Что такое способ плоского параллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения (переноса) имеет справедливым утверждение, которое может быть выражено в виде следующей теоремы.

При параллельном переносе геометрической фигуры относительно плоскости проекции, проекция фигуры на эту плоскость хотя и меняет свое положение, но остается конгруентной проекции фигуры в ее исходном положении.

Докажем эту теорему для случая, когда проецируемая фигура Ф плоская, и ее плоскость принадлежит плоскости уровня Ф⊂α, плоскость α║H (рисунок). В этом случае, на основании свойства 6 ортогонального проецирования горизонтальная проекция Ф` будет конгруентна самой фигуре Ф(Ф`≅Ф).

При перемещении фигуры Ф в новое положение Ф₁, фигура Ф`₁ будет конгруентна Ф, так как:

а) расстояние между точками фигуры не меняется;

б) в процессе перемещения фигура Ф все время остается в плоскости α.

В силу параллельности плоскостей α и H, Ф`<sub>1</sub>≅Ф<sub>1</sub>, но Ф<sub>1</sub>≅Ф, а Ф≅Ф`, следовательно Ф`<sub>1</sub>≅Ф`. Данная теорема будет справедлива и в случае, когда геометрическая фигура занимает произвольное (непараллельное) положение относительно плоскости проекции.

а) При всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекции H, ее фронтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси x.

б) В случае произвольного перемещения точки в плоскости, параллельной V, ее горизонтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси x.

Пользуясь теоремой и отмеченными свойствами, не составляет труда построить новые проекции геометрической фигуры (по заданным ее ортогональным проекциям), которые соответствуют частным положениям проецируемой фигуры по отношению к плоскости проекции.

[AB]- отрезок прямой а общего положения перевести в положение параллельное V. Выполняем перемещение отрезка [A`B`] на горизонтальной плоскости проекции в положение параллельное оси x [A₁B₁]. При таком перемещении новая горизонтальная проекция конгруентна исходной [AB]≅[A₁B₁] на основании теоремы.

Фронтальные проекции точек отрезка [A»B»] будут перемещаться в новое положение [A»₁B»₁] в плоскостях α и β параллельных горизонтальной плоскости проекции — по следам α_V и β_V.

Для перевода отрезка прямой общего положения в положение параллельное V требуется одно перемещение отрезка параллельно плоскости проекции H.

Для перевода отрезка прямой из общего положения в проецирующее, необходимо последовательно выполнить два перемещения параллельно плоскостям проекции.

Зная характер геометрических построений, которые необходимо выполнить для перемещения отрезка из общего положения в проецирующее, можно легко перевести плоскость, произвольно расположенную в пространстве, в частное положение (параллельное или перпендикулярное плоскости проекции).

В графической работе №4 используется способ плоскопараллельного перемещения для решение задачи по построению треугольной пирамиды SABC: Графическая работа 4. В графической работе №5 используется способ плоскопараллельного перемещения для решение задачи по по определению наклона ребра SC треугольной пирамиды SABC к плоскости основания ABC: Графическая работа 5. Плоскопараллельное перемещение треугольника, со всеми подробностями, смотри: Плоскопараллельное перемещение треугольника

Источник

Способ плоскопараллельного перемещения

Плоско-параллельным перемещением называется такое движение объекта, при котором все его точки перемещаются в плоскостях , параллельных между собой.

При плоскопараллельном перемещении относительно горизонтальной плоскости проекций П₁ все точки объекта перемещаются в горизонтальных плоскостях уровня. При этом горизонтальная проекция объекта по форме и размерам не меняется, изменяется только положение объекта относительно плоскости П₁. Фронтальные проекции точек объекта перемещаются по прямым, параллельным оси проекций х.

При плоскопараллельном перемещении относительно фронтальной плоскости проекций П₂ все точки объекта перемещаются во фронтальных плоскостях уровня при этом фронтальная проекция объекта по форме и размерам не меняется, изменяется только положение объекта относительно плоскости П₂. Горизонтальные проекции точек объекта перемещаются по прямым, параллельным оси проекции х (рисунок 1.4.8).

