Что такое способ фалеса

Практическая интерпретация геометрического знания. Задача Фалеса Милетского

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Дата публикации: 12.05.2019 2019-05-12

Статья просмотрена: 434 раза

Библиографическое описание:

Практическая интерпретация геометрического знания. Задача Фалеса Милетского / Д. А. Красюк, Т. Н. Хлыстов, И. В. Пензина [и др.]. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2019. — № 6 (26). — С. 42-47. — URL: https://moluch.ru/young/archive/26/1553/ (дата обращения: 23.11.2021).

Красюк Данила Андреевич, учащийся 8 класса;

Хлыстов Тимофей Николаевич, учащийся 8 класса;

Научный руководитель: Пензина Ирина Владимировна, учитель математики;

Научный руководитель: Шонин Максим Юрьевич, учитель математики;

Научный руководитель: Бекмухометова Светлана Александровна, директор;

Научный руководитель: Бакитжанов Артур Сакенович, учитель информатики;

Научный руководитель: Власова Светлана Николаевна, учитель русского языка и литературы;

Научный руководитель: Дегтярева Екатерина Владимировна, учитель математики

МОУ Петропавловская СОШ (Челябинская обл.)>>>

Геометрия возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. С древних времен люди сталкивались с необходимостью находить расстояния между предметами, определять размеры участков земли, ориентироваться по расположению звезд на небе и т. п.

Данная статья посвящена решению задачи оптимального измерения высоты здания. Отметим, что для вычисления высот, глубин, расстояний или других замеров реальных объектов не всегда можно их измерить — во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, а то и вообще практически невозможны. Однако существуют другие способы измерений, не связанные с непосредственными замерами.

1. Постановка задачи: Определить высоту стены здания МОУ «Петропавловская СОШ» методами Фалеса, Жуль Верна, измерения с помощью зеркала (лужи), измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника, измерения высоты с помощью фотографии, с помощью воздушного шарика, карандаша.

Для этого нам нужно было изучить все эти методы и применить их при выполнении заданной задачи. Рассмотрим методы более детально.

1. Метод Фалеса

Поскольку лучи солнца можно считать практически параллельными, то тень от дерева во столько же раз длиннее тени от какого-либо шеста, во сколько раз дерево выше шеста. Поэтому, установив вертикально шест известной высоты и измерив, отношение длины тени от дерева к длине тени от шеста, мы вычислим искомую (примерную) высоту дерева. Так Фалес измерил высоту пирамиды [1].

Применив метод Фалеса при измерении высоты школы, тень стены — 1675 см., тень ученика — 249 см, рост ученика — 179 см (рисунок 1). Используя формулу Фалеса, рассчитаем высоту школы. Получили 1204 см.

Рис. 1. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод Фалеса

2. Метод Жюля Верна

При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который был описан в книге Жюль Верна «Таинственный остров».

С этой целью необходимо вбить в землю шест, лечь на землю так, чтобы было видно верхний конец шеста и верхушку измеряемого предмета. Измерить расстояние от шеста до предмета, измерить высоту шеста и расстояние от макушки человека до основания шеста.

Применяя метод Жуля Верна, выяснили, что расстояние от макушки ученика до школы равно 1226 см., высота шеста — 130 см. и расстояние от макушки ученика до шеста — 126 см (рисунок 2). Исходя из этого, выяснили, что высота школы равна 1265 см.

Рис. 2. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод Жюля Верна

3. Метод измерения с помощью зеркала (лужи)

Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляются лужи. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершина предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас. Вместо лужицы можно пользоваться положенным горизонтально зеркальцем.

Рис. 3. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью зеркала (лужи)

Применяя метод зеркала, получили, что расстояние от школы до зеркала равно 1280 см., высота ученика до уровня глаз равно 168 см., расстояние от ученика до зеркала равно 170 см (рисунок 3). Отсюда получаем, что высота школы равна 1264 см.

