Декурсивный способ начисления сложных процентов

Декурсивный метод начисления сложных процентов

При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты после очередного периода начисления присоединяются к сумме долга, и в следующем периоде проценты начисляются на общую сумму, т.е. с капитализацией процентов. Такие проценты называются сложными, база для их начисления увеличивается с каждым очередным периодом начисления.

Наращенная сумма за n лет при использовании постоянной годовой ставки сложных процентов i_с определяется по формуле

Задача 7

Банк выдал ссуду 500 тыс. р. на 3 года. Определить погашаемую сумму при использовании сложной ставки 18% годовых и сумму процентных денег.

S = 500 000 (1 + 0.18) 3 = 821 516 р.

Процентные деньги = 821 516 – 500 000 = 321 516 р.

Начисление сложных процентов при сроке ссуды более одного года дает большую сумму процентных денег, чем начисление простых процентов.

Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году (по месяцам, кварталам, полугодиям), то используется номинальная ставка процентов – годовая ставка, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде начисления.

Наращенная сумма при этом определяется по формуле

S = P (1 + j / m) mn ,

где j – номинальная ставка сложных процентов, десятичная дробь;

m – количество периодов начисления процентов в году;

n – срок ссуды в годах;

j / m – ставка процентов в каждом периоде начисления, десятичная дробь.

Задача 8

Банк ежеквартально начисляет проценты на вклады по номинальной ставке 16% годовых. Определить сумму, полученную вкладчиком через 5 лет, если первоначальная сумма вклада равна 100 тыс. р.

S = 100 000 (1 + 0.16 / 4) 4 х 5 = 219 112.2 р.

Из формулы для наращенной суммы можно определить значение суммы, выдаваемой заемщику, т.е. осуществить дисконтирование суммы S по сложной ставке процентов.

Решите самостоятельно

Задача 9

Определите современную величину суммы 500 тыс. р., которая будет выплачена через 3 года при использовании ставки сложных процентов 20% годовых.

Ответ: 289 351.8 р.

Срок ссуды (из формулы наращенной суммы) определится

n = log (S/P) / log (1+i).

Логарифмы могут браться с любыми равными основаниями.

Задача 10

Банк начисляет сложные проценты по ставке 12% годовых. Определите срок в годах, за который сумма вклада в 25 тыс. руб. вырастет до 40 тыс. р.

Задача 11

Сумма долга удвоилась за 3 года. Определить использованную годовую ставку сложных процентов.

Антисипативный метод начисления простых процентов

(простые учетные ставки)

При использовании учетных ставок сумма процентных денег от предоставления денег в долг определяется исходя из суммы, которая должна быть возвращена, т.е. величиной получаемого кредита считается не получаемая, а наращенная сумма. Процентные деньги, начисленные по учетной ставке, удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, а заемщик получает сумму кредита сразу за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Сумма процентных денег, начисленная по учетной ставке, называется дисконтом.

Сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле

P = S (1 – n d),

где d –простая учетная ставка;

(1 – n d) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.

Из формулы видно, что, в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любые значения, коэффициент дисконтирования не может быть отрицательным, т.е. n•d должно быть строго меньше единицы. Значения d, близкие к предельным, на практике не встречаются.

Задача 12

Заемщик берет ссуду на квартал с обязательством возвратить 100 тыс. р. Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, удержанного банком, при учетной ставке 15% годовых.

P = 100 000 (1 – 0.25 х 0.15) = 96 250 р.

Дисконт = S – P = 100 000 – 96 250 = 3 750 р.

Если срок ссуды задан в днях (д), сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле

P = S (1 – d • д / K),

где К – количество дней в году (временная база).

Решите самостоятельно

Задача 13

Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, полученного банком, если по договору заемщик должен через 200 дней возвратить 100 тыс. р. при учетной ставке банка 10% годовых и временной базе 360 дней.

Ответ: 94 444.44 р.; 5 555.56 р.

На практике учетные ставки используются при покупке (учете) векселей и других денежных обязательств. В этом случае банк или другое финансовое учреждение до наступления срока по векселю покупает его у владельца (поставщика) по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, или, как принято говорить, банк учитывает вексель с дисконтом. Владелец векселя при этом получает деньги ранее указанного в векселе срока за вычетом дохода банка в виде дисконта. Банк, получив при наступлении срока оплаты векселя указанную в нем сумму, реализует (получает) дисконт.

Указанную операцию можно рассматривать как выдачу банком ссуды в размере суммы, указанной в векселе, по учетной ставке, используемой при его учете, на срок, равный сроку от даты учета до даты погашения векселя. Следовательно, сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя, будет определяться по формуле

P = S (1 – Δn·d) = S (1 – d·Δд / K),

где Δn = Δд / K – срок в днях от даты учета до даты погашения векселя;

Δд – число дней от даты учета до даты погашения векселя.

