Что такое способ моментов статистика
нЕФПД НПНЕОФПЧ ЪБЛМАЮБЕФУС Ч УМЕДХАЭЕН: МАВПК НПНЕОФ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ (ОБРТЙНЕТ, -К) ЪБЧЙУЙФ, ЮБУФП ЖХОЛГЙПОБМШОП, ПФ РБТБНЕФТБ . оП ФПЗДБ Й РБТБНЕФТ НПЦЕФ ПЛБЪБФШУС ЖХОЛГЙЕК ПФ ФЕПТЕФЙЮЕУЛПЗП -ЗП НПНЕОФБ. рПДУФБЧЙЧ Ч ЬФХ ЖХОЛГЙА ЧНЕУФП ОЕЙЪЧЕУФОПЗП ФЕПТЕФЙЮЕУЛПЗП -ЗП НПНЕОФБ ЕЗП ЧЩВПТПЮОЩК БОБМПЗ, РПМХЮЙН ЧНЕУФП РБТБНЕФТБ ПГЕОЛХ . рХУФШ , , ЧЩВПТЛБ ПВЯЕНБ ЙЪ РБТБНЕФТЙЮЕУЛПЗП УЕНЕКУФЧБ ТБУРТЕДЕМЕОЙК , ЗДЕ . чЩВЕТЕН ОЕЛПФПТХА ЖХОЛГЙА ФБЛ, ЮФПВЩ УХЭЕУФЧПЧБМ НПНЕОФ
Й ЖХОЛГЙС ВЩМБ ПВТБФЙНБ Ч ПВМБУФЙ . фПЗДБ Ч ЛБЮЕУФЧЕ ПГЕОЛЙ ДМС ЧПЪШНЕН ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС
йМЙ (ЮФП ФП ЦЕ УБНПЕ), УОБЮБМБ ТЕЫБЕН ХТБЧОЕОЙЕ (3) ПФОПУЙФЕМШОП , Б ЪБФЕН ЧНЕУФП ЙУФЙООПЗП НПНЕОФБ ВЕТЕН ЧЩВПТПЮОЩК :
юБЭЕ ЧУЕЗП Ч ЛБЮЕУФЧЕ ЖХОЛГЙЙ ВЕТХФ . ч ЬФПН УМХЮБЕ
Й, ЕУМЙ ЖХОЛГЙС ПВТБФЙНБ Ч ПВМБУФЙ , ФП
нПЦОП УЛБЪБФШ, ЮФП НЩ ВЕТЕН Ч ЛБЮЕУФЧЕ ПГЕОЛЙ ФБЛПЕ (УМХЮБКОПЕ) ЪОБЮЕОЙЕ РБТБНЕФТБ , РТЙ ЛПФПТПН ЙУФЙООЩК НПНЕОФ УПЧРБДБЕФ У ЧЩВПТПЮОЩН.
рХУФШ , , ЧЩВПТЛБ ПВЯЕНБ ЙЪ ТБЧОПНЕТОПЗП ОБ ПФТЕЪЛЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙС , ЗДЕ . оБКДЕН ПГЕОЛХ НЕФПДБ НПНЕОФПЧ (пнн) РП РЕТЧПНХ НПНЕОФХ:
оБКДЕН ПГЕОЛХ НЕФПДБ НПНЕОФПЧ (пнн) РП -НХ НПНЕОФХ:
рХУФШ , , ЧЩВПТЛБ ПВЯЕНБ ЙЪ ТБУРТЕДЕМЕОЙС рХБУУПОБ У ОЕЙЪЧЕУФОЩН РБТБНЕФТПН . чЧЕДЕН ОПЧЩК РБТБНЕФТ
Й ОБКДЕН ПГЕОЛХ НЕФПДБ НПНЕОФПЧ ДМС У РПНПЭША ЖХОЛГЙЙ :
ъБНЕФЙН, ЮФП ПГЕОЛХ ДМС РБТБНЕФТБ У РПНПЭША ЖХОЛГЙЙ ОБКФЙ ОЕМШЪС: ЖХОЛГЙС ОЕ СЧМСЕФУС ЧЪБЙНОП-ПДОПЪОБЮОПК Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, ПВТБФЙНПК РП Ч ПВМБУФЙ . пГЕОЛХ ДМС РБТБНЕФТБ ТБЪХНОП ОБИПДЙФШ РП РЕТЧПНХ НПНЕОФХ: , Й ПГЕОЛБ НЕФПДБ НПНЕОФПЧ.
