Потоки вызовов, способы задания. Основные характеристики потоков вызовов. Математические модели простейшего и примитивного потоков
Страницы работы
Фрагмент текста работы
3.1 Потоки вызовов, способы задания. Основные характеристики потоков вызовов. Математические модели простейшего и примитивного потоков.
Потоки вызовов – последовательность моментов поступления вызовов в систему обслуживания.
t1-момент поступления 1-го вызова;
ti-момент поступления i-го вызова;
Способы задания потоков:
Ø Последовательностью моментов времени, когда поступают вызовы.
Ø Последовательностью промежутков между вызовами.
Ø Последовательностью чисел, определяющих количество вызовов в течение отрезка времени:
Классификация : детерминированные и случайные.
Детерминированными — потоки, в которых вызовы поступают в строго фиксированные моменты времени,.
Случайными -потоки, в которых вызовы поступают в случайные моменты времени, я
Рассмотрим потоки, в которых в любой момент времени может поступить не более одного вызова.
Такие потоки могут задаваться:
1. Последовательностью моментов поступления вызовов.
 |
Рис. 1.2 – Первый способ задания потоков вызовов.
2. Поток вызовов задается последовательностью промежутков между вызовами
 |
Рис. 1.3 – Второй способ задания детерминированных потоков.
3. Поток вызовов задается последовательностью чисел, представляющих собой количество вызовов, поступивших в течение отрезка времени. Введем функцию x(t) – число вызовов, поступивших от начала отсчета до момента времени t .
На практике обычно имеют место не детерминированные потоки, а случайные. В случайных потоках вызовы поступают через случайные промежутки времени и в случайные моменты времени.
Свойства потоков: стационарности, ординарности и последействия.
1. Стационарность потока.
стационарный, если вероятность того, что за время(,t1) поступит x(t0,t1) вызовов.
 |
Вероятность зависит от промежутков времени и не зависит от временного положения общего начала отсчета – t0 .
вероятность поступления зависит только от отрезка времени [t0,ti); вероятность поступления того или иного числа вызовов зависит от длины временного промежутка и не зависит от его местоположения на оси времени.
 |
Рис. 1.9 – Среднее число вызовов по часам суток.
В ЧНН считают поступающий поток стационарным.
Нестационарным, если вероятность поступления того или иного числа вызовов зависит как от длины отрезка, так и от момента его начала.
2. Последействие потока.
поток с последействием, если вероятность поступления того или иного числа вызовов за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала рассматриваемого промежутка времени.
потоком без последействия, если вероятность поступления вызова не зависит от процесса поступления вызовов до момента времени t .
3. Ординарность потока.
ординарный, если вероятность поступления 2-х и более вызовов в течение отрезка времени есть бесконечно малая более высокого порядка малости,
Практически ординарность потока означает, что в любой момент времени может поступить не более одного вызова.
Основные характеристики потоков вызовов.
1. Ведущая функция потока вызовов (L);
Ведущая функция потока L(t1,t2). – среднее число вызовов,поступающих в интервале времени [t1; t2),
Интенсивность потока вызовов m — среднее число вызовов, поступающих в единицу времени.
За единицу времени принимают среднее время обслуживания одного вызова.
Параметр потока l в момент времени t понимается предел отношения вероятности поступления 1-го и более вызовов за отрезок времени [t, t+t] при t ®0 к этому промежутку времени при t® 0
Это плотность вероятности поступления вызовов в момент времени [t,t+t].
Параметр характеризует число вызывающих моментов.
Какова связь между m и l? (теорема Королюка — Зитека)
Для стационарных ординарных потоков m=l
Рис.1.11 — Иллюстрация теоремы Королюка-Зитека .
Пусть на первой оси стационарный ординарный поток с m.1 и l1. В силу выше изложенного m1=l1.
На второй оси показан неординарный поток, т.к. в каждый момент поступает 2 вызова
В каждый момент времени
Моменты поступления вызовов зависят от l и определяются им, но l не зависит от того, сколько вызовов поступит в момент времени.
Математических моделей много, на практике используются два потока:
Источник
Особенности формирования потоков
Способы задания потоков вызовов.
ТЕМА 1. ПОТОКИ ВЫЗОВОВ.
