10 способов решения квадратных уравнений
Исследовательская работа по теме «10 способов решения квадратных уравнений»
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| 10_sposobov_resheniya_kvadratnykh_uravneniy.doc | 748 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 59»
10 способов решения квадратных уравнений
Выполнила: ученица 8А класса
МБОУ «СОШ № 59г.Барнаула
Захарова Людмила Владимировна,
учитель математики, МБОУ «СОШ № 59»
I. История развития квадратных уравнений ……………………………. 3
1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………………. 4
2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………5
3. Квадратные уравнения в Индии……………………………………………6
4. Квадратные уравнения у ал- Хорезми …………………………………….7
5. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв………………. 9
II. Способы решения квадратных уравнений ………………………. 11
- Разложение левой части уравнения на множители………………. 12
- Метод выделения полного квадрата.……………………….……. 13
- Решение квадратных уравнений по формулам …………………..………14
- Решение уравнений с использованием теоремы Виета……………. 16
5.Решение уравнений способом переброски»……………………………….18
- Свойства коэффициентов квадратного уравнения……………………. 19
7.Графическое решение квадратного уравнен……………………..……….. 21
8.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки……….. 24
9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………. 26
10. Геометрический способ решения квадратных уравнений……………….28
Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»
Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.
В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «10 способов решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.
Цель работы: научиться решать квадратные уравнения, изучить различные методы их решения.
Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:
— изучить историю развития квадратных уравнений;
— рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;
— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;
— научиться решать квадратные уравнения различными способами.
Объект исследования : квадратные уравнения.
Предмет исследования : с пособы решения квадратных уравнений.
Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
Анализ: информации полученной при изучении литературы;
результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.
Источник
Проект для НПК учащихся 8 класса «10 способов решения квадратных уравнений»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Копьёвская средняя общеобразовательная школа
с углублённым изучением отдельных предметов»
10 способов решения квадратных уравнений
Тайдонова Анастасия Михайловна,
Тайдонова Виктория Михайловна,
учащиеся 8А класса
Загородних Ольга Иосифовна,
п. Копьёво, 2016 г.
1. Из истории решения квадратных уравнений…………………………………..4
2. Решение квадратных уравнений с помощью разложения на множители……6
3. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена..6
4. Решение квадратных уравнений по формуле ……………………. 7
6. Решение квадратных уравнений способом «переброски»…………………. 8
7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения…………………………….9
8. Закономерность коэффициентов………………………………………………..10
9. Графический способ решения квадратных уравнений………………………..11
10. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки…………..12
11. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………….13
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. Практически все, что окружает человека – это так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.
Цель работы : изучение нестандартных способов решения квадратных уравнений.
Задачи работы : изучить сведения из истории решения квадратных уравнений, изложить 10 способов решения квадратных уравнений (стандартные и нестандартные)
Объект исследования : квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
Гипотеза : для некоторых квадратных уравнений применение нестандартных способов решения позволяет устно найти корни этого уравнения.
1. Из истории решения квадратных уравнений
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, в их клинописных текстах встречаются кроме неполных и полные квадратные уравнения.
Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы квадратных уравнений.
Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.
При составлении квадратных уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача. «Найти 2 числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведения равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+ x , другое же меньше, т.е. 10- x . Разность между ними 2 x . Отсюда уравнение
(10+ x )(10- x )=96, или же
100 — x 2 =96,
x 2 — 4=0.
Отсюда x =2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский учёный, Брахмагубта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единой канонической форме: ax 2 + bx = c , a >0.
Одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:
«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?»
Соответствующее задаче уравнение () 2 + 12= x Бхаскара пишет под видом
x 2 — 64 x = -768, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:
x 2 — 64 x +32 2 = -768+1024,
( x — 32) 2 = 256,
x — 32= ±16,
x 1 =16, x 2 =48.
Квадратные уравнения у ал-Хорезми .
При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
Приведём пример.
Задача. Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень. (подразумевается корень уравнения x 2 +21= 10 x ) .