4. Метод измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника

Можно обойтись при измерении высоты и без тени, воспользовавшись свойством равнобедренного прямоугольного треугольника. Для этого требуется изготовить один простой прибор из дощечки и трех гвоздей:

1. На доске любой формы намечают три точки — вершины равнобедренного прямоугольного треугольника;
2. В эти вершины втыкается по гвоздику;
3. К верхнему гвоздику привязывается ниточка с грузом.

Приближаясь к дереву или отдаляясь от него, найдите место, из которого, глядя на гвоздики, увидите верхушку дерева. При этом

Рис. 4. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника

Используя демонстрационный школьный равнобедренный прямоугольный треугольник, получили следующие данные: расстояние от глаз ученика до стен школы — 1074 см., рост ученика до уровня глаз — 159 см (рисунок 4). Отсюда получаем, высоту школы — 1233 см.

1. Метод измерения высоты спомощью фотографии

Для этого необходимо встать возле объекта, сфотографироваться, распечатать фото, измерить свой рост и высоту объекта на фотографии, и с помощью пропорции рассчитать реальную высоту объекта:

, где и — размеры соответственно объекта и роста человека на готовой фотографии (рисунок 5).

Рис. 5. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения высоты с помощью фотографии

Используя метод фотографии, находим отношение высоты школы к росту человека — 1214 см.

6. Метод измерения с помощью воздушного шарика

Данный метод заключается в сравнении высоты объекта с длиной нити, привязанной к воздушному шарику, наполненному гелием.

Рис. 6. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью воздушного шарика

В результате этого эксперимента длина нити, привязанная к шарику, составила 1242 см (рисунок 6).

1. Метод измерения спомощью карандаша

Данным способом пользуются скауты.

Рис. 7. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью карандаша

Построение прямоугольного треугольника на уровне глаз, одним из катетов которого является карандаш. При повороте карандаша на 90 градусов, один ученик совмещает грифель карандаша с подходящим к нему напарником до тех пор, пока грифель карандаша не совместиться с его макушкой и расстояние от школы до напарника и есть искомая высота школы (рисунок 7).

II.Статистическая обработка результатов экспериментов

В результате проведенной работы были получены следующие результаты (таблица 1).

Сводная таблица результатов экспериментов

Источник

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем по геометрии 8 класса – теорему Фалеса, которая получила такое название в честь греческого математика и философа Фалеса Милетского. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Формулировка теоремы

Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то пересекая вторую прямую они отсекут на ней равные между собой отрезки.

Примечание: Взаимное пересечение секущих не играет роли, т.е. теорема верна и для пересекающихся прямых, и для параллельных. Расположение отрезков на секущих, также, не важно.

Обобщенная формулировка

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

В соответствии с этим для нашего чертежа выше справедливо следующее равенство:

* т.к. равные отрезки, в т.ч., являются пропорциональными с коэффициентом пропорциональности, равным единице.

Обратная теорема Фалеса

1. Для пересекающихся секущих

Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и отсекают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная от вершины, значит эти прямые являются параллельными.

Из обратной теоремы следует:

Обязательное условие: равные отрезки должны начинаться от вершины.

2. Для параллельных секущих

Отрезки на обеих секущих должны быть равны между собой. Только в этом случае теорема применима.

Пример задачи

Дан отрезок AB на плоскости. Разделите его на 3 равные части.

Решение

Проведем из точки A прямую a и отметим на ней три подряд идущих равных отрезка: AC, CD и DE.

Крайнюю точку E на прямой a соединяем с точкой B на отрезке. После этого через оставшиеся точки C и D параллельно BE проведем две прямые, пересекающие отрезок AB.

Образованные таким образом точки пересечения на отрезке AB делят его на три части, равные между собой (согласно теореме Фалеса).

