Что такое способ вспомогательных секущих сфер

При определении линии пересечения двух поверхностей вращения, при их особом взаимном расположении, не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости. В некоторых случаях применяют метод вспомогательных секущих сфер – концентрических или эксцентрических.

Концентрические сферические посредники применяются при определении линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями.

Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами. Применению метода концентрических сфер должно предшествовать такое преобразование чертежа, в результате которого оси обеих поверхностей должны быть расположены параллельно одной и той же плоскости проекций (рис.151) или одна из осей становиться проецирующей прямой, а вторая — линией уровня (рис.152).

Рисунок 1 51. Пересечение поверхностей вращения, оси которых параллельны
фронтальной плоскости проекций.





а) модель		б) эпюр

Оси поверхностей G и Q параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точки А (рис.151). Эта точка принимается за центр всех вспомогательных концентрических сфер. Каждая из концентрических сфер пересекает поверхности по окружностям — параллелям (а, b, c, d, n), фронтальные проекции которых являются прямыми линиями (а₂, b₂, c₂, d₂, n₂). Проекции точек 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂ и 6₂пересечения проекций параллелей принадлежат проекции искомой линии пересечения поверхностей. Пересечение главных фронтальных меридианов поверхностей определяют положение верхней и нижней точек (7 и 8) линии.

Для точного построения линии пересечения поверхностей необходимо найти точки 9 и 10, которые определяют границу зоны видимости линии пересечения поверхностей на горизонтальной проекции. Для этой цели использовалась вспомогательная секущая плоскость b , которая пересекает поверхность Q по линии m, а поверхность G по образующим, горизонтальные проекции которых пересекаясь определяют положение искомых точек.

Соединив найденные точки 1. 10 с учетом видимости получим линию пересечения поверхностей.

Рисунок 152. Пересечение поверхностей вращения,
ось одной — горизонтально проецирующая
прямая, а второй — горизонталь

Вторым примером использования в качестве вспомогательных поверхностей посредников концентрических сфер рассмотрим при определении линии пересечения поверхностей предложенных на рисунке 152. Оси поверхностей вращения G и Q пересекаются в точки А , при этом ось поверхности Q — горизонтально проецирующая прямая, а ось поверхности G — горизонталь. Точка А принимается за центр всех вспомогательных концентрических сфер.

Точки 1 и 2 линии пересечения построены с помощью сферы радиуса R. Эта сфера пересекает поверхность Q по окружности а, а поверхность G по окружности b , которая показана только на горизонтальной проекции. Пересечение горизонтальных проекций окружностей а₁ и b ₁ определяют проекции 1₁ и 2₁ точек линии пересечения. Их фронтальные проекции 1₂ и 2₂ построены на а₂ пересечении с линиями связи.

Для нахождения точек 5 и 6 определяющих границу зоны видимости на горизонтальной проекции, использовалась вспомогательная секущая плоскость b , которая пересекает поверхность Q по окружность n, а коническую поверхность G по треугольнику, определяющему ее очерк на горизонтальной проекции.

Точки 7 и 8 находятся на границе зоны видимости фронтальной проекции, для их нахождения используется вспомогательная секущая плоскость g .

Соединив найденные точки 1. 8 с учетом видимости получим линию пересечения поверхностей G и Q.

Эксцентрические сферические посредники применяются при определении точек линии пересечения поверхностей вращения с поверхностью несущей на себе непрерывное множество окружностей. Обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии. Вспомогательные эксцентрические сферы пересекаются с данными поверхностями по окружностям.

Рисунок 1 53. Пересечение конуса и сферы





а) модель		б) эпюр

Определения линии пересечения конуса и сферы применение эксцентричных сфер, как поверхностей — посредников. Центры сфер — точки расположены на оси конуса. Сфера пересекает конус и сферу по окружностям , которые пересекаются в двух точках, принадлежащих искомой линии пересечения (рис.153а).

Верхняя и нижняя точки линии пересечения найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости — плоскости главного фронтального меридиана, пересекающая конус и сферу по треугольнику и окружности, являющимися очерками поверхностей на фронтальной плоскости проекций.

Точки, определяющие границу зоны видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций, найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости — горизонтальной плоскости уровня, пересекающей сферу по экватору — окружности являющейся очерком шара на горизонтальной проекции, а конус по окружности — параллели.

Точки, найденные с помощью вспомогательных поверхностей посредников, определяют линию пересечения конуса и шара.