нПЦЕФ УМХЮЙФШУС ФБЛ, ЮФП , ФПЗДБ ЛБЛ . ч ЬФПН УМХЮБЕ ПГЕОЛХ ЛПТТЕЛФЙТХАФ. оБРТЙНЕТ, Ч ЛБЮЕУФЧЕ пнн ВЕТХФ ВМЙЦБКЫХА Л ФПЮЛХ ЙЪ ЙМЙ ЙЪ ЪБНЩЛБОЙС .
рХУФШ , , ЧЩВПТЛБ ПВЯЕНБ ЙЪ ОПТНБМШОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС У ОЕПФТЙГБФЕМШОЩН УТЕДОЙН . йЭЕН ПГЕОЛХ ДМС РП РЕТЧПНХ НПНЕОФХ:
пДОБЛП РП ХУМПЧЙА , ФПЗДБ ЛБЛ НПЦЕФ ВЩФШ Й ПФТЙГБФЕМШОП. еУМЙ , ФП Ч ЛБЮЕУФЧЕ ПГЕОЛЙ ДМС ВПМЕЕ РПДПКДЕФ 0. еУМЙ ЦЕ , Ч ЛБЮЕУФЧЕ ПГЕОЛЙ ОХЦОП ВТБФШ . йФПЗП: «ЙУРТБЧМЕООБС» ПГЕОЛБ НЕФПДБ НПНЕОФПЧ.
Источник
Метод моментов
Содержание:
- Примеры с решением
| Метод моментов |
Метод моментов, предложенный английским статистиком Карлом Пирсоном в 1894 г., заключается в приравнивании определенного числа выборочных моментов к соответствующим теоретическим, которые являются функциями неизвестных параметров 
Рассматривая количество моментов, равное числу к неизвестных параметров, подлежащих определению, и решая полученные уравнения относительно этих параметров, получаем искомые оценки. Иначе говоря, оценки параметров 
являются решениями систем уравнений 
или 
, для некоторых 
Метод моментов содержит неопределенность, поскольку можно получить уравнения для неизвестных параметров 
, используя как начальные, так и центральные моменты, а также некоторые их модификации типа асимметрии или эксцесса.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:
Пример:
Функция
задает плотность распределения Рэлея (см. § 6.4). Требуется оценить параметр 
по выборке 
Найдем оценку параметра 0, приравнивая начальные выборочные и теоретические моменты. Первый начальный момент
имеет вид: 
Приравнивая, получаем первую оценку параметра: 
Приравнивая вторые начальные моменты, можем получить другую оценку: 
из уравнения, которое получитсяся при использовании второго центрального момента (дисперсии), — третью оценку: 
- Часто полагают, что для нахождения оценки одного параметра следует брать первый момент, для двух — первые два момента и т.п. По возможности действительно имеет смысл поступать так, поскольку это проще всего. Однако такой подход годится не всегда. Он не проходит, например, если некоторые моменты равны нулю или не зависят от нужных параметров.
В общем случае система уравнений для моментов может не иметь решения в элементарных функциях (и тогда можно искать решение приближенными методами) или вообще оказаться неразрешимой (несовместной).
Оценки, полученные методом моментов, часто оказываются смешенными. К достоинствам метода моментов следует отнести его простую вычислительную реализацию, а также то, что оценки являются функциями от выборочных моментов.