Источник

Родоначальник античной науки Фалес Милетский и его теоремы

Считается, что изучение геометрии было начато в древности при решении практических задач. Постепенно, в связи с потребностями людей обобщать, доказывать, отыскивать зависимости, устанавливать логические связи, создавалась геометрическая наука. Наибольшее развитие она получила в Древней Греции, т. к. там был достигнут высокий уровень культурной и общественно – политической жизни.

Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой, по имени Евклида, создавшего руководство из 11 книг по математике под названием «Начала». Однако изложенные в них сведения не могли принадлежать одному человеку. Они были накоплены тысячелетиями многими учёными.

Первым известным учёным геометром считают Фалеса Милетского, родившегося в середине 6 века до нашей эры и прожившего долгую яркую жизнь. Моя работа посвящена изучению исторических сведений о жизни и творческом пути учёного. Я хочу ответить на вопросы: почему Фалеса Милетского называют одним из семи мудрецов древности, как он повлиял на развитие различных наук, каков его вклад в развитие геометрии, где и как можно применить его открытия? Я докажу теоремы Фалеса, более глубоко изучу обобщения, связанные с пропорциональностью отрезков. Тем более, на уроках геометрии этой теме отводится немного времени, решается довольно узкий круг задач, что не даёт возможности разобрать и применять на практике её детально. При написании работы я рассмотрю вопросы, выходящие за рамки школьной программы, тем самым углублю свои знания. Это будет способствовать расширению моего кругозора, умению оперировать фактами, выбирать информацию из различных источников, что очень актуально в наше время. Я заинтересован в разработке данного исследования ещё и потому, что хочу создать полезное пособие – презентацию в Power Point, которое можно будет использовать на уроках при изучении т. Фалеса с целью повышения интереса у одноклассников к геометрии. Для каждой теоремы, высказанной в форме «если. то. », можно сформулировать ей обратную теорему, в которой условие является заключением, а заключение — условием. На уроках мы изучали теорему Пифагора, теорему Виета и обратные к ним, а на высказывание, обратное теореме Фалеса, не обратили внимание. В своей работе я хочу решить эту проблему, ответить на вопрос: верна ли теорема, обратная к теореме Фалеса, какое практическое значение она имеет? В ходе исследования я буду пользоваться различными методами: изучать теоретические сведения, анализировать и сравнивать информацию из различных источников. Целью моей работы является:

• изучение творческого пути учёного, особенно в части, касающейся доказательства теоремы, носящей имя Фалеса;

• углубление знаний по теме и применение их на практике;

• создание пособия в виде презентации для использования на уроках геометрии.

В ходе своей работы я решу следующие задачи:

• изучу и проанализирую литературу по данной теме;

• познакомлюсь с биографией учёного, с его вкладом в развитие науки;

• подчеркну значимость теоремы Фалеса для изучения геометрии.

Объектом исследования будет являться деятельность первого учёного — геометра Фалеса Милетского, предметом – его теоремы и обобщения.

Мы знаем, что с помощью теоремы Фалеса можно делить отрезок на п равных частей, проводя через точки деления параллельные прямые. В таком случае можно выдвинуть гипотезу: если окажется верным высказывание, обратное теореме Фалеса, то к известным на практике способам построения параллельных прямых с помощью линейки и треугольника, можно добавить ещё один с помощью циркуля и линейки. Построив две произвольные прямые и, отложив на них равные между собой отрезки, можно утверждать, что прямые, соединяющие точки деления будут параллельны.

2. Родоначальник античной науки

Для того, чтобы ответить на поставленные вопросы, начну последовательно излагать материал. Итак, в шестом веке до нашей эры произошел решительный поворот в развитии науки. И связан он с именем Фалеса, уроженца города Милета. Как рассказывают древние историки, это был красивый многолюдный и шумный город купцов, торговцев, ремесленников, мореплавателей. Жемчужиной Эллады называли его греки. В четырёх гаванях города встречались корабли, приплывшие из Сирии, Финикии, Египта, Крита. Сюда привлекали гостей не только красоты города, но и тончайшая шерсть милетских овец, славившаяся повсюду, великолепные сорта роз, из которых изготавливали драгоценное розовое масло. Окрестности города утопали в густых оливковых садах. Тесная зависимость жизненного успеха людей от решения различного рода вопросов привела к тому, что Милет стал колыбелью античной науки. В этом городе, по мнению некоторых историков, родился основатель античной школы Фалес.

