономике. Максимизация прибыли. Закон убывающей эффективности производства.

Рубрика	Экономика и экономическая теория
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	01.10.2013
Размер файла	1,0 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Дифференциальное исчисление в экономике

2. Направления применения дифференциального исчисления в экономическом анализе

2.1 Эластичность и её свойства

2.2 Предельные показатели в экономике

2.3 Максимизация прибыли

2.4 Закон убывающей эффективности производства

дифференциальный исчисление экономика производство

Дифференциальное исчисление — широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записываемых в виде функций. В экономике очень часто требуется найти наилучшее (оптимальное) значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, минимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию одного (нескольких) аргументов.

Аппарат дифференциального исчисления применяется так же в моделях экономической динамики. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определения оптимальной или равноместной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.

В своей курсовой работе, я постараюсь широко раскрыть использование дифференциальных исчислений в решении экономических задач и приведу конкретные примеры.

1. Дифференциальное исчисление в экономике

Дифференциальное исчисление — широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин?

Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.

В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования методов дифференциального исчисления. Если экономический показатель у нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя х (например, задача на максимум прибыли как функции объема выпуска), то в оптимальной точке (т.е. в точке максимума) отношение приращения функции у к приращению аргумента х должно стремиться к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю. Иначе, если такое отношение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рассматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у в нужном направлении. В терминах дифференциального исчисления это означает, что необходимым условием экстремума функции у = f(x) является равенство нулю ее производной.

В экономике часто приходится решать задачи на экстремум функций нескольких переменных, поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изучены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора). Это — задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление.

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике — совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа, их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции у == f (х) — это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).

В экономике широко используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т.д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект.

Показатель предельного эффекта в оптимизационных моделях применяется для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах, а также для определения оптимального распределения ограниченных ресурсов по различным направлениям их использования. Если максимизируемый показатель (например, прибыль) есть разность результата и издержек (в данном случае результат представлен выручкой), то в оптимальной точке предельная выручка должна равняться предельным издержкам. Такое равенство должно выполняться по каждому из факторов, определяющих выручку и издержки, что вытекает из необходимости равенства нулю частных производных прибыли по всем этим факторам. Необходимые и достаточные условия оптимума во многих экономических задачах записываются с помощью частных производных и дифференциалов.

Так, если решается задача на максимум выпуска, описываемого с помощью приведенной выше производственной функции, при наличии ограничения по общему расходу денежных средств на используемые в производстве ресурсы, то в оптимальной точке должны быть равны между собой отношения предельных производительностей ресурсов д. и их цен. Иными словами, для всех ресурсов должен быть одинаков предельный эффект в расчете на единицу дополнительно расходуемых на эти ресурсы денежных средств.

В задаче потребительского выбора отношение предельных полезностей благ должно быть равно отношению их цен. Иначе говоря, предельная полезность в расчете на одну денежную единицу должна быть в оптимальной точке одинакова по всем благам; в противном случае бюджет потребителя мог бы быть перераспределен с увеличением его благосостояния. Таким образом, методы дифференциального исчисления позволяют не только решить различные экономические задачи, но и записать необходимые или достаточные условия оптимума в этих задачах, которые позволяют дать ответ на те или иные конкретные вопросы.

Широко используется в экономическом анализе понятие дифференциала, или главной линейной части приращения функции. Так, если некоторая величина у есть функция двух аргументов х₁ и х₂, то с использованием дифференциала легко рассчитать предельную норму замены между этими аргументами, т.е. величину, показывающую, сколько нужно фактора 2 для замены одной единицы фактора 1 с сохранением значения функции у .

Предельная норма замены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость благ), в задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда и капитала) и в ряде других задач. Пусть y=f₁ x₂). Если мы хотим сохранить значение функции у неизменным, то это означает, что приращение у , а значит и его главная линейная часть должны быть равны нулю. Иными словами,

Отсюда предельная норма замены

то есть равняется отношению частных производных функции у по первому и второму факторам.

Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности — в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление — это не только аппарат, позволяющий находить решения задач с использованием таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.

Из рассмотренных направлений применения дифференциального исчисления в экономике важнейшим является вопрос нахождения и анализа взаимосвязей экономических переменных, определяющих функционирование экономического объекта или протекание экономического явления.