В силу теоремы Слуцкого любая непрерывная функция от выборочных моментов функции сходится по вероятности к постоянной, получаемой подстановкой в эту функцию теоретических моментов, если они существуют и если получаемая таким образом постоянная конечна. Для определенности рассмотрим функцию 
от двух моментов (начальных или центральных), хотя ее можно обобщить на любое конечное число аргументов, в том числе и на случай, когда Н зависит только от одного аргумента.
Теорема 1. (Крамера). Пусть в некоторой окрестности точки 
функция 
непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка:
Тогда для любой выборки, по которой найдены оценки 
, случайная величина 
асимптотически нормальна при 
следующими параметрами:
Иногда оценки, получаемые с помощью метода моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которому можно построить другими методами оценки более высокого качества.
Оценки метода моментов используются также, когда существует необходимость оценить не сами параметры распределения (которые часто представляют собой некие абстракции), а определенные практически значимые показатели, зависящие от этих параметров функционально: 
. Самый простой (хотя и не самый точный) способ такого оценивания — подставить полученные оценки в соответствующую функцию: 
Если распределение определяется одним параметром, то для построения оценки один теоретический момент приравнивают к одному эмпирическому моменту того же порядка (обычно первого).
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Источник
Решения задач методом моментов
Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом наибольшего правдоподобия используют метод моментов.
Суть метода: выразить числовые параметры теоретического распределения через моменты распределения, оценненные по выборки. Число моментов должно соответствовать числу неизвестных параметров распределения (чаще всего используют первые два момента). После вычисления приравниваем теоретические и выборочные моменты друг к другу и выражаем оценки параметров.
Данный метод прост в в реализации, дает неплохие оценки и удобен для отработки навыков. Про свойства оценок: состоятельность оценок выполняется при непрерывной зависимости от параметра, асимптотическая эффективность оценок, полученных по ММП всегда лучше чем у ММ, оценки по ММ чаще всего смещенные (требуется проверка).
Примеры нахождения оценок по методу моментов для разных распределений вы найдете ниже. Удачи!
Примеры решений
Пример 1. Число семян сорняков в пробах зерна подчинено закону Пуассона. Имеется выборка проб зерна. Результаты записаны в таблице Т1. Найти параметр $\lambda$ по выборке методом моментов.
Пример 2. При условии равномерного распределения случайной величины $Х$ произведена выборка
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти оценку параметров $a$ и $b$ по методу моментов.
Пример 3. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, . x_n$ точечную оценку параметра $p$ биномиального распределения $P_m(x_i)=C_
Пример 4. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, . x_n$ точечные оценки неизвестных параметров $a$ и $\sigma$ нормального распределения.
Пример 5. Пусть случайная величина $\xi$ имеет плотность $p(x)=1/(b-a)$, если $x\in(a;b)$, и $p(x)=0$, иначе. Произведена выборка. Используя метод моментов, найти $a$ и $b$.
Теория по методу моментов
Хотите немного больше знать о теоретических основах метода моментов для чайников? Материалов в интернете к сожалению не так много, подойдут классические учебники по математической статистике и конечно же лекция Черновой Н. по методу моментов с теоретическими основами и примерами решений.
Источник
Способ моментов
Применяя этот способ, среднюю арифметическую рассчитывают по формуле: 
Эта формула технически упрощает расчеты, особенно в тех случаях, когда варианты состоят из многозначных чисел, а совокупность — из большого числа наблюдений.
Например: Методика расчета средней арифметической величины по способу моментов Таблица 8.
| V кг | p | а | а ×р |
| 64 | 2 | +2 | +4 |
| 63 | 3 | +1 | +3 |
| 62 | 9 | 0 | 0 |
| 61 | 6 | -1 | -6 |
| 60 | 4 | -2 | -8 |
| 59 | 1 | -3 | -3 |
| n =25 | Sа × р = -10 кг |
Этапы расчета М по способу моментов:
1) за условную среднюю Ао рекомендуется принять варианту, чаще других повторяющуюся в вариационном ряду. В нашем примере: Ао = М = 62 кг., так как 62 кг было у 9 юношей из 25;
2) определяем а — условное отклонение от условной средней. Для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю а = (V — Ао).
