Что такое рациональный способ значения выражения

Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки » + » , » · » , » — » , » ÷ » , то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14 — 2 · 15 ÷ 6 — 3 .

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14 — 2 · 15 ÷ 6 — 3 = 14 — 30 ÷ 6 — 3 = 14 — 5 — 3 .

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14 — 5 — 3 = 9 — 3 = 6 .

Вычислим: 0 , 5 — 2 · — 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0 , 5 — 2 · — 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 — ( — 14 ) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 9 .

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

1 2 — ( — 14 ) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0 , 5 · ( 0 , 76 — 0 , 06 ) .

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом — умножение.

0 , 5 · ( 0 , 76 — 0 , 06 ) = 0 , 5 · 0 , 7 = 0 , 35 .

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 — 1 4 .

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 — 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2 , 5 = 1 + 2 · 6 = 13 .

В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями — 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 .

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

— 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 = — 6 — 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 , 2 + 0 , 05 = 2 , 25 = 1 , 5 .

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

— 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 + 3 · 1 , 5 = 6 , 5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3 + 1 3 — 1 — 1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3 + 1 3 — 1 = 3 — 1 .

3 + 1 3 — 1 — 1 = 3 — 1 — 1 = 1 .

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 2 3 · 4 — 10 + 16 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 .

Начинаем вычислять по порядку.

2 3 · 4 — 10 = 2 12 — 10 = 2 2 = 4

16 · 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 = 16 * 0 , 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

2 3 · 4 — 10 + 16 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2 — 2 5 · 4 5 — 1 + 3 1 3 6 .

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2 — 2 5 · 4 5 — 1 + 3 1 3 6 = 2 — 2 5 · 2 2 5 — 1 + 3 1 3 · 6

2 — 2 5 · 2 2 5 — 1 + 3 1 3 · 6 = 2 — 2 5 · 2 2 · 5 — 2 + 3 2 = 2 2 · 5 — 2 — 2 5 + 3 2

2 2 · 5 — 2 — 2 5 + 3 2 = 2 — 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3 , 2 2 — 3 · 7 — 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 — 6 ÷ 2 .

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 — 2 · 3 6 = 7 — 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 — 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 — 3 = 6 6 = 1 .

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1 , 6 — 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 — 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 2 5 — 1 — 2 5 — 7 4 — 3 .

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

2 5 — 1 = 2 5 + 1 5 — 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 — 1 = 2 5 + 2 4

Исходное выражение принимает вид:

2 5 — 1 — 2 5 — 7 4 — 3 = 2 5 + 2 4 — 2 5 — 7 4 — 3 .

Вычислим значение этого выражения:

2 5 + 2 4 — 2 5 — 7 4 — 3 = 2 5 + 2 — 2 5 + 7 4 — 3 = 9 4 — 3 = — 3 4 .

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log 2 4 + 2 · 4 можно сразу вместо log 2 4 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log 5 — 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Имеем:

log 5 — 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

По свойству логарифмов:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 ( 2 · 3 ) = log 6 6 = 1 .

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 — log 5 27 = — log 27 729 = — log 27 27 2 = — 2 .

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + — 2 = 2 .

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: t g 2 4 π 3 — sin — 5 π 2 + cosπ .

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

t g 2 4 π 3 — sin — 5 π 2 + cosπ = 3 2 — ( — 1 ) + ( — 1 ) = 3 + 1 — 1 = 3 .

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos 2 π 8 — sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 — sin 5 π 36 sin π 9 — 1 .

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos 2 π 8 — sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 — sin 5 π 36 sin π 9 — 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 — 1 = cos π 4 cos π 4 — 1 = 1 — 1 = 0 .

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

1. Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
2. Выполняются действия в скобках.
3. Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения — 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Теперь можно узнать значение синуса:

sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .

Со знаменателем дроби все проще:

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

С учетом этого, запишем все выражение:

— 1 + 1 + 3 9 = — 1 + 1 + 3 3 = — 1 + 1 + 27 = 27 .