Рисунок 1.4.8 – Плоско-параллельное перемещение

Рассмотрим примеры преобразования чертежа способом плоскопараллельного перемещения при графическом решении четырех основных задач.

Задача №1. Преобразовать прямую общего положения во фронтальную прямую уровня (рисунок 1.4.9).

Решение. Выполним плоско-параллельное перемещение прямой АВ относительно фронтальной плоскости проекций. Для того, чтобы прямая стала параллельной П₂, горизонтальную проекцию (АВ) А₁В₁ переместим в свободное место чертежа и расположим параллельно оси х. При этом длина отрезка А₁В₁=А₁ 1 В₁ 1 . Фронтальные проекции точек АВ (А₁В₁) перемещаются соответственно по прямым α₂, β₂ – фронтальным проекциям горизонтальных плоскостей уровня α и β, в которых перемещаются точки А и В. Затем перпендикулярно оси х из проекций точек А₁ 1 и В₁ 1 проведем линии связи. Из проекций А₂ и В₂ параллельно оси х проведем линии связи до пересечения с соответствующими линиями связи в соответствии с рисунком 1.4.9. В результате построения определяется натуральная величина АВ и угол γ его наклона к горизонтальной плоскости проекций.

Рисунок 1.4.9 – Решение первой основной задачи способом плоско-параллельного перемещения

Задача №2. Преобразовать прямую общего положения в горизонтально-проецирующую прямую (рисунок 1.4.10).

Решение. Эта задача решается при помощи двух преобразований. Сначала прямую АВ преобразуем во фронтальную прямую уровня (смотри задачу №1), а затем плоскопараллельно переместим прямую АВ относительно фронтальной плоскости проекций и преобразуем в горизонтально проецирующую прямую. Для этого проекцию прямой АВ( А₂ 1 В₂ 1 ) переместим в свободное место чертежа и расположим ее перпендикулярно оси х, не изменяя ее размеров. При этом горизонтальные проекции точек отрезка прямой АВ(А₁ 1 В₁ 1 ) перемещаются по прямой θ₁— горизонтальной проекции фронтальной плоскости уровня θ, в которой перемещаются точки АВ. Определим точку пересечения линий связи проекций точек А₁ 1 ,В₁ 1 и А₂ 1 ,В₂ 1 . Горизонтальная проекция преобразованной прямой проецируется в точку, т.е. прямая АВ преобразилась в горизонтально проецирующую прямую.

Рисунок 1.4.10 – Решение второй основной задачи способом плоско-параллельного перемещения

Задача №3. Преобразовать плоскость общего положения во фронтально проецирующую плоскость (Рисунок 1.4.11).

Решение. Плоскость задана треугольником ABC. В плоскости треугольника предварительно построим фронталь f(f₁,f₂). Заметим, если плоскость преобразуется в горизонтально проецирующую, то в плоскости проводиться горизонталь h. Треугольник плоскопараллельно перемещаем таким образом, чтобы фронталь треугольника располагалась перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, то сама фронталь на эту плоскость проецируется в точку, а плоскость треугольника – в прямую, т.е. плоскость треугольника ABC станет горизонтально проецирующей. Поэтому в свободном месте чертежа фронтальную проекцию Δ ABC(A₂B₂C₂) расположим так, чтобы фронтальная проекция фронтали (f₂) располагалась перпендикулярно оси х. При этом фронтальные проекции треугольника не изменили своей формы (A₂B₂C₂= A₂ 1 B₂ 1 C₂ 1 ), а горизонтальные проекции вершин Δ ABC(A₁B₁C₁) переместились по прямым α₁, β₁, γ₁ – горизонтальным проекциям фронтальных плоскостей уровня, проведенных через эти вершины. Фронтальная проекция Δ ABC (A₁ 1 B₁ 1 C₁ 1 ) будет представлять собой отрезок прямой, т.е. плоскость треугольника станет горизонтально проецирующей. При помощи этой задачи также определяется натуральная величина угла наклона φ плоскости Δ ABC к фронтальной плоскости проекций (рисунок 1.4.11).