Под потоком вызовов понимается последовательность вызовов, поступающих через какие-либо промежутки или в какие-либо моменты времени.
Поток вызовов можно представить:
Рис. 1.1 – К определению потоков вызовов.
t1-момент поступления 1-го вызова;
ti-момент поступления i-го вызова;
Отсюда наглядно видно, что поток вызовов можно задать моментами времени
t1 , t2 , t3 , … , ti , … , tn .
Под моментами времени ti понимают конец отрезка времени [0, ti ), где 0 –включен в отрезок, ti – не включен в отрезок.
Потоки вызовов можно задать:
Ø Последовательностью моментов времени, когда поступают вызовы.
Ø Последовательностью промежутков между вызовами.
Ø Последовательностью чисел, определяющих количество вызовов в течение отрезка времени:
Различают потоки детерминированные и случайные.
Потоки, в которых вызовы поступают в строго фиксированные моменты времени, называются детерминированными.
Потоки, в которых вызовы поступают в случайные моменты времени, называются недетерминированными или случайными.
Рассмотрим потоки, в которых в любой момент времени может поступить не более одного вызова.
Такие потоки могут задаваться:
1. Последовательностью моментов поступления вызовов.
 |
Рис. 1.2 – Первый способ задания потоков вызовов.
Поток вызовов задается последовательностью чисел t1, t2, t3, … , ti, tj … где: ti , tj – моменты поступления вызовов, при этом tj > ti , если j > i .
tj — конец отрезка [0, tj ),
ti — конец отрезка [0, ti ).
2. Поток вызовов задается последовательностью промежутков между вызовами
Рис. 1.3 – Второй способ задания детерминированных потоков.
0 – начало отсчета
Поток вызовов задается последовательностью чисел z1, z2, z3, … zn .
Z1 – промежуток между началом отсчета и t1 (момент поступления первого вызова).
Легко видеть, что знание последовательности чисел t1 , t2 , t3 , … , tn позволяет определить последовательность
z1 =t1 , т.к. t1 =[0, t1 ),
И наоборот, зная последовательности чисел z1, z2, z3, … zn , можно найти последовательности чисел t1 , t2 , t3 , … , tn
Таким образом, оба рассмотренные задания потоков являются эквивалентными.
3. Поток вызовов задается последовательностью чисел, представляющих собой количество вызовов, поступивших в течение отрезка времени.
Введем функцию x(t) – число вызовов, поступивших от начала отсчета до момента времени t .
Построим функцию x(t)=f(t) :
 |
Рис. 1.5 – Зависимость x(t) = f(t).
В любой момент времени поступает не более одного вызова. Как видно из графика x(t) = f(t), эта функция является неубывающей ступенчатой, претерпевающей скачки, равные 1 в каждый момент поступления вызова.
Если известна x(t), то можно определить последовательность моментов поступления вызовов, т.е.
t1 , t2 , t3 , …, tn .
Зная последовательность t1 , t2 , t3 , …, tn можно, как было показано ранее, перейти к последовательности z1, z2, z3, … zn , т.е. все три способа задания потоков являются эквивалентными.
На практике обычно имеют место не детерминированные потоки, а случайные. В случайных потоках вызовы поступают через случайные промежутки времени и в случайные моменты времени.
Однако задать случайный поток можно также с помощью трех рассмотренных способов, но в вероятностном смысле:
Ø Моменты поступления вызовов;
Ø Промежутки между моментами поступления вызовов;
Ø Последовательностью чисел, характеризующих количество вызовов в промежуток времени.
1. Поток вызовов задается последовательностью моментов поступления вызовов
 |
Рис. 1.6 – Первый способ задания случайных потоков вызовов.
Пусть с вероятностью Р момент поступления 1-го вызова t1 ограничен отрезком времени [y1 , x1 ) , где:
y1 — [0, y1), x1 — [0, x1),
Момент поступления второго вызова лежит на отрезке
Поток вызовов задан в вероятностном смысле последовательностью моментов поступления вызовов, если задана вероятность того, что
 |
Рис. 1.7 – Третий способ задания потоков вызовов.
