Что такое тождественный способ

Тождественные преобразования выражений

п.1. Соответственные значения

Рассмотрим два выражения с переменными:

$$ f(x)=x^2 — 4x + 20, g(x)=3x^2 — 10 $$

Вычислим их значения при x=2:

$$ f(2)=2^2 — 4 \cdot 2 + 20 = 16, g(2)=3 \cdot 2^2 — 10 = 2 $$

Числа 16 и 2 называются соответственными значениями выражений f(x)и g(x) при одинаковом значении x=2. В данном случае соответственные значения не равны. Теперь подставим x=3:

$f(3)=3^2 — 4 \cdot 3 + 20 = 17, g(3) = 3 \cdot 3^2 — 10 = 17$

Соответственные значения равны.

Соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те же переменные – это числовые значения этих выражений, полученные при подстановке одинаковых значений переменных.

Соответственные значения могут быть:

• равны для отдельных значений переменных;
• равны при всех допустимых значениях переменных;
• неравны для любого из допустимых значений переменных.

п.2. Область допустимых значений

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных .

Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения (или областью допустимых значений переменных , сокращённо ОДЗ ).

Ограничения на ОДЗ определяются видом выражения:

• Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных.
• Дробное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль. Например, выражение $ \frac <1>$ не имеет смысла при a=4.
• Иррациональное выражение не имеет смысла, если выражение под корнем чётной степени или под знаком возведения в дробную степень отрицательно. Например, выражение $ \sqrt $ не имеет смысла при всех a Тождественно равные выражения – это выражения, соответственные значения которых равны при всех допустимых значениях переменных.

Тождество – формула, в которой два тождественных выражения соединены знаком равенства.

Согласно определению, тождество – это равенство, которое является истинным при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.

Примеры тождеств: $a + b = b + a, \frac <2a+2> <2>= a+1, x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)$

Тождествами также принято считать истинные числовые равенства.

Примеры числовых тождеств: $3^2 + 4^2 = 5^2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является истинным при всех допустимых значениях переменных, а уравнения – только для одного или нескольких значений переменных из ОДЗ.

Например: $x + 1 = \frac <2x+2><2>$ — это тождество, которое истинно для всех действительных $x \mathbb \in R$. Выражение $x^2 + 1 = 2$ — это уравнение, которое истинно только для $x = \pm 1$.

Тождественное преобразование выражений – это замена одного выражения другим, тождественно ему равным.

Например, сокращение дроби $ \frac = \frac ab $ является тождественным преобразованием.

Для доказательства (или опровержения) тождеств используют следующие алгоритмы.

Алгоритм доказательства, что равенство является тождеством

1. Выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства.

2. Сравнить полученные слева и справа алгебраические выражения. Если они одинаковы, то равенство является тождеством.

Если выражения неодинаковы, продолжить тождественные преобразования или перейти к доказательству того, что равенство не является тождеством.

Алгоритм доказательства, что равенство не является тождеством

Найти хотя бы одно значение переменной, при котором соответственные значения выражений слева и справа неравны.

п.4. Примеры

Пример 1. Докажите тождество 3(x+1)-2(x-1)-x=5(x+1)-5x

● Тождественные преобразования левой части:

Тождественные преобразования правой части:

Получаем: 5=5. Равенство является тождеством.

Что и требовалось доказать. ○

Пример 2. Тождественны ли выражения 1-(1-(1-b)) и 1-b?

Тождественные преобразования левой части:

Получаем: 1-b=1-b. Выражения тождественны.

Пример 3. Верно ли тождество |x|+1=|x+1|?

Найдем соответственные значения левой и правой части при x=-1.

Равенство не является тождеством.

Пример 4. Является ли тождеством равенство |a+b|=|a|+|b|?

Найдем соответственные значения левой и правой части при a=-1, b=1.

Источник

Тождество

Тождество — это равенство, обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквенные и числовые.

Тождественные выражения

Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях букв они имеют одинаковую численную величину. Таковы, например, выражения:

Оба представленных выражения, при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.