Задача 14

При учете векселя на сумму 100 тыс. р., до срока оплаты которого осталось 80 дней, банк выплатил его владельцу 98 тыс. р. Определить, какую учетную ставку использовал банк при временной базе 360 дней.

d = (100 000 – 98 000) х 360 / (100 000 х 80) = 0.09 = 9%.

Решите самостоятельно

Задача 15

Вексель на сумму 200 тыс. р. учет в банке за 30 дней до срока его погашения по учетной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, и сумму дисконта, полученную банком, при временной базе 360 дней.

Ответ: 197 500 р.; 2 500 р.

Задача 16

Банк выдает ссуды по учетной ставке 15% годовых. Определить срок ссуды в годах, если заемщик хочет получить 500 тыс. р., а погашаемая сумма должна составить 550 тыс. р

Источник

Наращение по сложным процентам декурсивным способом

В случае декурсивного способа расчета сложных процентов, начисление на первоначальную сумму производится в конце периода наращения.

В конце первого периода наращенная сумма равна:

FV₁ = PV + PV·i = P(1 + i).

В конце второго периода проценты начисляются на уже наращенную сумму

FV₂ = PV(1+i) + PV(1+i)i = PV(1+i)(1+i) = P(1+i) 2

и так далее, в конце n-ого периода наращенная сумма будет равна:

где FV – наращенная сумма;

i – годовая ставка сложных процентов;

(1+i) n — коэффициент наращения сложных процентов[12]

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, то есть начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал, месяц).

Задача

В кредитном договоре на сумму 1 000 000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Рассчитать наращенную сумму.

руб.

Ответ: наращенная сумма FV = 2 073 600 руб.

Замечание

Величина FV существенно зависит от значений i и n. Например, будущая величина суммы всего в 1 рубль при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45 (рисунок)

Рисунок 1. Наращение при сумме 1 рубль

Замечание

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти смешанным методом

где [n] — целая часть числа n; — дробная часть числа n.

Замечание

В случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени (по полугодиям, кварталам, иногда помесячно), для начисления процентов используется формула:

где i₁,i₂,…,i_k – последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n₁,n₂,…,n_k.

Если период меньше года (t), то наращенная сумма равна

Наращение по сложным процентам антисипативным способом

При антисипативном способе начисления, проценты начисляются в начале каждого интервала. В договоре указывается изменяющаяся во времени базовая ставка (база) и размер надбавки к ней (маржи)[13].

Пусть годовая ставка сложных процентов j.

Число периодов начисления в году m.

При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m.

Ставка j – называется номинальной.

Где N – число периодов может быть и дробным N = mn.

Задача

Ссуда в 30 000 000 руб. предоставлена на 18 месяца. Проценты сложные, ставка 40% годовых. Проценты начисляются ежеквартально (раз в 3 месяца). Рассчитать наращенную сумму.

Число периодов начислений по договору кварталов.

Число периодов начисления в году m = 4.

руб.

Ответ: наращенная сумма FV = 53146830 руб.

Замечание

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена по смешанному методу

где ml — число полных периодов начисления процентов,

— дробная часть одного периода начисления процентов.

Задача

На сумму 600 руб. ежеквартально по ставке 4% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определите величину наращенной суммы двумя методами.

Общее число периодов начисления процентов по договору составит: , тогда имеем:

ml = 4, .

По стандартной формуле наращенную сумму найти сложно.

руб.

Используя смешанный метод начисления, наращенная сумма составит:

руб.

Ответ: FV_станд = 628,52 руб. FV_смеш = 6288,53 руб.

Эффективная ставка

Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту.

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать следующее равенство для соответствующих множителей наращения:

где EPR – эффективная ставка [effective percentage rate];

j – номинальная ставка.

или

Опр.Эффективная ставка EPR – это годовая ставка сложных процентов, которую необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m разовом начислении процентов в году по ставке j /m.

Задача

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Таким образом, условия помещения суммы на депозит под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов и под 10,3813%, начисляемых раз в год, являются эквивалентными.

Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.

Таким образом, условия помещения суммы на депозит под 11,495% ежеквартально и под 12% годовых, являются эквивалентными.

Дисконтирование

Опр. Дисконтирование представляет собой процесс нахождения величины на заданный момент времени по ее известному или предполагаемому значению в будущем.

В экономическом смысле величина PV, найденная в процессе дисконтирования, показывает современное (с позиции текущего момента времени) значение будущей величины FV.

Дисконтирование, по сути, является зеркальным отражением наращения.

Если , то .

С помощью дисконтирования в финансовых операциях учитывается фактор времени.