Из биографии Фалеса

Достоверно известно только то, что Фалес был знатного рода, и получил на родине хорошее образование. Собственно милетское происхождение Фалеса ставится под сомнение; сообщают, что его род имел финикийские корни, и, по мнению других историков, в Милете он был пришельцем. Он имел титул одного из семи мудрецов Греции и был поистине первым философом, первым математиком, первым астрономом в Греции.

Несмотря на огромное значение, которое имеет его имя, о нем известно мало. Относительно времени жизни Фалеса существует несколько версий. Авторы первой версии утверждают, что он родился в период с 39-й по 35-ю олимпиаду, а умер в 58-ю в возрасте 78 или 76 лет, то есть приблизительно с 624 по 548 до н. э. Другие источники сообщают, что Фалес был известен уже в 7-ю олимпиаду (752—749 до н. э. ); но в целом время жизни его сводится на период с 640—624 по 548—545 до н. э. , т. е. умереть Фалес мог в возрасте от 76 до 95 лет. Одни историки утверждают, что Фалес жил в одиночестве и сторонился государственных дел; другие — что был женат, имел сына Кибиста; третьи — что, оставаясь холостяком, усыновил сына сестры.

Будучи купцом, он использовал торговые поездки в целях расширения научных сведений, и знания, которые он приобрел в Финикии и Египте, перенес в Грецию. Фалес тратил свои сбережения и жил небогато. Он учил, что человеку нужна мудрость, а не деньги и был едва ли не единственным во всей Древней Греции человеком, служившим науке без преследования каких-нибудь практических целей. Его жизнь в Милете, посвящённая исключительно изучению природы и занятиям астрономией, не вызывала уважения у жителей, которые занимались в основном торговлей. Они считали, что умный человек должен отдавать свой труд и время только занятиям, приносящим прибыль, насмехались над ним. Рассказывают, что однажды ночью Фалес шел, не глядя себе под ноги, и рассматривал звездное небо. Он споткнулся и упал в яму. Люди стали над ним смеяться, а одна женщина сказала:

— Что ж, мудрец, хочешь познать то, что на небесах, а не видишь даже того, что у тебя под ногами?

Эта фраза стала знаменитой. Ответил на нее другой знаменитый философ — Гегель уже в ХIХ веке.

– Те, что смеются над философами, никогда не упадут в яму, — сказал он. – Ведь они уже лежат на самом ее дне.

Открытия учёного

Два случая не только подняли Фалеса во мнении его сограждан, но и заставили их признать его первым мудрецом во всей Греции. Сведения о первом случае сообщает Аристотель. Однажды уже с самого начала весны Фалес предвидел, что предстоит богатый сбор маслин. С целью доказать своим согражданам, что и из его занятий могут быть извлечены денежные выгоды, он заблаговременно скупил по низкой цене как в Милете, так и в Хиосе все свободные прессы для выделки масла. Когда его предвидение оправдалось и вследствие громадного урожая маслин потребовалось большое количество прессов, он продал их по очень высокой цене и таким образом получил значительную выгоду.

Вторым случаем, распространившим славу Фалеса на всю Грецию, было сделанное им всенародно в Милете предсказание о предстоявшем в 585 г. (28 мая) полном солнечном затмении, граница которого, как показывают новейшие астрономические вычисления, только несколькими милями проходила севернее Милета. Для этого предсказания Фалес использовал почерпнутые им в Египте астрономические сведения, восходящие к наблюдениям и обобщениям вавилонской науки. (Именно это событие помогло историкам установить довольно точно время его жизни). После этого Фалес приобрёл заметное влияние и на политическую жизнь своего родного города.