Рассмотрим, на примере определения линии пересечения конуса Q и сферы G (рис.153б), применение эксцентричных сфер, как поверхностей — посредников. Центры сфер — точки А 1 , А 2 и А 3 расположены на оси конуса. Сфера радиуса R 1 с центром в точке А 1 пересекает конус и сферу по окружностям а и в, которые пересекаются в точках 1 и 2, принадлежащих искомой линии пересечения. С помощью сферы R 2 с центром А 2 и сферы R 3 с центром А 3 определено положение точек 3, 4 и 5,6 соответственно. Точки 7 и 8 найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости a (плоскости фронтального меридиана), пересекающей конус и сферу по главным фронтальным меридианам k и l . Точки 9 и 10, определяющие границу зоны видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций, найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости b (горизонтальной плоскости уровня), пересекающей сферу G по экватору s, а конус Q по окружности p. Точки 1. 10, построенные с помощью вспомогательных поверхностей посредников, определяют линию пересечения конуса и шара.

Источник

Способ вспомогательных сфер в начертательной геометрии с примером

Способ вспомогательных сфер:

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями.

Прежде чем перейти к рассмотрению этого способа, рассмотрим частный случай пересечения поверхностей вращения, у которых оси совпадают. Такие поверхности называются соосными поверхностями вращения.

Линия пересечения соосных поверхностей — окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхностей вращения. При этом, если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии (рис. 5.41).

Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические (построенные из одного центра) и эксцентрические (проведенные из разных центров) сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер — сфер с постоянным центром.

Следует отметить, что если плоскость осей поверхностей вращения не параллельна плоскости проекций, то окружности, по которым пересекаются поверхности, будут проецироваться в эллипсы, а это усложняет решение задачи. Поэтому способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
б) оси этих поверхностей должны пересекаться, точку пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
в) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Используя этот способ, можно построить линию пересечения поверхностей на одной проекции.

Рассмотрим пример построения линии пересечения цилиндра и конуса вращения (рис. 5.42).

Точки 1, 2, 3, 4 определяются как точки пересечения контурных образующих поверхностей, принадлежащие плоскости пересечения осей (плоскости симметрии

Из точки пересечения осей данных поверхностей (точки О’) построим вспомогательную сферу произвольного радиуса. Эта сфера будет одновременно соосна конусу и цилиндру и пересечет их по окружностям. Плоскости этих окружностей перпендикулярны соответствующим осям вращения. Фронтальные проекции этих окружностей — отрезки прямых. Проведенная сфера пересекает конус по окружности диаметра а цилиндр — по окружностям В пересечении окружности АВ с окружностями CD и EF получаем соответственно точки 9-10 и 1 1-12, принадлежащие линии пересечения.

Таким образом, можно построить достаточное количество точек искомой линии пересечения. При этом нужно иметь ввиду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер.

Радиус максимальной секущей сферы будет равен расстоянию от центра о’ до самой удаленной точки пересечения контурных образующих (от точки о’ до точек 2′ и 4′)- Минимальной секущей сферой должна быть такая сфера, которая касалась бы одной поверхности (большей) и пересекала вторую (меньшую). В данном примере минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности и пересекает цилиндр по окружностям Пересекаясь между собой, окружности MN и KL дают точки линии пересечения 5 (5′) и 6 (6′), а окружности MN и ST — точки Это самые глубокие точки линии пересечения.

Для точности решения между максимальной и минимальной сферами необходимо построить дополнительные (промежуточные) сферы:

Если дополнительная сфера пересекает только одну данную поверхность, то такая сфера для решения задачи непригодна.

Для построения второй проекции линии пересечения можно использовать окружности, полученные от сечения конуса вспомогательными сферами.

Можно также построить дополнительные сечения поверхности, Точки 13-14 и 15-16, лежащие на контурных образующих цилиндра, являются точками границы видимости линии пересечения на горизонтальной проекции.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Инженерная графика
Начертательная геометрия
Компас
Автокад
Черчение
Проекционное черчение
Аксонометрическое черчение
Строительное черчение
Техническое черчение
Геометрическое черчение

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Выполнение и оформление чертежей по ГОСТ и ЕСКД
Виды в инженерной графике
Разрезы в инженерной графике
Сечения в инженерной графике
Развертка поверхности конуса
Шаровая поверхность
Винтовые поверхности
Способ вспомогательных секущих плоскостей

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник