Что такое рациональный способ умножения

Приемы рационального умножения
материал по математике на тему

Приемы рационального умножения

Скачать:

Вложение	Размер
priemy_ratsionalnogo_umnozhenia.doc	38.5 КБ

Предварительный просмотр:

Приемы рационального умножения.

— научить учащихся по алгоритму производить вычисления с многозначными числами;

— познакомить с историей возникновения счета разных народов;

— показать необходимость производить устные и письменные вычисления в жизни человека, как одного из условий его умственного развития.

-Ручки, калькуляторы, чистые листы для вычислений, диск с записью мастер — класса.

1. Постановка цели. Значение математических вычислений.

— Сегодня мы будем учиться производить умножение чисел нестандартными способами. А сейчас ответьте на вопрос: что такое рациональный счет? Что вы об этом знаете? В словаре С.И. Ожегова дается толкование слова « рациональный » — « разумно обоснованный, целесообразный».

Счет возник в глубокой древности, но интерес к нему не пропадает до сих пор. В чём же эффективность рационального счета?

2.История возникновения счета

Очень давно у людей появилась необходимость сообщать друг другу о каком-то числе предметов или количестве воинов. И даже те народы, которые знали только два числа, могли сделать это довольно быстро. Русский путешественник Н.Н.Миклухо- Маклай, поведал историю счета туземцев Новой Гвинеи:

« Излюбленный способ счета у папуасов, живущих на островах Тихого океана, состоял в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе-бе-бе»… Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе-бе-бе»… пока не доходит до «ибон-али» (другой руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе-бе», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше папуас пользуется пальцами рук кого-нибудь другого».

Предметы при счете, обычно, сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. Счет всегда начинали от первого пальца правой руки. При счете отмечали и предметы. Иногда для пересчета употребляли не только пальцы рук и ног, но и другие части тела, но в определенном порядке. Наша «счетная машина» (пальцы рук ) очень удобна : она всегда при нас.

3. Система счета разных народов.

У людей, различных народов, велась своя система счета. ( египетская, Вавилонская, Индейцы Майя, римская, Китайская, Счет Древней Руси).

4. Значение рационального счета для учителя и ученика.

-Овладение нестандартными приемами вычислений- это воплощение идеи сотрудничества учителя и ученика, самообразования и самоконтроля, что пробуждает познавательную активность, интерес и ведёт к результативному обучению.

— Это поиск более быстрого счёта, способствующего экономии времени на вычисления.

— Разумный счет: это- азарт, это — мыслительная игра, позволяющая создать эмоциональное состояние.

— Человек, владеющий разумными приёмами вычислений это эрудированный, любознательный, …..

— Знакомить с рациональными приемами вычислений эффективно при закреплении и обобщении учебного материала по данной теме, а также на интерактивных занятиях.

5. Знакомство с рациональными приёмами.

— Все приемы рационального умножения основаны на законах умножения и на свойствах изменения произведения.

1..Увеличение одного из множителей произведения в несколько раз и одновременное уменьшение второго множителя во столько же раз.

Умножение четного числа на 15,25,35,45.

Для этого достаточно четное число разделить на 2, а числа 15,25,35,45, умножить на 2 ( т.е.на 30, 50, 70,90).

2. Представление одного из множителей произведения в виде разности двух чисел.

Умножение на 9, 99,999.

Чтобы умножить число на 9, 99,999, достаточно увеличить его в 10,100,1000 раз и из полученного результата вычесть само число.

3. Представление одного из множителей в виде суммы двух чисел.

а) Умножение на 11

Чтобы умножить число на эти числа, достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному числу прибавить это число.

Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его цифры и вставить между ними их сумму. Причем , если эта сумма сама является двузначной, то ее единицы вставляются между цифрами данного числа, а десятки прибавляются к первой цифре.

1) находим сумму 5+4=9;

2) раздвигаем цифры числа 54, вставляем между ними цифру 9, получим ответ: 594

1) находим сумму 5+8=13;

2) раздвигаем цифры числа 58, вставляем между ними цифру 3 (единицы), а десятки увеличиваем на 1 (5+1=6), получаем ответ: 638.

б ) Умножение на 101.

Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число.

в) Умножение на 1001.

Аналогичную работу проделываем, умножая двузначное число на 1001, только между двузначными числами вставляем цифру 0.

4) Умножение двузначных чисел, каждое из которых содержит по 9 десятков

1) из первого числа вычтем дополнение второго до 100;

Для этого 93-3=90;

2)находим произведение дополнений данных чисел до 100;

3) приписываем это произведение к предыдущему результат (90), получаем ответ

5) Умножение чисел меньше 20.