Ему же приписывают такие астрономические открытия, как объяснение причины солнечных затмений, установление времени солнцестояний и равноденствий, определение длины года в 365 дней; считается, что Фалес изобрёл глобус, «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент, заметив, что Полярная звезда находится под одним и тем же углом над горизонтом.

На протяжении всей жизни его интересовали два тесно связанных между собой вопроса, а именно: из чего всё произошло и что составляет принцип и сущность всего? Фалес отвечал на эти вопросы следующим образом: вода есть сущность всего, из воды всё произошло и в воду все вновь возвращается. В пользу этого мнения он приводил три довода:

• во-первых, семя всех живых существ есть нечто обладающее влажностью;

• во-вторых, все растения питаются влагой и, благодаря ей, приносят плоды; лишённые же влаги растения засыхают;

• в-третьих, даже огонь солнца и светил питается испарениями воды.

По мнению Фалеса, Вселенная представляет собой жидкую массу, в середине которой находится воздушное тело, имеющее форму чаши, повёрнутой открытой стороной вниз. Вогнутая поверхность этой чаши — небо; на нижней поверхности, в центре её, плавает диск, обтекаемый водой. «Вода – изначальный элемент, её осадок – земля, её пары – воздух и огонь», — считал Фалес. Таким образом, он явился родоначальником греческой стихийной материалистической философии.

Предание рисует Фалеса не только собственно философом и учёным, но также «тонким дипломатом и мудрым политиком»; Фалес пытался сплотить города Ионии в оборонительный союз против Персии. Сообщается, что Фалес был близким другом милетского тирана Фрасибула; был связан с храмом Аполлона Дидимского, покровителя морской колонизации.

Фалес нашёл способ определять расстояние от берега до видимого корабля,

По легенде, эта теорема была сформулирована в несохранившейся «Морской астрономии» Фалеса.

Столь же остроумно предложил он измерять высоту предметов. Став недалеко от предмета, надо дождаться, пока тень от человека не станет равной его росту. Измерив длину тени предмета, можно заключить, что она равна высоте предмета. Считают, что таким способом Фалес измерил высоту египетских пирамид.

Более всего Фалес известен тем, что ввел в геометрию доказательства. Многие математические правила были открыты намного раньше, но опытным путём. Фалес начал строить геометрию на логических основаниях, постепенно переходя при помощи доказательств от одного положения к другому. Ему принадлежит только начало этой системы, но ее продолжение оказалось настолько грандиозным, что можно говорить о нем как о родоначальнике науки. Кроме того, Фалесу приписывают доказательство таких теорем:

• Вертикальные углы равны

• Окружность диаметром делится пополам

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны

• Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой

• Треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны

Трудно сказать, что в научном перечне принадлежит именно ему, однако до сих пор мы изучаем теоремы, носящие его имя.

Теорема Фалеса

Формулировка теоремы:

Две пары параллельных прямых, отсекающие на одной секущей равные отрезки, отсекают на любой другой секущей также равные отрезки.

1) Проведём отрезки А1M и A2C, параллельные прямой b.

2) Треугольники А1ОA2 и A2CA3 равны по второму признаку равенства треугольников (А1А2=А2А3;угол A2А1О равен углу A3A2C; угол А1A2О равен углу A2A3C).

3) Из равенства треугольников следует, что A1О= А2С, а т. к. А2С=OM, то A1O=ОМ; A1O =B1B2, OM = B2B3, следовательно B1B2=B2B3.

Также неважно, где находятся отрезки на секущих. Рассмотрим вариант с

Также неважно, где находятся отрезки на секущих. Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков, который не рассматривается в школьной программе: пусть угол пересекают прямые AA1 BB1 CC1 DD1 и при этом AB = CD.

Доказательство в случае секущих

1) Дополнительные построения: проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB2B1A1 и CD2D1C1. Согласно свойству параллелограмма: AB2 = A1B1 и CD2 = C1D1.

