Решение задачи способом замены плоскостей проекций.
Как отмечалось выше, для определения расстояния от заданной точки до плоскости (высоты пирамиды) необходимо из этой точки опустить перпендикуляр на плоскость, найти основание перпендикуляра и определить истинную величину отрезка. Задача решается просто, если плоскости основания пирамиды — ΔАВС задать проецирующее положение.
1. Построим в плоскости треугольника АВС горизонталь и введем новую фронтальную плоскость π4 перпендикулярно к данной горизонтали:
На чертеже ось х1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h1 / : х1 ^ h1 / ; (рис.10.1)
2.Строим новую фронтальную проекцию треугольника — А1 // В1 // С1 // .
[S // Sx // ] 
[S1 // Sx1 // ]; [A // Ax // ] [A1 // Ax1 // ]; [B // Bx // ] [B1 // Bx1 // ];
[C // Cx // ] [C1 // Cx1 // ];
По отношению к p4 плоскость треугольника занимает проецирующее положение(рис.10.2). 
3. Из точки S1опускаем перпендикуляр на плоскость DА1В1С1, находим его основание, как точку пересечения перпендикуляра с плоскостью:
S1K1 
S1; S1K1 
DА1В1С1 ; S1K1∩DА1В1С1 =K1;
На чертеже: S1«K1» DA1 // В1 // C1 // ;
Отрезок [S1«K1«]определяет натуральную величину высоты пирамиды. Измеряем его и указываем размер на чертеже.
Точку К необходимо вернуть в исходное положение, зная что S1 / K / ¤¤ х (рис.10.3);
Задача 3. Определить натуральную величину основания пирамиды — DАВС.
Решение способом плоскопараллельного перемещения.
Для того чтобы определить натуральную величину основания пирамиды-DABC, который является плоскостью общего положения, необходимо преобразовать его в плоскость уровня.
Для решения задачи необходимо выполнить два преобразования:
1) Преобразовать плоскость треугольника – плоскость общего положения в проецирующую плоскость.
2) Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня,
переместив ΔA1B1C1 плоскопараллельным движением относительно пл. p2 в новое положение, параллельное пл. p1, тогда на эту плоскость он спроецируется без искажения.
a1(A1B1C1) 
a2(A2B2C2)// p1 ;
1. Перемещаем треугольник АВС параллельно одной из плоскостей проекций так, чтобы после преобразования он занял проецирующее положение ( см. задачу №1).
2.Располагаем вырожденную фронтальную проекцию DA2B2C2 –отрезок [A2 // B2 // C2 // ]параллельно оси х:
При этом не изменится величина его фронтальной проекции:
[A2 // B2 // C2 // ] 
[A1 // B1 // C1 // ] (рис.11.1)
3. Горизонтальные проекции вершин А1 / , В1 / , . перемещаются в новое положение А2 / ,В2 / , . по прямым параллельным оси х. По линиям связи строим горизонтальную проекцию DA2B2C2 (ΔA2 / B2 C2 / ), которая конгруэнтна основанию пирамиды: [DA2 / B2 / C2 / ] 
[DABC] (рис.11.2)
Источник
Примеры решения метрических задач
Задача 1. Определить высоту пирамиды SABC (SK).
Высота пирамиды определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки S на плоскость основания АВС – SK (рисунок 6.17).
Рисунок 6.17− Пример решения задачи 1
1. Опустить перпендикуляр n из точки S на основание АВС.
2. Построить основание К перпендикуляра n (точка встречи перпендикуляра с плоскостью АВС).
3. Определить натуральную величину отрезка SK, выражающего высоту пирамиды.
1. Перпендикуляр n из точки S на основание АВС пирамиды проводим без преобразования проекций. В этом случае построение проекций перпендикуляра основано на теореме о перпендикулярности прямой и плоскости, согласно которой проекции перпендикуляра к плоскости перпендикулярны к одноименным проекциям фронтали и горизонтали этой плоскости.
Поэтому на первом этапе решения задачи:
а) проводим в плоскости АВС горизонталь AN и располагаем горизонтальную проекцию перпендикуляра n перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали:
б) проводим в плоскости основания АВС фронталь СЕ и располагаем фронтальную проекцию перпендикуляра n перпендикулярно фронтальной проекции фронтали:
2. Основание К перпендикуляра n находим с помощью вспомогательной плоскости a:
а) заключаем перпендикуляр n во фронтально проецирующую плоскость a: nÎa; a ^V;
б) определяем линию пересечения L плоскости a и основания АВС: l = a Ç D ABC; l = 1 È 2;
в) находим точку пересечения К перпендикуляра n и основания АВС: К = n Ç D ABC.
3. Натуральную величину отрезка SK, выражающего высоту пирамиды, определяем методом вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций. Для этого поворачиваем отрезок SK в положение, параллельное плоскости Н. Новая горизонтальная проекция sk1 отрезка представляет его натуральную величину.
Задача 2.Определить угол, образованный гранью SAB и основанием АВС пирамиды (рисунок 6.18).
Угол между двумя плоскостями определяется линейным углом, полученным при сечении данных плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной к двум заданным. Поскольку таким путем задача решается сложно, прибегаем к одному из способов преобразования ортогональных проекций. Например, к способу замены плоскостей проекций. Решение задачи показано на рисунке 6.18.
Рисунок 6.18 − Пример решения задачи 2
1. Линию пересечения заданных плоскостей SAB и АВС – ребро АВ – из прямой общего положения преобразуем в проецирующую прямую.
2. Определить проекции плоскостей SAB и АВС в новой системе плоскостей ортогональных проекций.
3. Определить угол между гранью SAB и основанием АВС как угол между пересекающимися прямыми, в которые эти плоскости проецируются в результате преобразования.
1. Сначала заменяем плоскость V на новую V1, располагаем ее параллельно ребру АВ (на эпюре Х1 ½½ab) и строим новую фронтальную проекцию пирамиды. Затем заменяем плоскость Н на новую Н1, располагая последнюю перпендикулярно ребру АВ (на эпюре Х2 ^ a1‘b1‘) и строим новую горизонтальную проекцию ребра АВ.
2. Строим новую горизонтальную проекцию плоскостей SAB и АВС. Они изобразятся в виде пересекающихся прямых (рисунок 6.18).
3. Определяем угол j 0 , выражающий угол между гранью SAB и основанием АВС пирамиды.
Задача № 3.Определить натуральную величину основания АВС пирамиды.
Для определения натуральной величины и формы плоской фигуры необходимо расположить ее параллельно одной из плоскостей проекций. Для этого воспользуемся способом плоскопараллельного перемещения. Решение задачи показано на рисунке 6.19.
1. Преобразовать плоскость АВС общего положения в проецирующую.
2. Преобразовать плоскость АВС в плоскость уровня и определить ее натуральную величину и форму.
1. Проводим в плоскости АВС горизонталь AN. Перемещаем горизонталь AN параллельно плоскости Н и поворачиваем ее в новом положении перпендикулярно плоскости V (на эпюре a1n1 ^ X). Строим новую горизонтальную проекцию a1b1c1 конгруэнтную авс и новую фронтальную проекцию в виде прямой b1‘c1‘.
Рисунок 6.19 − Пример решения задачи 3
Перемещаем плоскость АВС параллельно плоскости V в положение, параллельное плоскости Н (на эпюре b2‘c2‘ || X), и находим новую горизонтальную проекцию a2b2c2, представляющую натуральную величину и форму основания АВС.
Контрольные вопросы по начертательной геометрии
К теме 1. Центральные и параллельные проекции.
1.1. Какие известны вам основные методы проецирования геометрических форм на плоскости?
1.2. Сформулируйте основные свойства параллельного проецирования.
1.3. Что называют координатами точки пространства в декартовой системе координат?
К теме 2. Точка. Прямая. Плоскость на эпюре Монжа.
2.1. Постройте проекции точек, расположенных в различных углах пространства.
2.2. Что называют постоянной прямой чертежа? Как с помощью постоянной прямой чертежа построить третью проекцию точки.
2.3. Какие прямые называют линиями уровня ?
2.4. Какие прямые называют проецирующими прямыми линиями?
2.5. Приведите определение внутреннего и внешнего деления отрезка прямой.
2.6. Что называют следом прямой линии? постройте следы прямых частного положения.
2.7. Укажите правило построения следов прямой линии.
2.8. Как изображаются на чертеже пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые линии?
2.9. Покажите способы задания плоскости общего положения и проецирующих плоскостей.
2.10 Как строят прямые линии и точки в плоскости?
2.11. Покажите способы построения горизонтали, фронтали и линии наибольшего наклона плоскостей общего положения и проецирующих плоскостей.
К теме 3. Позиционные и метрические задачи.
3.1. Покажите на примерах, как определяют точки пересечения проецирующих плоскостей прямыми линиями, линии пересечения проецирующих плоскостей плоскостями общего положения и проецирующими плоскостями.
3.2. Изобразите схему и укажите последовательность решения задачи на построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения.
3.3. Как определяют видимость элементов геометрических образов относите плоскостей проекций?
3.4. Изобразите схему и укажите последовательность построения линии пересечения двух плоскостей.
3.5. Изобразите схему и приведите примеры построений прямых линий, параллельных и перпендикулярных плоскостям.
3.6. Сформулируйте условие параллельности и условие перпендикулярности двух плоскостей.
3.7. Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых общего положения. Изобразите схему.
3.8. Как определяются на чертеже расстояния от точки до проецирующей плоскости и плоскости общего положения?
Тема № 4. Способы преобразования.
4.1. В чем состоит принцип преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций?
4.2. Какова схема решения задачи по определению натуральной величины отсека произвольно расположенной плоскости способом замены плоскостей проекций?
4.3. В чем состоит принцип преобразования чертежа способом вращения вокруг проецирующих прямых?
4.4. Какую прямую принимают за ось вращения при переводе отсека плоскости из общего положения в горизонтально — проецирующую плоскость?
4.5. Можно ли считать плоскопараллельное перемещение вращением вокруг не выявленных осей и почему?
4.6. Укажите последовательность приемов определения натуральной величины отсека плоскости способом плоскопараллельного перемещения.
К теме 5. Пересечение поверхностей плоскостью и прямой линией.
5.1. Каковы основные способы задания поверхностей?
5.2. Укажите общую схему определения точек линии пересечения поверхностей плоскостью.
5.3. Укажите последовательность графических построений при определении точек пересечения прямой с поверхностью.
5.4. Укажите условия, при которых в сечении конуса вращения плоскостью получаются окружность, эллипс, гипербола, парабола, пересекающиеся прямые.
К теме 6. Взаимное пересечение поверхностей.
6.1. Изобразите общую схему построения линий пересечения
6.2. Назовите основные способы построения линий пересечения поверхностей.
6.3. Опишите способы секущих плоскостей и сферических посредников при определении линии пересечения поверхностей.
6.4. Какое пересечение поверхностей называют полным и неполным?
6.5. В какой последовательности соединяются точки искомой линии пересечения поверхностей и как определяется ее видимость в проекциях?
6.6. Какие точки линии пересечения поверхностей называют главными (опорными)?
К теме 7. Развертка поверхностей.
7.1. Что называют разверткой поверхностей?
7.2. Какие поверхности называют развертывающимися и какие не развертывающимися?
7.3. Укажите основные свойства разверток.
7.4. Укажите последовательность графических построений разверток поверхностей конуса и цилиндра.
К теме 8. Аксонометрические проекции.
8.1. Какие проекции называют аксонометрическими?
8.2. Что называют коэффициентом искажения?
8.3. Сформулируйте основную теорему аксонометрии – теорему Польке.
8.4. Что представляет собой треугольник следов?
8.5. Укажите коэффициенты искажений по направлениям осей в прямоугольной изометрии, в диметрии.
8.6. Укажите направления и величины осей эллипсов как изометрических и диметрических проекций окружностей, вписанных в квадрат граней куба, ребра которого параллельны координатным осям.
Источник