Первообразная и неопределенный интеграл

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция F(x), требуется найти ее производную (например, найти предельные издержки, зная суммарные издержки). При этом, если производная существует в каждой точке х некоторого промежутка Х , то это также некоторая функция f(x) на Х , такая, что f == F'(x). Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что F'(x)= f (x) (например, найти суммарные издержки, зная предельные издержки). Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение L Дифференцируемая функция F(;c), определенная на некотором промежутке Х, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)= f (x), или, что то же самое dF(x)=f(x)dx.

Пример. Найти какую-либо первообразную для функции f (.х)=3х 2 . Функция F(x) = х 3 является первообразной для f(x)=3x 2 , так как F'(x) =(x 3 )’=Зx 2 = f(x).

Нетрудно заметить, что первообразная х 3 не является единственной для функции Зх 2 . В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции: х 3 + 5, х 3 — 2 и вообще х 3 +С, где С —произвольная постоянная, потому что (х 3 +С)’=Зх 2 . Приведем формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f (читается: «интеграл от эф от икс де икс»). Если F(x) является первообразной для функции f\x) на промежутке Х, то согласно этому определению имеем

Определение 3. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, символ — знаком неопределенного интеграла, С — постоянной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла. Пусть функция F(x) является первообразной для функции f на некотором промежутке Х , т.е. F\x) == f Тогда по определению f = F(x) + С. Имеем следующие свойства:

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Имеем:

2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой

функции плюс произвольная постоянная. Имеем:

Свойства 1) и 2) используют обычно для проверки результатов интегрирования.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а == const 0,

5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

Для исследования совокупности экономических явлений, следующих одно за другим в известном порядке, используется такой математический инструментарий как ряды. Представляя собой совокупность величин, расположенных в определенной последовательности, ряды позволяют зафиксировать тенденцию какого-либо экономического процесса, описываемого совокупностью последовательных явлений.

Решение ряда задач сводится к сложению бесконечного числа слагаемых, т.е. ставится проблема обобщения понятия суммы на этот случай. При этом особое внимание надо обратить на то, что это понятие вводится только для членов последовательности. Ни для какого другого бесконечного множества слагаемых сумма не определяется. Для этого обобщения некоторые свойства обычных сумм сохраняются, а другие пропадают.

Сложить бесконечное число слагаемых так, как это делалось для конечных сумм, — сначала сложить первые два слагаемых, затем к ним добавить еще одно, затем — еще одно и т.д., нельзя — этот процесс никогда не закончится. Поэтому для суммы бесконечного числа слагаемых вводится определение.

Определение 1. Пусть задана последовательность а_n. Выражение вида

называется рядом, a_n — п -м или общим членом ряда. Короче выражение записывается так:

какой буквой обозначается номер члена ряда — безразлично.

Определение 2. Сумма п первых членов ряда называется п -и частичной суммой ряда, ее принято обозначать s_n.

Так, для ряда п -я частичная сумма

Определение 3. Если последовательность S_n частичных сумм ряда имеет предел s, то ряд называется сходящимся, а число s называют суммой этого ряда и пишут а k = s.

Если последовательность S_n не имеет предела, то ряд называется расходящимся.

Коротко говорят: сумма ряда есть предел его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм не имеет предела (ряд расходится), то ряд не имеет суммы.

Ряд aq n-1 будем называть геометрической прогрессией (как и последовательность членов этого ряда).

Пример 1. Геометрическая прогрессия n-1 расходится при /q/ 1, a 0 и сходится при /q/ k ). Действительно, частичная сумма ряда (7.4.4) при любом п > k будет s_n = а₁ + а₂ + а3 +. + а_k + 0 = а, т.е. постоянна, и потому S_n == a, т.е. ряд (7.4.4) сходится и его сумма равна а.

Теорема 1 (об общем множителе)

Если ряд a_m сходится, то для любого числа ряд a_m тоже сходится и

Если ряд a_m расходится и 0, то и ряд a_m, расходится.

Коротко говорят: общий множитель можно выносить за знак суммы, умножение на ненулевой множитель не нарушает сходимости (расходимости).

Так как Размещено на http://www.allbest.ru/

a_m сходится, то последовательность S_n == a₁ + a₂ + a₃ +. + а_n имеет предел и, по определению суммы ряда, a_m = . Выпишем далее частичную сумму ряда , a_m:

Для доказательства второй части теоремы предположим, что ряд a_m сходится. Тогда (по первой части теоремы) сходится ряд 1/ ( a_m), что противоречит условию теоремы (второй части). Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно и потому ряд a_m расходится.

Теорема 2 (сумма рядов).