2) Рассмотрим треугольники АВ2В и СD2D:

AB = CD согласно условию теоремы.

Углы ВАВ2 и DCD2 равны как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных АВ2 и СD2 прямой АD.

Углы АВВ2 и СDD2 DCD2 равны как соответственные, образовавшиеся при пересечении

BB1 и DD1 прямой АD, следовательно треугольники АВ2В и СD2D равны на основании второго признака равенства треугольников.

3)A1B1 = C1D1 как соответственные элементы в равных треугольниках АВ2В и СD2D.

Обобщённая теорема Фалеса

Также существует обобщённая теорема Фалеса:

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

1) Треугольники ОA1A2 и A2A3N подобны по второму признаку.

Составим пропорцию: A1A2 : A2A3=A1O : A2N

A1O=B1B2, A2N=B2B3, следовательно: A1A2 : A2A3= B1B2 : B2B3.

Из свойства пропорции имеем: A1A2 : B1B2=A2A3 : B2B3

2) Аналогично доказывается, что A1A2 : B1B2=A1A3 : B1B3

3) Т. е. мы имеем, что A1A2 : B1B2= A2A3 : B2B3= A1A3 : B1B3 ч. т. д

Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Применение теорем

Данные теоремы имеют большое практическое применение, например при делении отрезка на п равных частей

Задача: разделить отрезок АВ на п равных часте

А А1 А2 А3 Ап-1 Ап а

С помощью обобщённой теоремы Фалеса можно решить задачу о построении четвёртого пропорционального отрезка.

Задача: Даны отрезки а,b, с. Построить отрезок х=bс/а

Построенный отрезок называется четвёртым пропорциональным. Это название связано с тем, что он является четвёртым членом пропорции а/b = с/х.

Теорема, обратная к теореме Фалеса

Как я уже отмечал выше, на уроках мы изучали некоторые теоремы, обратные к хорошо известным нам. В дальнейшем исследовании я постараюсь ответить на вопрос: верна ли теорема, обратная к теореме Фалеса. Рассмотрим разные случаи.

Вывод: Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины, то обратная теорема оказалась верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обоих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (был приведён контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований.

Использование теоремы, обратной к теореме Фалеса на практике

3) Нам известны некоторые практические способы построения параллельных прямых с помощью признаков параллельности. Я же предлагаю воспользоваться частным случаем истинности теоремы, обратной к теореме Фалеса и построить параллельные прямые с помощью циркуля и линейки.

1. Построить произвольный угол АВС

2. От точки В на стороне ВА отложить равные между собою отрезки ВХ=ХК=КМ=

3. От точки В на стороне ВС отложить также равные между собой отрезки ВS=SD=DR=

4. Провести прямые ХS, KD, МR и т. д.

5. ХS║ KD ║ МR , т. к. если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

Итак, подводя итог работы, необходимо сказать, что проблема, поставленная в начале исследования, решена. Я считаю, что ответил на вопросы: верна ли теорема, обратная к теореме Фалеса и какое практическое значение она имеет? Я проанализировал литературу по теме, обобщил полученные из разных источников знания, подчеркнул значимость теоремы Фалеса.

Как можно заметить гипотеза, выдвинутая мною в начале исследования, подтвердилась частично, лишь в том случае, если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины. Именно этот способ можно применять для построения параллельных прямых с помощью циркуля и линейки. Подчеркну ещё раз, что данный материал не изучается на уроках геометрии.

Кроме того, я познакомился с биографией древнегреческого учёного Фалеса, с его вкладом в развитие геометрии, создал презентацию по теме исследования, которую можно использовать как практическое пособие на уроках, дополнительных занятиях, элективных курсах. Её печатный вариант прилагаю к работе. Думаю, что предложенный мной материал будет полезен многим учащимся.