В нашем примере: а = 64 — 62 = + 2 и т. д.;
3) умножаем условное отклонение (а) на частоту (р) каждой варианты и получаем произведения
(а × р).
В нашем примере: 2 ×(+2) = 4 и т.д.
4) получаем сумму S а × р
В нашем примере: — 10кг;
5) определяем интервал между группами вариант ( I)
В нашем примере: i = 1 кг;
6) момент первой степени 
В нашем примере: -10 кг / 25× 1 = — 0,4
7)рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:
В нашем примере: М = 62 кг – 0,4 = 61,6 кг
Есливариационный ряд предварительно был сгруппирован, то в качестве ряда(V)используются середины групп.
Средняя арифметическая величина обладает тремя свойствами.
1. Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду: М = Мо = Ме.
2. Средняя является обобщающей величиной и за ней не видны колебания, различия индивидуальных данных.
3. Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю. Sd = S (V-M) = 0
Величина того или иного признака неодинакова у всех членов совокупности, несмотря на ее относительную однородность.
Наиболее полную характеристику разнообразию признака в совокупности дает так называемое среднее квадратическое отклонение, обозначаемое греческой буквой «сигма» — s.
Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу: s = 
где d— истинное отклонение вариант от истинной средней (V-М). Эта формула используется при небольшом числе наблюдений (n 1 используют формулу такого вида:
s = 
;
При Р>1 и N>30 — s = 
Следующая формула предназначена для определения s по способу моментов: s =i× 
где а — условное отклонение вариант от условной средней: а =V — А; Sa 2 ×p/n момент второй степени, а (Sa×p/n) 2 — момент первой степени, возведённый в квадрат. Этот способ применяется в тех случаях, когда нет вычислительной техники, а вариационный ряд громоздкий как за счет большого числа наблюдений, так и за счет вариант, выраженных многозначными числами. При числе наблюдений, равном 30 и менее, в моменте второй степени n заменяют на (n-1).
Например: Расчет среднего квадратического отклонения по среднеарифметическому способу. Таблица 9.
| Рост мальчиков 12 лет. | Число детей (р) | V • Р | d | d 2 | d 2 × Р |
| 155 | 1 | 155 | +2 | 4 | 4 |
| 154 | 4 | 616 | +1 | 1 | 4 |
| 153 | 6 | 918 | 0 | 0 | 0 |
| 152 | 4 | 608 | —1 | 1 | 4 |
| 151 | 1 | 151 | —2 | 4 | 4 |
| М = 153 | n = 16 | SV ×p = 1448 | S d 2 × Р = 16 |
Последовательность расчета s.
1.Определить М (по среднеарифметическому способу). 
В нашем примере: 
= 153см.
2.Найти истинное отклонение d =(V-M).
В нашем примере:155-153=+2; 154-153= +1 и т.д.
3.Возвести каждое отклонение в квадрат d 2.
4.Найти произведение (d 2 × р) по всем строкам ряда.
5.Определить сумму (S d 2 ×р).
В нашем примере: 4+4+0+4+4=16
6.Рассчитать s по формуле: 
В нашем примере: Ö16/16-1 =1,05 см. 
=1,05
Например: Расчет среднего квадратического отклоненияпо способу моментов Таблица 10.
| Рост, см (V) | Число детей (р) | а | а×р а×р | a 2 ×р |
| 155 | 1 | +2 | 2 | 4 |
| 154 | 4 | + 1 | 4 | 4 |
| 153 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 152 | 4 | -1 | -4 | 4 |
| 151 | 1 | -2 | -2 | 4 |
| n = 16 | Sар = 0 | Sa 2 ×р = 16 |
Последовательность расчета s по способу моментов.