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
Квадратные уравнения в Европе XII — XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанные в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду
x 2 + bx = c ,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
2. Решение квадратных уравнений с помощью разложения на множители
Квадратные уравнения общего вида надо привести к виду: A ( x )∙ B ( x )=0, где A ( x ) и B ( x ) — многочлены относительно x .
Пример. Решить уравнение 4 х 2 +5 х +1=0. Слагаемое 5 х представим в виде суммы двух слагаемых 4 х и х , получим 4 х 2 +4 х + х +1=0. Применим способ группировки, уравнение примет вид 4 х ( х +1)+( х +1)=0. Левую часть уравнения раскладываем на множители ( х +1)(4 х +1)=0. Следовательно,
х +1=0 или 4 х +1=0;
х 1 = -1; х 2 = — 0,25.
Ответ: х 1 = -1, х 2 = — 0,25
3.Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена.
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.
Пример . Решить уравнение 7 х 2 – 6 х – 1= 0.
Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение
Выделим из трехчлена х 2 – х – квадрат двучлена. Для этого разность
х 2 – х представим в виде х 2 – 2· х , прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим
Следовательно, х – = – или х – = ,
4. Решение квадратных уравнений по формуле
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Универсальный способ решения квадратных уравнений – применение формулы корней.
D = b – 4 ас – дискриминант квадратного уравнения.
Если D >0, то уравнение имеет два корня:
2) Если D = 0, то уравнение имеет один корень:
3) Если D 0, то уравнение не имеет корней.
Если второй коэффициент – чётное число, т.е. b =2 k , то D 1 = k 2 — ac , и корни уравнения ax 2 + 2 k x + c = 0, то корни уравнения находятся по формуле
х= и х=
Теорема, выражающая связь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и его корнями, носящая имя знаменитого французского математика Франсуа Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.
Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Приведенное квадратное уравнение имеет вид: х 2 + bx + c = 0. Обозначим второй коэффициент буквой р , а свободный член буквой q : х 2 + px + q = 0.
Для приведённого квадратного уравнения справедлива теорема, обратная теореме Виета : если числа m и n таковы, что их сумма равна – p , а произведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения
х 2 + px + q = 0. Если m + n = — p и mn = q , то х 1 = m и х 2 = n .
Теорема Виета и обратная ей теорема позволяют:
1) проверить правильность найденных корней уравнения x ² + px + q = 0;
2) судить о знаках и абсолютной величине корней уравнения x ² + px + q = 0:
если p >0, q >0, то оба корня отрицательны;
если p q >0, то оба корня положительны;
3) устно находить целые корни уравнения x ² + px + q = 0;
4) составлять квадратные уравнения с заданными корнями.
Пример 1 . Рассмотрим уравнение х 2 + 3 х –40=0, D = 3 2 +4∙40=169>0, уравнение имеет два корня.
По формуле корней квадратного уравнения получаем
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х 2 + 3 х –40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен–40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х 2 + 3 х – 40=0.
Пример 2. Решить уравнение х 2 + 3 х – 10 = 0, D = 3 2 +4∙10=49>0, уравнение имеет два корня.
х 1 · х 2 = – 10, значит корни имеют разные знаки,
х 1 + х 2 = – 3, значит больший по модулю корень — отрицательное число.
6. Решение квадратных уравнений способом «переброски»
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета и, что самое важное, когда дискриминант является точным квадратом числа.
Решим уравнение 2 х 2 – 11 х+ 5=0 , перебросим коэффициент 2 к свободному члену. Получим новое уравнение y 2 –11 y + 10= 0.
D >0, по теореме, обратной теореме Виета, подбором находим корни
Корни уравнения необходимо поделить на 2, получаем корни исходного уравнения: х 1 = 5; х 2 = 0,5
7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Подставим это выражение в формулу корней:
х 1,2 = 
= 
.
Получим корни: х 1 = 
, х 2 = 
.
2) Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту a + c = b , то один из корней равен -1, а второй равен — .
Доказательство.
Выразим b из равенства a — b + c = 0, b = a + c , подставим в формулу корней:
x 1,2 = 
= 
.
Получаем корни: х 1 = 
, х 2 = 
.
Пример 1. Решить уравнение 137 х 2 +20 х -157= 0.
Источник