Так же тождественными можно назвать и числовые выражения, равные между собой. Например:

Буквенные и числовые тождества

Буквенное тождество — это равенство, которое справедливо при любых значениях входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, у которого обе части являются тождественно равными выражениями, например:

Числовое тождество — это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, у которого обе части имеют одинаковую численную величину. Например:

Тождественные преобразования выражений

Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, тождественное первому.

При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения. Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.

Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:

Выполнение данного преобразования основано на распределительном законе умножения.

Источник

Тождественные преобразования

Содержание

Вспомнить, что такое тождество, вы можете в предыдущей теме.

Для понимания данной темы представим, что в двух банках было одинаковое количество воды, например, $1$ стакан. Потом в обе банки долили еще по $2$ стакана воды. В результате в обеих емкостях все равно осталось одинаковое количество воды, так как мы добавили в каждую равный объем: $2$ стакана.

Другой пример: брата и сестру соседка угостила конфетами, каждому дала по $5$ штук. Затем они решили съесть по одной, и у них осталось все равно поровну конфет, но уже по $4$ штуки.

В обоих примерах были произведены какие-то действия (в первом случае прибавили, во втором – отняли), но прежнее равенство они не нарушили.

В математике тоже можно производить подобные действия над равенствами, и они называются тождественными преобразованиями.

Их главная цель – сделать решение более легким.

Пример тождественного преобразования

Выполним задание на упрощение равенства: $$0,5nt + \frac <3><4>nt = \frac <3><6>nt + \frac <9><12>nt$$

Мы можем упростить правую и левую его части. Сначала преобразуем десятичную дробь в левой части равенства, чтобы все дроби привести к одному виду: $$\frac <1><2>nt + \frac <3><4>nt = \frac <3><6>nt + \frac <9><12>nt$$

Вынесем в обеих частях равенства за скобки общий множитель $nt$: $$(\frac <1> <2>+ \frac <3><4>)nt = (\frac <3> <6>+ \frac <9><12>)nt$$

Посчитаем действия в скобках, а также преобразуем дроби, приведя их к общему знаменателю, отдельно в правой и в левой части: $$(\frac <2+3><4>)nt = (\frac <6+9><12>)nt$$ $$(\frac <5><4>)nt = (\frac <15><12>)nt$$

Теперь осталось сократить дробь справа. Разделим для этого на $3$ и числитель, и знаменатель: $$\frac <5><4>nt = \frac <5><4>nt$$

Таким образом, мы упростили тождество и выполнили действия, которые не изменили наше равенство. Согласитесь, намного проще посчитать результат при подстановке значений $n$ и $t$ в получившееся равенство, чем в первоначальное.

Что называют тождественным преобразованием

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

Часто слово «тождественное» пропускают и в задании просто просят преобразовать выражение.

Приведем еще примеры совсем простых тождественных преобразований:

Все свойства арифметических действий являются примерами тождественных преобразований, например:

То есть, арифметические действия над выражениями, которые вы выполняли ранее, относятся к тождественным преобразованиям выражений.

После каждого шага тождественного преобразования в записи между выражениями можно ставить знак $=$, например: $$(7-2)\times (4f-0,5)=5\times (4f-0,5)=20f-2,5$$

Каждое отдельно взятое выражение между знаками $=$ в записанной цепочке будет тождественно равно любому другому из нее.

Например, мы можем записать, что

Как понять, что преобразование было тождественным

Как мы можем доказать, что выполняемые нами действия сделаны по правилам, а преобразование было тождественным? Для этого необходимо следовать одному из следующих алгоритмов:

• Если выражения числовые и не содержат переменных, каждое из них нужно решить. Итоговые результаты должны совпадать.

Рассмотрим на примере и докажем, что выражение $\color <#8e3deb>\frac <7+2><3>+5$ тождественно равно выражению $\color<#eb3d3d>10-2$:

Мы получили одинаковый результат $\color<#8e3deb>8=\color<#eb3d3d>8$ и доказали, что исходные выражения тоже тождественно равны.

Логично, что если одно из числовых выражений в равенстве представляет собой число, то для доказательства нужно решить только второе.

• Если выражения содержат переменную, то нужно подставить вместо нее в исходное и полученное выражения одно и то же число. Результат должен совпадать.