— 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2 · 386 + 5 + 589 4 1 — sin 3 π 4 · 0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56 + 8 — 3 , 789 ln e 2 — 56 + 8 — 3 , 789 ln e 2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.

Например, возьмем выражение 2 3 — 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 — 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 1 3 .

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Вычислить значение выражения 0 , 5 x — y при заданных x = 2 , 4 и y = 5 .

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0 , 5 x — y = 0 , 5 · 2 , 4 — 5 = 1 , 2 — 5 = — 3 , 8 .

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х + 3 — х , очевидно, имеет значение 3 , и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.

Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.

Источник

Алгебра

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Понятие рационального выражения

В 5 и 6 классе мы уже изучали дроби и действия над ними. В 7 классе рассматривались рациональные числа, которые, по сути, и являются дробями. Однако до этого мы изучали только так называемые числовые дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят какие-то числа либо выражения с числами, но не переменные величины.

Следующие дроби являются числовыми:

Однако нередко в алгебре приходится иметь дело и с дробями, которые содержат переменные. В качестве примера подобных выражений можно привести:

Так как деление на ноль является недопустимой операцией в алгебре, то некоторые дроби могут не иметь смысла. Так, дробь

бессмысленна, так как ее знаменатель 21 – 3•7 равен нулю.

Если дробь содержит переменные величины, то ее значение зависит от этих переменных. Так, дробь

при у = 4 принимает значение, равное 9. Если же у = 3, то эта дробь окажется бессмысленной.

Значения переменных величин, при которых дробь сохраняет свой смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Пример. Укажите множество допустимых значений величин х и у для дроби

Решение. Недопустим только случай, при котором в знаменателе находится ноль, то есть когда выполняется равенство

или равносильное ему равенство

Следовательно, допустимыми значениями являются все такие пары (х; у), что х ≠ у.

Пример. Каковы допустимые значения величин а и b в дроби

Решение. В данной записи есть три дробных черты, а значит, и три знаменателя:

Ни один из знаменателей не должен равняться нулю, поэтому

Перенесем в последнем неравенстве 2-ое слагаемое вправо, изменив знак (правила преобразований выражений со знаком ≠ точно такие же, как и у равенств):

По свойству пропорции имеем:

Итак, допустимыми являются все значения a и b, при которых а ≠ 0, b≠ 0, a≠b.

Пример. Найдите множество допустимых значений х для дроби

Ясно, что знаменатель должен отличаться от нуля:

Чтобы найти, при каких значениях неизвестной величины знаменатель обращается в ноль, надо решить уравнение

Представим полином в левой части как произведение, применив формулу квадрата разности:

Получаем, что исходная дробь сохраняет смысл при любых х, отличных от – 5 и 5.

Порою дроби, содержащие переменные, могут встречаться в тождествах.

Пример. Докажите тождество

Решение. У дроби в левой части знаменатель всегда положителен, поэтому все допустимыми являются все значения c. Согласно свойству операции деления, делимое равно произведению делителя и частного, поэтому для доказательства тождества надо лишь показать справедливость равенства

(с 3 – 2с 2 + с – 2) = (с – 2)(с 2 + 1)

Раскроем скобки в правой части:

(с – 2)(с 2 + 1) = с 3 – 2с 2 + с – 2

Получили одинаковое выражение и для левой, и для правой части тождества, следовательно, оно верное.

Теперь сформулируем понятие рационального выражения.

Среди рациональных выражений выделяют целые и дробные выражения.

Приведем примеры целых рациональных выражений:

А вот несколько примеров дробных рациональных выражений:

Стоит заметить, что дробь и дробное выражение – это два разных понятия. Для иллюстрации приведем два примера:

• – это дробь, но целое, а не дробное выражение;
• (х + 7):t – это дробное выражение, но не дробь.

Отдельно отметим, что дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если же и знаменатель равен нулю, то получается недопустимое действие – деление на ноль, поэтому дробь не будет иметь смысла.