Пусть за время [0,t1) с вероятностью Р поступит k1 вызов
За отрезок времени [0,t2) поступит k2 вызовов
Тогда поток вызовов задается последовательностью x(t1), x(t2), … , x(tn), если для любого n задана вероятность
Здесь t1, t2, … , tn — произвольные моменты времени и необязательно моменты поступления вызовов.
t1 10 они практически сливаются.
Покажем, что формула Пуассона является законом распределения СВ (k).
.
Таким образом, формула Пуассона обладает основным свойством любого закона распределения.
Можно показать, что сумма независимых простейших потоков образует также простейший поток с параметром, равным сумме параметров объединяемых потоков.
Для распределения Пуассона справедливы следующие соотношения:
.
1.5 Интенсивность простейшего потока вызовов.
Определим интенсивность простейшего потока:
.
Таким образом, интенсивность простейшего потока равна его параметру, что является следствием ранее сформулированной теоремы Королюка – Зитека.
Напомним ее смысл.
Для стационарных потоков справедливо неравенство m³l. Для стационарных ординарных потоков m=l, т.к. число вызовов совпадает с числом вызывающих моментов.
1.6 Функция распределения промежутков
между вызовами простейшего потока.
Согласно определению функция F(x) есть вероятность того, что промежуток между вызовами (z) окажется меньше константы (х), что равносильно вероятности p1(х) того, что на интервале (х) поступит один и более вызовов.
.
Проиллюстрируем полученную зависимость графически.
 |
Рис. 1.13 – Зависимость F(x)=f(x).
Таким образом, закон распределения СВ (z) или плотность распределения вероятностей промежутков между вызовами имеет вид:
.
Математическое ожидание и дисперсия промежутков между вызовами:
;
;
.
Из приведенных выражений видно, что с увеличением параметра потока (l) величина промежутков между вызовами уменьшается и наоборот.
Заметим, что распределение промежутков между вызовами по показательному закону является не только необходимым, но и достаточным условием простейшего потока. Можно показать, что поток с независимыми промежутками между вызовами, распределенными по одинаковому закону, является простейшим потоком.
Показательный закон обладает следующим замечательным свойством: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, длится некоторое время, то это никак не влияет на распределение оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения самого промежутка.
Показательный закон – единственный, обладающий таким свойством. Физический смысл этого свойства – отсутствие последействия. С другой стороны равенство M[z] и s[z] позволяет существенно упростить аналитические выражения, в частности, при анализе процессов поступления вызовов и их обслуживании.
1.7 Закон распределения длительности обслуживания вызовов.
В ТТ длительность обслуживания вызовов обычно принимается постоянной либо случайной величиной. Постоянная длительность принимается обычно в моделях обслуживания вызовов УУ. Случайная длительность обслуживания задается функцией распределения:
,
где: t – длительность обслуживания вызовов.
Чаще всего используют отрицательное экспоненциальное распределение:
,
где: 
— параметр длительности обслуживания.
Дифференцируя по (х), найдем плотность распределения вероятностей:
.
Числовые характеристики распределения:
; 
; 
.
1.8 Классификация потоков вызовов.
В ТТ рассматриваются две ветви классификации входящих потоков:
Ø Потоки с простым последействием;
Ø Потоки с ограниченным последействием;
Параметр потока с простым последействием зависит от состояния КС. Различают макросостояния КС и микросостояния КС
Под макросостояниями КС понимается наиболее общая характеристика состояния системы в момент времени (t). Например, общее число занятых входов, выходов ПЛ и т.д. Число таких состояний для однозвенных, ПД КС равно (v+1).
Под микросостояниями КС понимается детальная информация о состоянии системы в момент времени (t), т.е. не только общее число занятых входов, выходов, ПЛ, но и информация о том, какие именно входы, выходы, ПЛ заняты.
Число таких состояний для однозвенного, НД пучка емкостью v линий равно 2 v .
Под потоком с простым последействием понимается ординарный поток, для которого в любой момент времени (t) существует конечный параметр потока в состоянии (s), зависящий только от состояния (s) КС в момент времени (t) и не зависящий от процесса обслуживания вызовов до этого момента. Это ординарный, нестационарный поток. Обозначим его параметр — s l.
Частным случаем потока с простым последействием является симметричный поток.
Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого в любой момент определяется числом обслуживающихся вызовов в этот момент времени и не зависит от других характеристик КС.