На рисунке 2 приведена графическая диаграмма, отражающая процесс дисконтирования суммы в 1 рубль при различных ставках сложных процентов.

Рисунок 2.Дисконтирование суммы в 1 рубль при различных ставках

Как и следовало ожидать, величина PV также зависит от продолжительности операции и процентной ставки, однако зависимость здесь обратная — чем больше i и n, тем меньше текущая (современная) величина.

Опр.Дисконт— это разница между ценой, по которой покупатель покупает вексель или облигацию, и их номинальной стоимостью:

Опр. Расчет исходной суммы сделки (PV) по величине наращенной суммы (FV) называется дисконтированием суммыFV.

Опр. Величину PV, найденную дисконтированием наращенной суммы FV, называют современной стоимостьюFV.

Опр. Процесс начисления и удержания процентов вперёд (в виде дисконтирования) называется учетом.

Опр. Учётная ставка [Discount rate — d] — это сумма, указанная в процентном выражении к величине денежного обязательства, которую взимает приобретатель обязательства. Это цена, взимаемая за приобретение обязательства до наступления срока уплаты[14].

Пусть d % — простая годовая учетная ставка;

d — относительная величина этой ставки;

D_г — сумма процентных денег за год;

D — сумма процентных денег за период, равный n,

тогда простая учетная ставка

или

FV — наращенная сумма.

Например, если облигация с номинальной стоимостью FV = 1000 рублей и сроком действия один год была приобретена за PV = 900 рублей, то учетная ставка d составила:

Дисконт за 1 год: D_г = d×FV.

Дисконт за период n: D = n×D_г = n·d·FV.

Тогда наращенная сумма будет равна

FV = PV + D; FV = PV + n·d·FV;

А поскольку, на практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов, когда по заданной сумме FV, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить исходной сумму PV, то

Задача

Через 200 дней после подписания договора должник уплатит 350 руб. Кредит выдан под 15% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что при начислении процентов используется простая учетная ставка и временная база K=360 дням?

Первоначальная сумма долга — это величина PV;

руб.

Ответ: РV = 320,83 руб.

Виды дисконтирования

Виды дисконтирования
математическое	Банковский (коммерческий) учет
Решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды	Банк до наступления срока платежа по платёжному обязательству покупает его у владельца по цене ниже необходимой суммы и приобретает его с дисконтом.
из имеем	Для расчета процентов применяется учетная ставка: то есть проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.
— дисконтный коэффициент, который показывает какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. где n — общий срок платежного обязательства.	Дисконт: , откуда . — дисконтный коэффициент. n – измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения[15].
Дисконт при математическом дисконтировании: .	Дисконт при коммерческом учете: D = n·d·FV.

Задача

Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит выдан под 20 % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

1) руб.

2) руб.

Ответ: PV = 952380,95 руб. и D = 47 619,05 руб.

Задача

Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 1 000 000 руб. Банк приобрёл его с дисконтом по учетной ставке 20% годовых (проценты простые и К=360). Определить полученную предприятием сумму и величину банковского дисконта.

Решение

1) руб.

2) руб.

Ответ: D = 50 000 руб. и PV = 950 000 руб.

Задача

Вексель, выданный на 120 дней, с обязательством уплатить 50 тыс. руб., учитывается по ставке 8%. Определить приведенную величину наращенной стоимости и размер дисконта при математическом дисконтировании и коммерческом учете.

а) при математическом дисконтировании имеем:

1) тыс. руб.

2) тыс. руб.

б) при коммерческом учете имеем:

1) тыс. руб.

2) тыс. руб.

Ответ: а) PV = 48,70 тыс. руб. и D = 1,30 тыс. руб.

б) D = 1,33 тыс. руб. PV = 48,67 тыс. руб.

Задача

Владелец векселя номинальной стоимости 400 руб. и сроком обращения один год предъявил его банку — эмитенту для учета за 100 дней до даты погашения. Банк учел его по ставке 12% годовых (проценты простые). Определить дисконтированную величину и величину дисконта, временная база К=360.

1) тыс. руб.

2) тыс. руб.

Ответ: D = 13,33 тыс. руб. PV = 386,67 тыс. руб.

Замечание

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещают начисление процентов по ставке i и дисконтирование по ставке d. В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле:

где n — общий срок платежного обязательства;

n¢ — срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, то есть n¢ ≤ n.

Задача

Долговое обязательство в сумме 2 000 руб. должно быть погашено через ∂ = 90 дней с процентами i = 10 % годовых. Владелец обязательства учел его в банке за = 30 дней до наступления срока по учетной ставке d = 12 %. Найти полученную после учета векселя сумму.

руб.

Источник