1.Найти условную среднюю А
В нашем примере: А =153 cм.
2.Определить условное отклонение (а) каждой варианты от условной средней: а =V — А.
3.Получить произведения а × р, а затем их просуммировать.
В нашем примере: =0.
4.Рассчитать истинную среднюю арифметическую по формуле
=153 см, так как сумма отклонений равна 0, то поэтому М=А.
5.Получить произведения а 2 ×p по всем строкам вариационного ряда и просуммировать их.
В нашем примере:Sa 2 ×p =16.
6. Рассчитать по способу моментов по формуле: s =i× 
В нашем примере:s =1× 
= 1,05
Ошибка репрезентативности (m) является важнейшей статистической величиной, необходимой для оценки достоверности результатов исследования. Эта ошибка возникает в тех случаях, когда требуется по части охарактеризовать явление в целом. Эти ошибки неизбежны. Они проистекают из сущности выборочного исследования: генеральная совокупность может быть охарактеризована по выборочной совокупности только с некоторой погрешностью, измеряемой ошибкой репрезентативности.
По величине ошибки репрезентативности определяют, насколько результаты, полученные при выборочном наблюдении, отличаются от результатов, которые могли бы быть получены при проведении сплошного исследования всех без исключения элементов генеральной совокупности.
Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине, т. е. к величине допустимой погрешности. Делается это путем привлечения в выборку достаточного количества наблюдений (n):
· 
– для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться относительные величины.
· 
– для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться средние величины.
p– вероятность наступления явления (выбирается по данным аналогичных исследований)
q— вероятность не наступления явления, q =100-p
t— доверительный критерий – таблица 11.
D— предельная ошибка, вытекает из таблицы 6, исходя из выбранного t.
| Степень безошибочного прогноза (Р) | Доверительный критерий (t) | Предельная ошибка (D) |
| 68% | — | |
| 95% | 5% | |
| 99% | 1% |
Если аналогичных исследований нет, то p и q принимаются как 50% на 50%.
Ошибки репрезентативности рассчитываются по следующим формулам:
· 
– для относительных величин;
· 
– для средних величин.
В медицине и здравоохранении по разности параметров оценивают средние и относительные величины, полученные для разных групп населения по полу, возрасту, а также групп больных и здоровых и т. д. Во всех случаях при сопоставлении двух сравниваемых величин возникает необходимость не только определить их разность, но и оценить ее достоверность. Достоверность разности величин, полученных при выборочных исследованиях, означает, что вывод об их различии может быть перенесен на соответствующие генеральные совокупности. Достоверность различия сравниваемых величин измеряется доверительным критерием (критерием точности t), который рассчитывается по специальным формулам для средних и относительных величин.
Формула оценки достоверности разности сравниваемых величин такова:
· 
— для средних величин;
· 
— для относительных величин.
Разность величин считается достоверной при значениях, равных или больших 2. Р1 всегда выбирается больше, чем Р2.
Например: При изучении влияния анаболических гормонов при инфаркте миокарда на белковый обмен были получены следующие данные: общий белок до лечения (Р) составил 7,14% (m-±0,17%), после лечения (Р) 8,04% (m-±0,12%).
1. Определяем большую величину как Р1, а меньшую как Р2.
2.Возводим ошибки репрезентативности в квадраты:
В нашем примере: 0,17 2 =0,0289;0,12 2 = 0,0144.
3.Складываем квадраты и извлекаем квадратный корень.
В нашем примере: Ö0,0289+0,0144=Ö0,0433 = 0,2.
4.Находим разность сравниваемых величин и делим на знаменатель.
В нашем примере:8,04-7,14=0,9/0,2=4,5.
В нашем примере: 4,5>2, значит разность величин достоверна, т.е, анаболические гормоны действительно увеличивают уровень общего белка.
Источник