где: i – число занятых линий.
Частным случаем симметричного потока является примитивный поток вызовов.
Примитивным потоком называется такой симметричный поток, параметр которого — li прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников:
где: i – число занятых источников;
a — параметр потока одного свободного источника.
Частным случаем примитивного потока является простейший поток вызовов. Параметр l простейшего потока вообще не зависит от состояния КС и для данного потока является величиной постоянной.
Математической моделью простейшего потока является формула Пуассона:
,
а примитивного потока – формула Бернулли (t=1):
,
где: n – общее число источников нагрузки,
а – удельная нагрузка от одного источника.
Частным случаем потока с простым последействием является также поток с повторными вызовами.
В этом потоке следует различать первичные и вторичные вызовы. В качестве первичного потока могут выступать либо простейший, либо примитивный потоки. В случае простейшего потока суммарный параметр входящего потока определяется следующим образом:
,
где: l — параметр первичного потока вызовов,
j – число источников повторных вызовов (ИПВ),
b — параметр потока одного ИПВ.
Если поток первичных вызовов является примитивным, то:
,
где: n – общее число источников вызовов,
i – число занятых источников,
Вторая ветвь классификации потоков вызовов связана с функцией распределения промежутков между вызовами.
Наиболее общим видом потока в этой классификации является поток с ограниченным последействием.
Потоком с ограниченным последействием называется поток, у которого промежутки между вызовами взаимно независимы и имеют любые распределения.
.
Частным случаем потока с ограниченным последействием является рекуррентный поток.
Рекуррентный поток характеризуется одинаково распределенными промежутками между вызовами:
Некоторым обобщением рекуррентного потока является рекуррентный поток с запаздыванием, для которого:
Стационарный, ординарный, рекуррентный поток с запаздыванием называется потоком Пальма
Для потока Пальма, как и для любого стационарного ординарного потока:
.
Функция распределения первого промежутка между вызовами для потока Пальма определяется как
;
Для остальных промежутков между вызовами:
,
где: Р0(х) – вероятность отсутствия вызовов на интервале длиной (х).
Важной для практики является следующая теорема Пальма:
Если на КС с явными потерями и с показательным распределением длительности обслуживания поступает поток Пальма, то поток необслуженных (потерянных) вызовов также будет потоком Пальма.
Простейший поток вызовов является частным случаем потока Пальма, для которого все промежутки между вызовами (включая первый) имеют показательное распределение.
В отдельную группу выделяются потоки Эрланга, которые образуются с помощью рекуррентной операции просеивания. Смысл этой операции заключается в том, что очередной поступивший вызов с вероятностью r остается (просеивается), а с вероятностью (1-r) теряется. Новый поток называется просеянным.
Поток, полученный из рекуррентного с помощью операции просеивания, также будет рекуррентным.
Важным для практики является случай, когда операции просеивания подвергается простейший поток. В этом случае просеянный поток (имеет место на направлениях КС, работающей в режиме Г) будет также простейшим с параметром — lr.
Если (m) вызовов теряется, а (m+1) просеивается, то получим поток Эрланга m-го порядка. Например, сохраняя в простейшем потоке каждый 3-ий вызов, получаем поток Эрланга 2-го порядка и т.д.
Простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга 0-го порядка.
Моменты распределения промежутков между вызовами потока Эрланга m-го порядка определяется следующими выражениями:
; 
; 
.
Параметр этого потока:
.
Потоки Эрланга m-го порядка при разных (m) создают потоки с различной степенью случайности:
При (m=0) – простейший;
При (m=¥) – детерминированный.
В моделях обслуживания входящих потоков важное место занимает поток освобождений.
Под потоком освобождений понимается последовательность окончания обслуживания вызовов.
При обслуживании поступающего потока без потерь при постоянном времени обслуживания (h) свойства потока освобождений совпадают со свойствами входящего потока. Просто происходит сдвиг моментов на величину (h).
При обслуживании простейшего потока без потерь при показательном распределении времени обслуживания, поток освобождений будет также простейшим с параметром, равным числу занятых линий в КС:
,
где: i(t) – число занятых линий в момент (t);
b — параметр потока освобождений одной линии (постоянная обслуживания вызовов).
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