Рисунок 1.4.11 — Решение третьей основной задачи способом плоско-параллельного перемещения

Рисунок 1.4.12 — Решение четвертой основной задачи способом плоско-параллельного перемещения

Задача №4. Преобразовать плоскость общего положения во фронтальную плоскость уровня (рисунок 1.4.12).

Решение. Для решения этой задачи необходимо выполнить два преобразования: сначала преобразовать плоскость треугольника во фронтально проецирующую плоскость (смотри задачу №3), а затем преобразовать Δ ABC, чтобы он находился во фронтальной плоскости уровня. Для этого на свободном месте чертежа расположим горизонтальную проекцию Δ ABC(A₁ 1 B₁ 1 C₁ 1 ) параллельно оси х. При этом A₁B₁C₁=A₁ 1 B₁ 1 C₁ 1 , а фронтальные проекции вершин треугольника будут перемещаться по соответствующим плоскостям уровня – λ₂, κ₂, τ₂. Так как преобразованный треугольник лежит в плоскости уровня, следовательно, его фронтальная проекция после последнего преобразования, будет являться натуральной величиной Δ ABC.

Источник

57. Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения основан на том, что при параллельном переносе геометрического тела относительно плоскости проекций проекция его на эту плоскость не меняет своей формы и размеров, хотя и меняет положение. При этом если точка перемещается в плоскости, параллельной П₁, то ее фронтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной оси П₂/П₁. Если же точка перемещается в плоскости, параллельной П₂, то ее горизонтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной той же оси.

На рис. 107 показан комплексный чертеж прямой АВ. Прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Требуется с помощью плоскопараллельного перемещения задать ей такое положение, чтобы она была параллельна одной из плоскостей проекций, например П₂. Через произвольную точку А₁, проводим прямую l₁ параллельную оси П₂/П₁, и от этой точки на прямой откладываем отрезок, равный

А₁В₁. Из точки А₁проводим вертикальную линию связи, а из точки AT, — горизонтальную линию, на пересечении которых и будет новое положение фронтальной проекции А₂‘. Аналогично проведем вертикальную линию связи из точки В₁до пересечения с горизонтальной линией, проведенной из точки B₂. Новое положение фронтальной проекции точки В получим на пересечении этих линий в точке В₂‘.

После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой АВ стала параллельна плоскости П₂, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину.

Применяя метод плоскопараллельного перемещения, можно решать многие задачи, связанные с определением натуральной величины отрезков, углов, плоских фигур, а также заданием им нужного положения. Однако он связан с изменением положения геометрической фигуры в пространстве. В практике же встречаются задачи, при решении которых при преобразовании комплексного чертежа удобнее оставить положение проецирующего тела неизменным, а изменить положение плоскостей проекций.

Источник

Что такое способ плоского параллельного перемещения

Контрольные задания по теме: Рабочая тетрадь задача 50

Трудоемкость и точность графического решения задач часто зависит не только от сложности задач, но и от того, какое положение занимают геометрические фигуры по отношению к плоскостям проекций. Наиболее выгодными являются положения, параллельные плоскостям проекций или перпендикулярные им.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить двумя путями:

а) перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения;

б) выбором новой плоскости проекций, по отношению к которой фигура, не имеющая своего положения в пространстве, окажется в частном положении. Первый путь лежит в основе способа плоскопараллельного перемещения, а второй — в основе способа замены плоскостей проекций.

Существует несколько способов плоскопараллельного перемещения:

1. Способ параллельного перемещения. При этом плоскости, по которым двигаются точки фигуры, параллельны плоскости проекций. Траектория — произвольная плоская линия;

2. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций. Траектории перемещаемых точек — дуги окружностей, центры которых находятся на оси вращения;

3. Способ вращения вокруг оси параллельной плоскости проекций (вокруг линии уровня).

