Рациональное решение задач и примеров по математике
Пособие для учителей
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Различные решения отдельных задач и примеров 3 § 2. Относительность понятия рациональности решения 13 § 3. Необходимость обучения рациональным решениям 20 § 4. От чего зависит выбор способа решения 29 § 5. Зависимость решения от вопроса задачи 66 § 6. Зависимость решения от структуры упражнения и исходных данных 81 § 7. Применение формул 99 § 8. Применение вспомогательных утверждений 113 § 9. Применение знаний из смежных дисциплин 118 § 10. Вспомогательные неизвестные 129б
На основе собственного опыта и опыта работы других учителей г. Могилева автор предлагает разнообразные методы обучения учащихся рациональным приемам решения задач и примеров. В книге рассматривается возможность упрощения решения большого числа упражнений, а также зависимость решения от формулировки задачи, от структуры и числовых данных условия. Подробно освещен также вопрос об использовании знаний из смежных школьных дисциплин для упрощения решений. Все теоретические положения автор иллюстрирует примерами и задачами из курса математики средней школы. Рекомендуется учителям математики.
Два несвязанных фрагмента текста.
§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ 1. Как отыскание решений, так и их оформление нередко упрощаются при применении вспомогательных утверждений, в частности, различных лемм, изучаемых в теоретическом курсе математики. Рассмотрим, например, лемму о подобии треугольников. На основании этой леммы доказываются все признаки подобия треугольников, она используется и при изложении раздела «подобные многоугольники». И при решении задач по геометрии нередко значительно проще установить подобие треугольников ссылкой на лемму, чем на один из признаков подобия треугольников. Возьмем такую простую задачу: Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей, и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. Основание равно 20 см. Определить отрезки параллельных прямых, заключенные между боковыми сторонами. Для ее решения устанавливаем, что полученные треугольники подобны данному треугольнику. Это нетрудно сделать, используя первый признак подобия треугольников, но легче и проще получить тот же результат ссылкой на лемму. 2. Применение лемм упрощает не только обоснование решения, но нередко и сами вычисления. Рассмотрим, например, лемму о равновеликости наклонной и прямой призм. Целесообразно, после того как учащиеся усвоят, что объем любой призмы равен произведению основания на высоту, обратить их внимание на возможность получения новой формулы: объем призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро, которая легко получается из леммы.
5. В геометрии аналогом вспомогательных неизвестных являются вспомогательные построения. Иногда достаточно построить вспомогательную прямую, отрезок или другую какую-либо фигуру, чтобы найти простейшее решение предложенной задачи. Рассмотрим задачу на построение: Построить окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности в заданной на ней точке А. Эта задача не из простых, так как легко найти лишь одну прямую, на которой лежит центр искомой окружности, а именно прямую, проходящую через центр данной окружности и через точку А. Но этого для определения центра искомой окружности в общем случае недостаточно, нужно еще учесть, что искомая окружность должна касаться данной прямой. Если через точку А провести касательную к данной окружности, то решение становится очевидным: искомая окружность должна касаться данной прямой и построенной вспомогательной прямой, значит, центр ее лежит на их оси симметрии. Такая же картина наблюдается и при решении задач на доказательство и на вычисление. Возьмем такую простую задачу: «Доказать, что у равнобедренной трапеции углы при основании равны». Достаточно через вершину меньшего основания провести прямую, параллельную другой боковой стороне. Установив, что получившийся треугольник равнобедренный, легко получаем требуемое свойство углов трапеции. При решении сложных геометрических задач нередко приходится выполнять довольно громоздкие преобразования и вычисления. Для упрощения рекомендуем вводить вспомогательные обозначения, являющиеся как бы вспомогательными неизвестными. При этом не следует сразу вычислять их, вполне достаточно лишь установить, что в случае необходимости всегда можно определить их через данные величины. Заметим, что геометрические задачи очень редко решаются в общем виде, разве лишь когда в самом условии нет числовых данных. А ведь не всегда целесообразно производить вычисления, не получив общей формулы решения задачи.
Источник
Рациональные приёмы вычислений на уроках математики
Разделы: Математика
Класс: 4
Ключевые слова: математика
«Мозг хорошо устроенный ценится больше, чем мозг хорошо наполненный.»
Умения рационально производить вычисления характеризуют довольно высокий уровень математического развития. Знакомство и применение рациональных способов вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Эти умения чрезвычайно сложны, формируются они медленно и за время обучения в начальной школе далеко не у всех детей могут быть достаточно сформированы.
Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро. Считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировки. И тогда перед вами откроется совсем другая математика: живая, полезная, понятная.
Скажите, пожалуйста, как рациональнее сложить 1+ 7, 4 * 8? Какие законы применили?
27 + 46+13? 27 – 19 – 7? Какие свойства, законы? Т.е основы рациональных приёмов вычислений основаны на чём?
Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами.
Рациональные приёмы сложения основываются
1. Коммуникативный закон сложения а +в =в +а
2. Ассоциативный закон сложения а+в+с = а+ (в+с)
на коммуникативном и ассоциативном приёмах сложения, а так же свойствах изменения суммы. Рассмотрим некоторые из них.
Свойства сложения.
1.1
а+в+с =У, то (а – к) +с+в = У –к
38+24+15 = 77, то 36+ 24+ 15 = ?
а+в+с=У, то (а+ к) +в +с = У+к
38 + 24+15 = 77, то 40+ 24 + 15 =?
1.2.
а+ в =С , то (а +к ) + (в – к) = С
56 + 27 = 83, то (56 + 4) + (27 – 4) = ?
Какие ещё рациональные приёмы сложения можно применить на уроке математики?
Округление одного из слагаемых; поразрядного сложения; приём группировки вокруг одного и того же «корневого» числа.
Рассмотрим эти приёмы:
13 + 49 + 76 + 61 = (поразрядное сложение)
38 + 59 = 38 + (…округление слагаемого)
26 + 24 + 23 +25 + 24 = (группировка вокруг одного и того же «корневого» числа
Все приёмы рациональных вычислений, связанных с вычитанием, основываются на законах вычитания.
Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на число, то соответственно разность увеличится или уменьшится на это же самое число
а – в = С, то (а +к) — в = С +к
74 – 28 = 46, то 77 – 28 = 49
а-в = С , то (а – к ) — в = С-к
74 – 28 = 46, то 71 – 28 = 43
Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность измениться в противоположную сторону.
Если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить или увеличить на одно и тоже число, то разность не измениться.
Найди верные равенства.
229 – 36 = (229 – 9 ) – ( 36 – 6)
174 – 58 = (174 – 4) – ( 58 – 4)
358 – 39 = ( 358 – 8 ) – (39 – 8)
617 – 48 = ( 617 – 7 ) – (48 – 8)
Для рациональных вычислений используют частичные приёмы умножения и деления.
Приём замены множителя или делителя на произведение.
75 * 8 = 75 * 2*2*2=
960 : 15 = 960 : 3 : 5 =
Приём умножения на 9, 99,999, 11 …
87 * 99 = 87 * 100- 87 = 8700 – 87 = 8613
87 * 11 = 87 *10 + 87 = 870+ 87 = 957
Успешное применение различных приёмов зависит от умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Например, познакомив детей в первом классе с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав числа.
0 1 2 3 4 5 6 7
Отработав, таким образом, состав чисел в пределах 10 и познакомившись с переместительным законом сложения, дети легко справляются с заданием найти сумму чисел в пределах 10, а в дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойство сложения, легко можно найти сумму других чисел. Например:
48 +14 +22 +36 =120
Существуют приёмы на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Легко находить сумму последовательных нечётных чисел, начиная с 1.
Она равна произведению количества слагаемых на самого себя. (проверить)
Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия. Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условия задания, суметь подметить все его особенности. Такие задания, как поставь нужный знак действия16 … 17 = 33 ( рассуждать), далее подобные задания усложняются. 8…6…33 = 15
Сравни, не вычисляя
51 : 3 … 30 : 3 + 21 :5
636 :6 … 600 : 6+ 30 : 6+ 6 :6
Задания могут даваться в занимательной форме: Математический лабиринт, составь слово, найди пару , расшифруй пословицу и т.д.
Используй рациональные приёмы вычисления, разгадай слово
Какие приёмы использовали?
Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приёмы, помогающие значительно облегчить процесс вычисления.
СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ: способ быстрого умножения чисел первого десятка на 9. Допустим нам надо умножить 7 на 9. Повернём ладошки к себе, загнём седьмой палец, число пальцев слева от загнутого пальца – это число десятков, а число – справа, количество единиц.
Все задания, которые рассматривались, воспитывают интерес к математике, развивают их математические способности. Такую работу можно продолжать на математическом кружке.
Источник
Рациональное решение
Математика. Рациональное решение
Смотрим в словаре, что же такое рациональное решение – это: 1) продуманное, взвешенное решение, принятое на основе сравнения вариантов и их выбора, а также учета еще многих факторов; 2) выгодное, целесообразное решение.
Иногда на уроках при решении заданий учеником выясняется, что он вообще не знает, что такое рациональное решение. Оказывается, что такое решение связано с недостаточными познаниями ученика.
Задача.