Пример. Найдите все корни уравнения

Решение. На первый взгляд уравнение кажется сложным, особенно из-за знаменателя. Однако он здесь почти не играет роли. В левой части находится дробь, значит, нулю равен ее знаменатель:

х – 1 = 0 или х + 2 = 0

Получили два корня. Осталось убедиться, что при этих значениях х дробь не становится бессмысленной, то есть ее знаменатель не обращается в ноль. При х = 1 имеем знаменатель

2•1 4 – 3•1 3 + 5•1 – 4 = 2 – 3 + 5 – 4 = 0

поэтому число 1 НЕ является корнем уравнения. Теперь проверим знаменатель при х = – 2:

2•(– 2) 4 – 3•( – 2) 3 + 5•( – 2) – 4 =

= 32 + 24 – 10 – 4 = 42

Получается, что единственное корень уравнения – это ( – 2).

Сокращение рациональных выражений

Узнав, какие выражения являются рациональными, мы приступим к изучению их преобразований. Напомним главное свойство дроби:

Оно означает, что числитель и знаменатель можно умножить на произвольное число (кроме нуля), то значение дроби останется прежним:

Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел используются переменные величины.

Например, возможны такие преобразования рациональных выражений:

Например, пусть надо привести дробь

к знаменателю 6а 2 b 2 .

На что именно надо умножитель знаменатель, что получился одночлен 6а 2 b 2 ? Очевидно, что

6а 2 b 2 = 2а 2 b•3b

Поэтому выражения над и под дробной чертой надо умножить на 3b:

Использованный нами множитель 3b называют дополнительным множителем.

Обратная операция, при которой из знаменателя и числителя убирают совпадающие множители, называется сокращением дроби:

Это тождество означает, что дроби можно сокращать, убирая общий множитель, например:

Аналогичные действия можно совершать не только с числовыми дробями, но и с дробными выражениями:

В последнем примере мы вынесли общие множители за скобки (2х и 7у), чтобы над и под чертой появилась одинаковая сумма х + 3у, которую можно сократить.

Однако при сокращении дробей важно учитывать область ее допустимых значений, ведь из-за изменения знаменателя она может измениться. Например, пусть требуется построить график функции

В числителе стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители:

Казалось бы, мы получили линейную функцию

чей график нам известен – это прямая. Но она определена при всех возможных х, в то время как исходная дробь бессмысленна при х = 2, ведь тогда знаменатель становится равен нулю. Поэтому график функции будет выглядеть как прямая, однако одна из ее точек, с координатами (2; 4), будет «выколотой» точкой, и исключенной:

Данный рисунок означает, что графиком функции – прямая линия, кроме точки (2; 4)

Выколотая точка на графике изображается маленьким незакрашенным кружочком.

Следующее важное свойство дроби связано со знаком минус. Знак, стоящий перед дробью, можно перенести либо в знаменатель, либо в числитель:

Также напомним, что можно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое в скобках, если изменить перед ней знак:

Применение этих правил позволяет упрощать некоторые дроби, например:

Более сложный пример:

Рассмотрим такое понятие, как однородный многочлен. Так называют тот полином, у которого все одночлены имеют одинаковую степень.

Подробнее о степени одночлена можно узнать в этом уроке. Если коротко, то степень одночлена – эта сумма степеней у всех переменных, входящих в его буквенную часть. Например, у следующих мономов степень равна 4:

• 3х 4 (у единственной переменной степень равна 4);
• 8х 3 у (степень у х равна 3, а степень у равна 1, 3 + 1 = 4);
• 5х 2 у 2 (степени у обеих переменных равны 2, 2 + 2 = 4);
• 10у 4 (в буквенной части только переменная у, чья степень равна 4).

Соответственно, многочлен 3х 4 + 8х 3 у + 5х 2 у 2 + 10у 4 , составленный из всех этих мономов, будет однородным. Примерами однородных полиномов также являются:

• z 6 + v 6 – 2z 2 v 4 (здесь степени мономов равны 6);
• a 2 – ab (степень одночленов равна 2).