Проведённые мною исследования этой темой не ограничиваются. Во время изучения литературы меня заинтересовал вопрос о пропорциональных отрезках, о пропорциях в природе, архитектуре, искусстве и это будет темой другого моего исследования

Дано: а и в — прямые, А1€ а, А2€а, А3€а,

А1А2=А2А3, А1€ с, А2€d, А3€е, с║ d ║е

Доказать: В1€ в, В2€в, В3€в,

Согласно теореме Фалеса, если A1A2 = A2A3, то B1B2 = B2B3.

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих, она верна, как для пересекающихся прямых, так и для параллельных.

Дано: угол пересекают параллельные прямые АА1, ВВ1, СС1, DD1 , AA1 BB1 CC1 DD1

AB=CD – несвязанная пара отрезков

Доказать: A1В1=C1D1 для чего использовал свойство подобия треугольников. Проиллюстрируем этот пример на чертеже. Пусть A — точка берега, B — корабль. На берегу восстанавливается перпендикуляр AC произвольной длины. Из точки C проводится перпендикуляр CD в противоположную от моря сторону. Из точки D смотрят на корабль и фиксируют на AC точку E — точку пересечения AC c DB. Треугольники СЕD и АЕB подобны, а расстояние AB во столько раз больше (или меньше) расстояния CD, во сколько раз AC больше или меньше CE.

1. Проведём из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ.

2. Отложим на полупрямой а равные отрезки:АА1, А1А2, А2А3, , Аn-1Аn.

3. Соединим отрезком точку Аn с точкой В.

4. Через точки А1,А2, Аn-1 проведём прямые, параллельные АnВ.

5. По теореме Фалеса отрезки АВ1, В1В2, ,Вn-1В равны.

3) Если на параллельных прямых откладывать все равные отрезки, то в результате мы получим два равных между собой параллелограмма, и теорема, обратная теореме Фалеса будет верной, но этот случай неинтересен, т. к. его нельзя использовать для построения параллельных прямых, т. к. изначально прямые задаются не произвольно.

2) Если прямые не параллельны, то как видно из, теорема, обратная к теореме Фалеса также неверна

1) На двух параллельных прямых отложены равные между собой отрезки, как видно, прямые, соединяющие их не являются параллельными, т. е. теорема, обратная теореме Фалеса неверна.

Доказать: A1A2 : B1B2= A2A3 : B2B3= A1A3 : B1B3

Дополнительные построения: проведём через точки А1, А2 прямые, параллельные В1В3, которые пересекают А2В2 в точке О и А3В3 в точке С

1)А1А2В1В2 и А2А3В2В3 – параллелограммы

2) А1А2= В1В2, А2А3= В2В3, а т. к. А1А2=А2А3, то В1В2=В2В3 ч. т. д.

D 1. Строим любой неразвёрнутый угол с вершиной О;

2. Откладываем на одной стороне угла отрезки ОА = а, ОВ = b;

3. Откладываем на другой стороне угла отрезок ОС=с;

4. Соединим точки А и С;

5. Проведём через точку В прямую ВD, параллельную АС;

6. Отрезок ОD = х.

Действительно по теореме о пропорциональных отрезках

ОD= ОВ*ОС/ОА = b*с/а и отрезок ОD есть искомый отрезок.

c d e а А1 А2 А3 b В1 В2 В3

4) Построим две произвольные пересекающиеся прямые. Отложим равные между собой отрезки на сторонах получившегося угла. Соединим точки деления прямыми. В силу пропорциональности отрезков, отложенных на разных сторонах угла, имеем, что эти прямые параллельны, т. е. теорема, обратная теореме Фалеса верна!

1) Теорему о параллельности средней линии треугольника одной из сторон можно доказать с помощью теоремы, обратной к теореме Фалеса.

2) Для доказательства параллельности средней линии трапеции основаниям также можно использовать теорему, обратную теореме Фалеса, учитывая, что BC и AD параллельны, а пары отрезков BL, LА и СМ, МD пропорциональны

Источник