Это частный случай параллельного перемещения. За траекторию движения точки принимается не произвольная линия, а дуга окружности, центр которой находится на оси вращения, а радиус равен расстоянию между осью вращения и данной точкой.

При вращении точки вокруг оси перпендикулярной, П 2 , фронтальная проекция точки перемещается по окружности, а горизонтальная — по прямой, перпендикулярной оси вращения. Если же точка вращается вокруг оси, перпендикулярной П 1 , то в горизонтальной плоскости траекторией ее движения будет окружность, а во фронтальной – прямая, перпендикулярная оси вращения. На рисунке 32 показано построение новых проекций точек при помощи способа вращения. На рисунке 32 а – вращение вокруг фронтально-проецирующей оси, на рисунке 32 б – вокруг горизонтально-проецирующей оси.

Рисунок 32

Этим способом удобно находить натуральные величины отрезков и фигур, занимающих проецирующее положение.

На рисунке 33 показан пример определения натуральной величины треугольника АВС, плоскость которого перпендикулярна П 2 . За ось вращения необходимо взять фронтально-проецирующую прямую, проходящую через точку, принадлежащую этой плоскости. В данном случае выбрана точка А — вершина треугольника. Плоскость треугольника вращается во фронтальной плоскости вокруг оси до положения, параллельного горизонтальной плоскости. Во фронтальной плоскости точки С и В перемещаются по окружностям, радиус которых равен расстоянию от оси вращения до фронтальных проекций точек. В горизонтальной плоскости траектории движения точек – прямые, перпендикулярные оси. Полученная проекция треугольника А´В´С´, является его натуральной величиной.

Рисунок 33

Способ вращения наиболее часто применяется при определении натуральных величин сечений поверхностей плоскостями частного положения.

Сущность этого способа состоит в том, что положение фигуры в пространстве не меняется, а вводится новая система плоскостей проекций. Новая плоскость проекции выбирается перпендикулярно к одной из старых. При этом, проецируемая фигура по отношению к новой плоскости занимает частное положение, обеспечивая наиболее удобное решение задачи. Если замена одной плоскости не обеспечивает требуемый результат, то новую плоскость заменяют еще раз.

На рисунке 34 показано построение проекции точки А в новой системе плоскостей проекций при замене плоскости П 1 на П 4 . Плоскость П 4 перпендикулярна П 2 . Проекция точки А1 заменяется на А 4 . По линии связи откладывается расстояние от заменяемой проекции точки до новой оси.

Рисунок 34

На рисунке 35 дан пример определения натуральной величины отрезка общего положения. Новая плоскость П 4 выбирается параллельно одной из проекций отрезка. При этом проекция отрезка на эту плоскость будет являться его натуральной величиной.

Рисунок 35

В некоторых случаях требуется замена двух плоскостей проекции. Например, при определении расстояния от точки до прямой. При этом прямую необходимо спроецировать в точку. На рисунке 36 отрезок общего положения переведен в проецирующее положение по отношению к плоскости П₅.

Рисунок 36

1. Назовите, какие вы знаете способы преобразования чертежа. Для чего они применяются?

2. Какие задачи можно решать при помощи способа вращения вокруг проецирующей оси?

3. По каким линиям перемещаются проекции точки при вращении вокруг горизонтально проецирующей оси?

4. Можно ли определить натуральную величину фигуры общего положения способом вращения вокруг проецирующей оси?

5. В чем суть способа замены плоскостей проекций?

6. Как построить проекцию точки в новой системе плоскостей проекций? Этапы построения.

7. Сколько замен нужно осуществить, чтобы перевести отрезок общего положения в проецирующее положение?

8. Как нужно выбрать новую плоскость, для того, чтобы сделать плоскость общего положения проецирующей?

© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет

Источник