Рациональные приёмы вычислений на уроках математики
Разделы: Математика
Класс: 4
Ключевые слова: математика
«Мозг хорошо устроенный ценится больше,
чем мозг хорошо наполненный.»
Умения рационально производить вычисления характеризуют довольно высокий уровень математического развития. Знакомство и применение рациональных способов вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Эти умения чрезвычайно сложны, формируются они медленно и за время обучения в начальной школе далеко не у всех детей могут быть достаточно сформированы.
Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро. Считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировки. И тогда перед вами откроется совсем другая математика: живая, полезная, понятная.
Скажите, пожалуйста, как рациональнее сложить 1+ 7, 4 * 8? Какие законы применили?
27 + 46+13? 27 – 19 – 7? Какие свойства, законы? Т.е основы рациональных приёмов вычислений основаны на чём?
Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами.
Рациональные приёмы сложения основываются
1. Коммуникативный закон сложения а +в =в +а
2. Ассоциативный закон сложения а+в+с = а+ (в+с)
на коммуникативном и ассоциативном приёмах сложения, а так же свойствах изменения суммы. Рассмотрим некоторые из них.
Свойства сложения.
1.1
а+в+с =У, то (а – к) +с+в = У –к
38+24+15 = 77, то 36+ 24+ 15 = ?
а+в+с=У, то (а+ к) +в +с = У+к
38 + 24+15 = 77, то 40+ 24 + 15 =?
1.2.
а+ в =С , то (а +к ) + (в – к) = С
56 + 27 = 83, то (56 + 4) + (27 – 4) = ?
Какие ещё рациональные приёмы сложения можно применить на уроке математики?
Округление одного из слагаемых; поразрядного сложения; приём группировки вокруг одного и того же «корневого» числа.
Рассмотрим эти приёмы:
13 + 49 + 76 + 61 = (поразрядное сложение)
38 + 59 = 38 + (…округление слагаемого)
26 + 24 + 23 +25 + 24 = (группировка вокруг одного и того же «корневого» числа
Все приёмы рациональных вычислений, связанных с вычитанием, основываются на законах вычитания.
Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на число, то соответственно разность увеличится или уменьшится на это же самое число
а – в = С, то (а +к) — в = С +к
74 – 28 = 46, то 77 – 28 = 49
а-в = С , то (а – к ) — в = С-к
74 – 28 = 46, то 71 – 28 = 43
Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность измениться в противоположную сторону.
Если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить или увеличить на одно и тоже число, то разность не измениться.
Найди верные равенства.
229 – 36 = (229 – 9 ) – ( 36 – 6)
174 – 58 = (174 – 4) – ( 58 – 4)
358 – 39 = ( 358 – 8 ) – (39 – 8)
617 – 48 = ( 617 – 7 ) – (48 – 8)
Для рациональных вычислений используют частичные приёмы умножения и деления.
Приём замены множителя или делителя на произведение.
75 * 8 = 75 * 2*2*2=
960 : 15 = 960 : 3 : 5 =
Приём умножения на 9, 99,999, 11 …
87 * 99 = 87 * 100- 87 = 8700 – 87 = 8613
87 * 11 = 87 *10 + 87 = 870+ 87 = 957
Успешное применение различных приёмов зависит от умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Например, познакомив детей в первом классе с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав числа.
0 1 2 3 4 5 6 7
Отработав, таким образом, состав чисел в пределах 10 и познакомившись с переместительным законом сложения, дети легко справляются с заданием найти сумму чисел в пределах 10, а в дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойство сложения, легко можно найти сумму других чисел. Например:
48 +14 +22 +36 =120
Существуют приёмы на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Легко находить сумму последовательных нечётных чисел, начиная с 1.
Она равна произведению количества слагаемых на самого себя. (проверить)
Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия. Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условия задания, суметь подметить все его особенности. Такие задания, как поставь нужный знак действия16 … 17 = 33 ( рассуждать), далее подобные задания усложняются. 8…6…33 = 15
Сравни, не вычисляя
51 : 3 … 30 : 3 + 21 :5
636 :6 … 600 : 6+ 30 : 6+ 6 :6
Задания могут даваться в занимательной форме: Математический лабиринт, составь слово, найди пару , расшифруй пословицу и т.д.
Используй рациональные приёмы вычисления, разгадай слово
Какие приёмы использовали?
Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приёмы, помогающие значительно облегчить процесс вычисления.
СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ: способ быстрого умножения чисел первого десятка на 9. Допустим нам надо умножить 7 на 9. Повернём ладошки к себе, загнём седьмой палец, число пальцев слева от загнутого пальца – это число десятков, а число – справа, количество единиц.
Все задания, которые рассматривались, воспитывают интерес к математике, развивают их математические способности. Такую работу можно продолжать на математическом кружке.
Источник
Числовые и буквенные выражения
О чем эта статья:
Числовые выражения: что это
Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.
Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.
Например:
- 23 + 5 = 28
- 5 — 2 = 3
- 52 * 3 = 156
- 28 : 7 = 4
Это простые числовые выражения.
Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:
- (5 * 3) — (5 * 2) = 5
- 6 : (7 — 4) = 2
- (45 + 45) : 9 = 10
- 11 * (5 * 5) = 275
Это сложные числовые выражения.
Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».
Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.
Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.
11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.
При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:
- Сначала выполняется действие, записанное в скобках.
- Затем выполняется деление/умножение.
- В последнюю очередь выполняется сложение/вычитание.
Пример 1. Найдите значение числового выражения: 3 * (2 + 8) — 4
Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)
(6 + 7) * (13 + 2) = 195
Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.
Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.
Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2
- Сначала находим значение первого выражения:
6 + 8 = 14
Затем находим значение второго выражения:
2 * 2 = 4
Сравниваем получившиеся результаты:
14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2
Пример 2. Сравните следующие числовые выражения:
5 * (12 — 2) — 7 и (115 + 9) — (7 — 3)
- Находим значение первого выражения, соблюдая порядок выполнения арифметических действий:
12 — 2 = 10
5 * 10 = 50
50 — 7 = 43
5 * (12 — 2) — 7 = 43
Затем находим значение:
115 + 9 = 124
7 — 3 = 4
124 — 4 = 120
Сравниваем полученные результаты:
43 меньше 120
43
Буквенные выражения
Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.
В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.
Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.
Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.
У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:
- Сначала следует прочитать его полностью.
- Затем оно записывается.
- Третьим шагом идет подстановка значения неизвестного в выражение.
- А затем производится вычисление, согласно очередности выполнения арифметических действий.
Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.
- Читаем: найдите сумму числа 5 и x.
- Подставляем вместо неизвестного x число 4.
- Вычисляем: 5 + 4 = 9.
Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).
- Читаем: найдите произведение суммы числа 4 и а и суммы числа 2 и x.
- Подставляем вместо неизвестного a число 2.
- Вычисляем 4 + 2 = 6.
- Подставляем вместо неизвестного x число 5.
- Вычисляем 2 + 5 = 10.
- Находим произведение 6 * 10 = 60.
- Записываем результат: (4 + 2) * (2 + 5) = 60.
Выражения с переменными
Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.
- Например, в выражении x + a — 8
x — переменная
a — переменная
Если вместо переменных подставить числа, то буквенное выражение x + a — 8 станет числовым выражением. Вот так:
- подставляем вместо переменной x число 5, а вместо переменной a — число 10, получаем 5 + 10 — 8.
Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.
После подстановки значения переменных находим значение x + a — 8 = 5 + 10 — 8 = 7.
Часто можно встретить буквенные выражения, записанные следующим образом:
5x — 4a
Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.
5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a
Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.
Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.
Задание раз.
- Сумма 6 и a.
- Разность 8 и x.
- Сумма x — 2 и 6
- Разность 15 и x — y
- Сумма 45 + 5 и 12 — 6
Задание два.
Составьте буквенное выражение:
Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.
Ответ: (b — 345) + (180 + x).
Задание три.
Составьте буквенное выражение:
Разность разности 30 и y и разности a и b.
Ответ: (30 — y) — (a — b).
Задание четыре.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Ролл «Калифорния» стоит 480 рублей — это на 40 рублей меньше, чем ролл «Филадельфия». Сколько будут стоить оба ролла?
Как решаем:
Калифорния — 480 рублей.
Филадельфия — 480 + 40.
Калифорния + Филадельфия = ?
480 + (480 + 40).
Мы помним, что выполнение арифметических действий в числовом выражении имеет строгую последовательность. Сначала — действие в скобках:
480 + 520 = 1 000.
Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.
Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?
Маша — 150 видео.
Лена — 150 + 13 видео.
Маша + Лена = ? видео.
150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.
Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.
Задание шесть.
Вычислите:
(500 + 300) : a — 15,
при условии, что a = 10.
Подставляем число 10 (значение переменной) вместо переменной
(500 + 300) : 10 — 15
Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 500 + 300 = 800.
Затем выполняем деление 800 : 10 = 80.
Выполняем вычитание 80 — 15 = 65.
Ответ: (500 + 300) : 10 — 15 = 65.
Задание семь.
Вычислите:
(270 — 120) * (x — 10),
при условии, что x = 45.
Как решаем: подставляем число 45 (значение переменной) вместо переменной x
(270 — 120) * (45 — 10).
Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 270 — 120 = 150.
Выполняем арифметическое действие во вторых скобках: 45 — 10 = 35.
Затем выполняем умножение 150 * 35 = 5 250
Ответ: (270 — 120) * (45 — 10) = 5 250.
Задание восемь.
Вычислите:
(50 * x) — (3 * y)
при условии, что x = 2; y = 10
Подставляем число 2 вместо переменной x
(50 * 2) — (3 * y).
Подставляем число 10 вместо переменной y
(50 * 2) — (3 * 10).
Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 50 * 2 = 100.
Выполняем арифметическое действие во вторых скобках: 3 * 10 = 30.
Затем выполняем вычитание 100 — 30 = 70
Источник