Если ряды a_m и b_m сходятся, то сходится ряд (a_m + b_m):

Так как a_m сходится, то существует lim s_n = a_m , S_n = a₁ + a₂ + a₃ +. + а_n . Так как b_m сходится, то существует lim b_m. Выпишем частичную сумму ряда-суммы:

Поэтому последовательность S_n имеет предел (так как S_n и _n имеют пределы), т.е. ряд-сумма сходится:

Следствие. Если ряд a_m сходится, а ряд b_m расходится, то ряд-сумма (a_m+b_m) расходится.

Действительно, предположим, что ряд-сумма сходится, тогда, по теореме 2, сходится ряд-сумма ((a_m+ b_m )- a_m) гфотиворечит условию. Следствие доказано.

Заметим еще, что если оба ряда расходятся, то ряд-сумма может оказаться как сходящимся рядом (если, например, b_m )=-a_m, так и расходящимся (если, например, a_m =b_m)

Изменение конечного числа членов ряда не нарушает его сходимости (расходимости).

Другими словами, расходящийся ряд остается расходящимся, а сходящийся ряд остается сходящимся, хотя сумма ряда при этом, как правило, изменяется.

Пусть у ряда a_m как-то изменены первые k членов. При этом получился ряд b_m , у которого a_m =b_m при всех от m > k. Положим с_m = b_m -а_m. Тогда ряд с_m сходится, так как с_m = 0 при всех m > k. Поэтому ряд-сумма (a_m + с_m) == b_m сходится, если сходится ряд a_m и расходится, если расходится ряд a_m.

Из этой теоремы следует, что при изучении сходимости ряда можно изменять, как нам удобно (или вообще отбрасывать), конечное число членов ряда — на его сходимость (расходимость) это не влияет.

Первый вопрос, который обычно выясняется относительно ряда — сходится он или расходится, а для сходящегося ряда уже можно ставить вопрос о вычислении его суммы (точном или приближенном).

Для ответа на первый вопрос существуют теоремы, которые называются признаками сходимости.

Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд a_n сходится, то lim a_n = 0.

Очень важное замечание. Ниже будет доказано, что ряд 1/n — (его называют гармоническим рядом) расходится, хотя lim 1/n = 0.

Теорема 5 (достаточный признак расходимости ряда). Если lim a_n или не существует, то ряд a_n расходится.

Предположим, что ряд a_n сходится. Тогда lim a_n = 0 (теорема 4), что противоречит условию теоремы 5. Следовательно, a_n расходится.

Пример 4. Ряд aq n-1 расходится при и /q/ 1, так как lim aq n-1 . Ряд расходится, так как lim =-2/7 0.

Пример 5. Ряд cos — расходится, так как не существует lim cos

Описание экономических, отношений и процессов посредством совокупности переменных, часть которых изменялась с течением времени и обеспечивала функциональное изменение другой части, искомой в рамках данного экономического исследования, происходит с использованием дифференциальных уравнений, рассмотрением которых мы и займемся.

Решение многих задач экономики сводится к следующему: требуется найти неизвестную функцию у = у(х), если известно уравнение, содержащее:

Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями.

Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

Определение 2. Функция называется решением дифференциального уравнения (7.4.9) на интервале I, если для всех х I

Коротко говорят: функция (р удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Пример 6. Для дифференциального уравнения

функция у = sin х будет решением, так как у’== cos x и

для всех х, т.е. интервалом I здесь является все множество действительных чисел. А функция у = х 2 не является решением дифференциального уравнения (7.4.11) ни на каком интервале, так как у’== 2х и равенство

выполнено только для отдельных значений х — нет такого интервала, на котором равенство выполнялось бы для всех х.

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все решения этого уравнения. Совокупность всех решений заданного дифференциального уравнения называется общим решением этого уравнения.

Пример 7. Для дифференциального уравнения

общее решение дается формулой

Пример 8. Все решения дифференциального уравнения

на интервале (- , ) даются формулой

Это есть общее решение заданного уравнения.

Далее мы выпишем некоторые типы дифференциальных уравнений и решим их, т.е. найдем их общее решение.

Определение 4. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными уравнение вида

Общее решение дифференциального уравнения дается формулой

Эта формула задает у как функцию от х неявно. Если уравнение решить относительно у , то получим решение явно.

Для доказательства теоремы надо проверить два факта:

1) каждая функция, удовлетворяющая равенству на некотором интервале I есть решение уравнения на интервале J;

2) каждое решение уравнения на интервале I есть функция, удовлетворяющая уравнению на этом интервале I .

1) Пусть функция удовлетворяет уравнению на некотором интервале I .