К примеру, докажем что выражение $\color<#8e3deb>2(7n+3-4n)$ тождественно равно выражению $\color<#ED7858>6(n+1)$. Допустим $n=2$. Подставим в первое выражение $2$ вместо $n$:
$$\color<#8e3deb>2(7\times 2+3-4\times 2)=2\times 9=18$$
Подставим и во второе выражение $2$ вместо $n$:
$$\color<#ED7858>6(2+1)=6\times 3=18$$ Мы получили одинаковые результаты, следовательно, наши выражения тождественны.

Попробуйте самостоятельно подставить вместо $n$ в каждое из выражений выше какое-то другое число, и проверьте, будет ли сохраняться тождество.

Все ли значения можно подставить вместо переменной?

Но любое ли значение для подставления вместо переменной можно брать при доказательстве? Далее вы будете изучать область допустимых значений (ОДЗ) для переменной. При доказательстве мы должны использовать только допустимые ее значения.

К примеру, возьмем тождество: $$\frac <3><9x>+5=-5-\frac <1><3x>$$ Какое число мы не можем подставить вместо $x$?
Вместо $x$ мы не можем подставить $0$, доказывая тождественность этих выражений, так как $x$ у нас в знаменателе. При умножении на $x=0$ в обоих знаменателях получится $0$, а на $0$ делить нельзя. $0$ не входит в ОДЗ для переменной в исходном выражении и не может в данном случае использоваться для доказательства тождества.

• Другой способ доказать, что в результате преобразования выражения остались тождественными: вычесть из исходного выражения получившееся (или наоборот). В результате должен получиться $0$.

Возьмем пример выше и вычтем $6(n+1)$ из $2(7n+3-4n)$.
Решим:
$6(n+1)-2(7n+3-4n)=$
$6n+6-14n-6+8n=$
$(6n-14n+8n)+(6-6)=0$

Источник

Тождественные преобразования выражений

В данной публикации мы рассмотрим основные виды тождественных преобразований алгебраических выражений, сопроводив их формулами и примерами для демонстрации применения на практике. Цель таких преобразований – заменить исходное выражение на тождественно равное ему.

Перестановка местами слагаемых и множителей

В любой сумме можно переставить местами слагаемые.

В любом произведении можно переставить местами сомножители.

Примеры:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Группировка слагаемых (множителей)

Если в сумме больше 2 слагаемых, их можно сгруппировать путем заключения в скобки. Если требуется, предварительно можно поменять их местами.

В произведении, также, можно выполнить группировку сомножителей.

Примеры:

Прибавление, вычитание, умножение или деление на одинаковое число

Если к обеим частям тождества прибавить или отнять одно и то же число, то оно останется верным.

Также равенство не будет нарушено, если обе его части умножить или разделить на одинаковое число.

Примеры:

Замена разности суммой (частого произведением)

Любую разность можно представить в виде суммы слагаемых.

Тот же самый прием можно применить при делении, т.е. заменить частое произведением.

Примеры:

• 76 – 15 – 29 =
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3 -1

Выполнение арифметических действий

Упростить математическое выражение (иногда существенно) можно путем выполнения арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), учитывая общепринятый порядок их выполнения:

• сперва возводим в степени, извлекаем корни, вычисляем логарифмы, тригонометрические и другие функции;
• затем выполняем действия в скобках;
• в последнюю очередь – слева направо выполняем оставшиеся действия. При этом умножение и деление являются более приоритетными, нежели сложение и вычитание. Это касается и выражений в скобках.

Примеры:

Раскрытие скобок

Скобки в арифметическом выражении можно убрать. Выполняется это действие по определенным правилам – в зависимости о того, какие знаки (“плюс”, “минус”, “умножить” или “разделить”) стоят перед скобками или после них.

Примеры:

Вынесение за скобки общего множителя

Если все слагаемые в выражении имеют общий множитель, его можно вынести за скобки, в которых останутся слагаемые, деленные на этот множитель. Этот прием, также применим к буквенным переменным.

Примеры:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 =
• 28 + 56 – 77 =
• 31x + 50x =

Применение формул сокращенного умножения

Для выполнения тождественных преобразований алгебраических выражений также можно использовать формулы сокращенного умножения.

Источник