Однажды на уроке математики учитель показал ребятам куб и предложил найти площадь поверхности этого куба.
— Это элементарно, — поднял первым руку Петя Самохвалов. – Сначала измеряем два ребра, исходящие из одной вершины. Первое ребро равно 10 см, и второе ребро равно 10 см. Найдем площадь этой грани: 10 х 10 = 100 (см 2 ). Теперь измерим другие два ребра. Первое равно 10 см, и второе равно 10 см. Перемножим их, будет 100 см 2 . Это площадь второй грани…
Потом Петя точно также нашел площадь четырех оставшихся граней. Все они оказались равными 100 см 2 .
— Теперь, продолжал Петя, сложим все найденные площади, будет 600 см 2 . Это и есть площадь поверхности куба.
Как же Петя был удивлен, когда учитель не поставил ему пятерку. Как вы думаете почему?
Иногда не находя выгодное, рациональное решение ученик заходит в такие дебри, что уже и сам запутывается.
Был такой случай на уроке математики: Ученик решал задачу у доски. При не правильно выбранном, не рациональном решении он уже исписал почти всю доску. Учитель очень серьезно двух ребят посильнее и покрепче, попросила из соседнего свободного на данный момент класса принести еще одну доску. Не сознавая подвоха, ребята встали и пошли к выходу. Когда они дошли уже до двери, учитель сказала: — Возможно нужно будет принести и две доски… Ученику, решающему задачу у доски места катастрофически не хватает…
Вот тут-то все всё и поняли. Посмеялись от души.
И еще одна задача:
Двое шли — рубль нашли. Четверо пойдут — сколько найдут?
Источник
Рациональное решение задач
Энциклопедический словарь по психологии и педагогике . 2013 .
Смотреть что такое «Рациональное решение задач» в других словарях:
РАЦИОНАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ — Нахождение решения проблемы с помощью логического, систематического рассуждения. Большинство когнитивных психологов сходятся в том, что оно исключает процедуры, основанные на слепом методе проб и ошибок или на искаженной логике, даже когда они… … Толковый словарь по психологии
Инфраструктура — (Infrastructure) Инфраструктура это комплекс взаимосвязанных обслуживающих структур или объектов Транспортная, социальная, дорожная, рыночная, инновационная инфраструктуры, их развитие и элементы Содержание >>>>>>>> … Энциклопедия инвестора
Минэкономразвития России — – это федеральный орган исполнительной власти, осуществляющий функции по выработке государственной политики и нормативно правовому регулированию Минэкономразвития России – это Министерство экономического развития Российской Федерации (МЭРТ),… … Энциклопедия инвестора
Рынок труда — (Labor market) Рынок труда это сфера формирования спроса и предложения на рабочую силу Определение рынка труда, определение рабочей силы, структура рынка труда, субъекты рынка труда, конъюнктура рынка труда, сущность открытого и скрытого рынка… … Энциклопедия инвестора
Управления автоматизированная система — (АСУ) совокупность экономико математических методов, технических средств (ЭВМ, средств связи, устройств отображения информации, передачи данных и т.д.) и организационных комплексов, обеспечивающих рациональное управление сложным объектом… … Большая советская энциклопедия
Модернизация — (Modernization) Модернизация это процесс изменения чего либо в соответствии с требованиями современности, переход к более совершенным условиям, с помощью ввода разных новых обновлений Теория модернизации, типы модернизации, органическая… … Энциклопедия инвестора
КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ — в узком смысле применение компьютера как средства обучения, в широком многоцелевое использование компьютера в уч. процессе. Компьютер является одним из компонентов информац. технологии, поэтому вместо термина «К. о.» часто используют в том же… … Российская педагогическая энциклопедия
Менделеев Дмитрий Иванович — (Dmitry Ivanovich Mendeleyev) Биография Менделеева, научная деятельность Менделеева Информаци о биографии Менделеева, научная деятельность Менделеева Содержание Содержание 1. Биография 2. Член русского народа 3. Научная деятельность Периодическая … Энциклопедия инвестора
СОЦИАЛИЗМ — (франц. socialisme, от лат. socialis общественный) первая, или низшая, фаза коммунизма. С. характеризуют след. осн. признаки: власть трудящихся, основанная на союзе рабочего класса с непролетарскими слоями трудящихся, прежде всего с крестьянством … Советская историческая энциклопедия
Активизации интеллектуального потенциала сотрудников психология — Интеллектуальный потенциал – важнейшая составная часть психологического потенциала сотрудников организации, обеспечивающая рациональное решение возложенных на нее задач. Понятие интеллектуального потенциала является производным от понятия… … Энциклопедия современной юридической психологии
Математика. 