В отношении однородных полиномов, состоящих из двух переменных, можно применять особый прием. Достаточно поделить его на одну из переменных в степени полинома, и получится выражение, зависящее только от одной дроби. Поясним это на примере. Пусть надо вычислить значение отношения

если известно другое отношение:

В исходной дроби представляет собой отношение двух однородных полиномов третьей степени. Поэтому поделим их на y 3 (можно было делить и на х 3 ). При этом значение дроби не изменится, ведь мы делим числитель и знаменатель на одинаковый моном:

Получили выражение, которое зависит только от отношения

Попытаемся найти эту величину из условия

Отсюда следует, что

Теперь подставим найденное отношение в формулу(1):

До этого мы рассматривали примеры дробных выражений, состоящие из полиномов с целыми коэффициентами. Если же используются дробные числа, то от них всегда можно избавиться, домножив дробь на какое-нибудь число.

Например, дана дробь

Коэффициенты при у и у 2 дробные. Избавимся от них. Для этого используем дополнительный множитель 12:

Далее рассмотрим сложение и вычитание дробных выражений. Проще всего эту операцию проводить в том случае, когда у дробей совпадают знаменатели. В такой ситуации используются уже нам известные правила:

Сложим две величины:

В их знаменателе стоит одинаковый полином, а потому операция будет выглядеть так:

Здесь мы в числителе использовали формулу квадрата разности.

Теперь вычтем из выражения

У них совпадают знаменатели, поэтому проблем с вычитанием не возникает:

Заметим, что обычно у дробных выражения стараются сокращать до тех пор, пока не получится несократимая дробь.

Если у дробей различные знаменатели, то приводят к общему знаменателю, домножая их на какой-нибудь дополнительный множитель.

Рассмотрим следующий пример:

Знаменатели дробей разные, однако, обе дроби можно привести к знаменателю 24х 2 у 3 . Почему именно к нему? Дело в том, у коэффициентов мономов 6х 2 у и 8ху 3 наименьшим общим кратным (НОК) является число 24 (о НОК можно узнать из этого урока). Добавим к этому коэффициенту переменные из одночленов с наибольшими показателями (х 2 и у 3 ) и получим моном 24х 2 у 3 . Итак,домножим первую дробь на 4у 2 , а вторую – на 3х:

Есть и более простой способ найти общий знаменатель, для этого достаточно просто перемножить знаменатели дробей-слагаемых. Однако дальнейшие преобразования будут более долгими. Решим таким путем тот же пример:

В числителе возможно вынесение общего множителя 2ху за скобки:

Видно, что конечный результат операции не изменился.

Если в знаменателях складываемых дробей стоят многочлены, то стоит попробовать разложить их на множители. За счет этого порою удается найти более простой общий знаменатель.

Пусть надо сложить выражения

Вынесем в знаменателях за скобки множители х и у:

В знаменателях есть похожие множители, (3х – у) и (у – 3х). Чтобы они оказались одинаковыми, надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое в одних скобках. Для этого перед ними надо добавить знак «минус»:

Общим множителем этих дробей является произведение ху(3х – у):

Осталось разложить числитель, где стоит разность квадратов:

Следующий важный навык, который может потребоваться при работе с рациональными выражениями – это выделение целой части из дроби.

Продемонстрируем эту операцию на примере

Перепишем дробь, поменяв порядок слагаемых в числителе:

И в знаменателе, и в числителе есть сумма х 2 + 1. Теперь можно произвести выделение целой части:

В справедливости данного преобразования можно убедиться, выполнив его «в обратную сторону»:

Любой многочлен можно сделать дробью, если приписать ему числитель, равный 1. Пусть надо упростить формулу

Заменим 2х – 1 на дробь и произведем вычитание:

Упростить далее эту дробь довольно сложно, но всё же возможно. Для этого надо заменить одночлен (– 3х 2 ) на разность (– х 2 – 2х 2 ), а 14х на сумму (6х+8х). Посмотрим, что получится в результате:

Складывать можно и более двух дробей. Пусть надо упростить сумму

Будем складывать слагаемые последовательно, то есть сначала сложим два первых слагаемых, потом к результату добавим третье, а далее и 4-ое слагаемое:

Представление дроби в виде суммы дробей

Сумму двух дробей можно представить в виде несократимой дроби единственным образом, например:

Однако у обратной задачи, разложения одной дроби на сумму нескольких других, есть бесконечной множество решений:

То же самое верно в отношении дробных выражений. Например,

можно разложить так:

С другой стороны, это же выражение можно представить в следующем виде:

Для раскладывания дроби на сумму дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, предложенным Рене Декартом в 1637 году. Покажем, как его использовать, на примере. Пусть надо представить в виде суммы двух дробей отношение

Заметим, что знаменатель х 2 – 4 можно записать как произведение полиномов первой степени (х – 2)(х + 2):

Это означает, что исходное выражение можно представить как сумму дробей со знаменателями (х – 2) и (х + 2). Обозначим числители в этих дробях как неизвестные величины aи b (они и носят название неопределенных коэффициентов). Тогда можно записать, что

Задача сводится к тому, чтобы найти a и b. Для этого преобразуем сумму дробей:

Полученная дробь должна равняться исходной дроби:

У правой и левой части равны знаменатели, а значит, должны равняться и числители:

(a + b)x + (2a– 2b) = 2x + 6

Это тождество может быть верным только тогда, когда справа и слева равны коэффициенты перед переменной х, а также свободные члены, поэтому можно записать систему:

Решив эту систему, мы сможем найти значения a и b. Используем метод подстановки, выразив а из первого уравнения:

Подставим эту формулу во второе уравнение:

Далее находим a:

а = 2 – b = 2 – (– 2,5) = 2 + 2,5 = 4,5

Итак, получили, что a = 4,5 и b = – 2,5. Это значит, исходную дробь можно разложить следующим образом:

Теперь рассмотрим, как производится умножение и деление дробных выражений. Эти действия аналогичны операциям с обычными числами, которые уже изучались в 5 классе. Напомним две основные формулы:

Пусть требуется перемножить величины

Эта операция осуществляется так:

Теперь посмотрим, как выполняется деление:

Деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:

Для упрощения выражений часто используют формулы сокращенного умножения:

При возведении дроби в степень надо отдельно возводить в степени знаменатель и числитель:

Вообще для любого натурального числа nбудет верным тождество:

Пусть надо возвести в 4-ую степень дробь

Выглядеть это будет так:

Преобразование рациональных выражений

Если у дроби в знаменателе и числителе записаны полиномы, то ее называют рациональной дробью. В виде рациональной дроби можно записать любое рациональное выражение.

Пусть надо записать в виде рациональной дроби выражение

Сначала выполним вычитание в скобках, а потом и деление:

Обратим внимание, что выражение

(2а + 1) 2 – (2а – 1) 2

представляет собой не что иное, как разность квадратов, для которой можно применить формулу сокращенного умножения:

(2а + 1) 2 – (2а – 1) 2 = (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – (2а – 1)) =

= (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – 2а + 1).

Используя это, продолжим работать с дробью:

Однако иногда удобнее не производить вычисления в скобках, а использовать распределительный закон умножения:

Пусть требуется упростить произведение:

Сначала раскроем скобки:

Часто проблемы возникают с так называемыми «многоэтажными» дробями. Так называют дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят другие дробные выражения. Выглядят они внушительно, однако правила работы с ними такие же, как и с другими выражениями. Каждая дробная черта просто означает операцию деления.

Пусть требуется выполнить преобразование дробного рационального выражения

Сначала представим эту дробь как операцию деления:

Теперь в каждой из скобок произведем сложение:

Источник