Это значит, что для любого х I выполнено равенство

Дифференцируя это тождество на I, получаем g(( (x)) ‘= (х), т.е. функция (р есть решение уравнения на I .

2) Пусть функция (р есть решение уравнения на интервале J . Это значит, что для любого х I выполнено равенство g <((x)) ‘= (x), и потому

т.е. функция удовлетворяет уравнению на I .

Пример 9. Решим дифференциальное уравнение

Переписав это уравнение в виде

получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Про сделанное преобразование говорят: «разделим переменные». Далее по теореме 1 выписываем общее решение:

Общее решение получено в неявном виде. Отсюда можно получить общее решение заданного уравнения в явном виде:

Стохастичность, вероятностный характер, большинства экономических явлений, рассматриваемых в перспективе, требует, от экономиста использования особого инструментария, позволяющего оценить все возможные варианты развития событий. Для этой цели используется теория вероятностей — раздел математики, изучающий законы случайных явлений и их приложения к явлениям массовым, в том числе и экономическим.

2. Направления применения дифференциального исчисления в экономическом анализе

2.1 Эластичность функции и её свойства

Важнейшим направлением применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности. Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршалом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто 1математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

Эластичностью функции Е_х(у) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при

Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (тыс.руб.) и выпуском продукции х (млрд.руб.) выражается функцией у=-0,5х+80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн.руб.

Решение. По формуле эластичность себестоимости

При х=60, Е_х=60(у)=-0,6 , то есть при выпуске продукции, равном 60 млн.руб., увеличение его на 1% приведёт к снижению себестоимости на 0,6%.

1. Эластичность — безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х:

2. Эластичности взаимно обратных функций — взаимно обратные величины:

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса

3. Эластичность произведения двух функций и (х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

4. Эластичность частного двух функций и(х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

5. Эластичность суммы двух функций и(х) и v(x) может быть найдена по формуле:

Эластичности элементарных функций:

1. Эластичность степенной функции у = х а постоянна и равна показателю степени а:

2. Эластичность показательной функции у= а х пропорциональна х:

3. Эластичность линейной функции

эластичность прибыль дифференциал

Если график линейной функции имеет отрицательный наклон (а 2 , подставив Q=15 ден.ед. получим МС=С'(15)=19,75 ден.ед. То есть дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 ден.ед.

б) Ещё одним примером предельных показателей в экономике является предельная полезность.

Функция полезности U(х;у) выражает меру полезности набора (х;у), где х — количество товара Х, а у — количество товара У. Чувствительность набора (х;у) к незначительному изменению х при фиксированном у называется предельной полезностью Х и определяется как частная производная U_х‘ . аналогично предельная полезность У определяется как U_у‘ .

2.3 Максимизация прибыли

Пусть Q — количество реализованного товара, R(Q) — функция дохода, С(Q) — функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т.п. Прибыль от реализации произведённого товара рассчитывается по формуле

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. То есть это равенство имеет вид

И действительно, так как необходимым условием экстремума функции, служит равенство нулю её производной, то в нашем случае получаем:

Пример. Найти максимальный размер прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:

Решение. Так как П(Q)=R(Q)-C(Q) , то

П(Q)= -Q 3 +36Q 2 -69Q-4000. (1)

Найдем производную этой функции П'(Q)= -3Q 2 +72Q-69, и приравняем её к нулю П'(Q)=0 => откуда находим корни уравнения Q₁=1, Q₂=23. подставив значения Q₁ и Q₂ в уравнение (1) находим, что максимальная прибыль достигает при Q=23 и равна П_max=1290.

2.4 Закон убывающей эффективности производства

Закон убывающей эффективности производства утверждает, что при увеличении одного из основных факторов производства, например капитальных затрат К, прирост производства начиная с некоторого значения К является убывающей функцией. Иными словами, объём произведенной продукции V как функция от К описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх. Пример. Пусть эта функция даётся уравнением

где b и c — известные положительные числа (они определяются прежде всего структурой организации производства), а V₀ — предельно возможный объём выпускаемой продукции. Найдем вторую производную этой функции

Найдём критическую точку (точку перегиба) из условия V » (К)=0, получаем

График этой функции приведён на рисунке 1. В точке перегиба выпуклость графика функции вниз меняется на выпуклость вверх. До этой точки увеличение капитальных затрат приводи к интенсивному росту объёма продукции: темп прироста объёма продукции возрастает, от есть V » (К)>0. При К>К_кр темп прироста объёма выпускаемой продукции снижается, то есть V » (К)

Источник

Читайте также:  Как избавиться от мышей самый лучший способ