Чтобы умножить два числа, которые меньше двадцати, достаточно прибавить к первому единицы второго, к результату приписать нуль и прибавить произведение единиц.

1) к первому числу прибавляем единицы второго 19+8=27

2) приписываем к результату нуль и прибавляем произведение единиц, получаем ответ: 270+9*8=342

— Надеюсь, что предложенные приёмы займут достойное место в жизни каждого человека, а работающие учителя будут постоянно использовать их в своей работе и формировать соответствующие навыки рациональных вычислений.

Спасибо, за внимание!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект открытого урока по математике на тему «Приемы письменного умножения для случаев вида 7019*4»

Урок математики в 4 классе показывает разнообразные виды работы учащихся на уроке с целью рассмотрения письменных приемов умножения многозначных чисел на однозначное, сравнение величин.

Конспект открытого урока по математике на тему «Приемы письменного умножения для случаев вида 7019*4»

Урок математики в 4 классе показывает разнообразные виды работы учащихся на уроке с целью рассмотрения письменных приемов умножения многозначных чисел на однозначное, сравнение величин.

Приложение к конспекту открытого урока по математике на тему «Приемы письменного умножения для случаев вида 7019*4»

Приложение к конспекту открытого урока по математикена тему «Приемы письменного умножения для случаев вида 7019*4».

Приемы табличного умножения числа 2.

Урок математики во 2 классе.Тип урока:ОНЗТЕМА: Приемы табличного умножения числа 2.Авторы: МороОсновные цели:1) Сформировать представление о способе умножения на число 22).

Повторение приемов рациональных устных вычислений. Решение задач

Технологическая карта урока1. Сарычева О.Г.2. Класс: 2«В» Дата: 18.10.18 Предмет: Математика3. Место и роль урока в изучаемой теме: урок закрепления4. Тема: повторение приемов рациональных.

ПРИЕМЫ ПИСЬМЕННОГО УМНОЖЕНИЯ ТРЕХЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА ОДНОЗНАЧНОЕ

Урокдля 3 класса на тему «Приемы письменного умножения трехзначного числа на однозначное&quot.

Конспект урока математики. Тема: «Приемы письменного умножения на однозначное число»

Тема: Приём письменного умножения на однозначное числоЦели деятельности учителя: ознакомление с приемом письменного умножения трёхзначного числа на однозначное без перехода через разряд в столбик.План.

Источник

Способы умножения

В своей учебно-исследовательской работе Тимур ищет различные рациональные способы умножения, дае.т исторические способы умножения. Для учащихся 5, 6 класса эта работа очень интересна.

Скачать:

Вложение	Размер
способы умножения.doc	69.5 КБ

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА д. ЯВГИЛЬДЫ

МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ГАФУРИЙСКИЙ РАЙОН РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН

Учебно- исследовательская работа по математике

ученика 5-го класса МОБУ ООШ д. Явгильды

ДАНИЛОВА ТИМУРА ИВАНОВИЧА

Руководитель: учитель математики I категории

2 . Основное содержание.

2.1. Метод решетки.

2.2. Умножение чисел по способу русских крестьян.

2.3. Способ «крестика» или «Хиазм».

2.4. Рациональное умножение на 4,5,8,9,11,111,25 и на 125.

Курс математики располагает широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры. Общеизвестно, что наряду с формированием основных математических понятий, изучением свойств чисел, арифметических действий в начальном обучении важнейшее место всегда занимало формирование у школьников вычислительных навыков и умений. Сегодня значимость названных навыков уменьшилась в связи с широким внедрением во все сферы человеческой деятельности электронной вычислительной техники, использование которой, несомненно, облегчает процесс вычислений. Однако МК не всегда может оказаться под рукой, да и пользоваться им без осознания вычислительных навыков невозможно. Из сказанного следует, что владение навыками вычислений необходимо, ведь своя голова надежней, чем самые современные вычислительные средства.

Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Опираясь на конкретный смысл арифметических действий, их свойства, раскрываются приемы устных и письменных вычислений.

Я остановлюсь более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность. Рациональность вычислений— это вычислительные операции из возможных, «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия».

Применение рациональных вычислений воспитывает у меня интерес к математике, вызывает желание научиться вычислять наиболее быстрыми, лёгкими и удобными способами.

Это мой первый опыт описать способы умножения, которым меня обучила моя учительница математики Миниязова Лилия Ахметгареевна.

Я теперь знаю, что можно умножать числа не только «столбиком», но и другими методами можно это делать.

Для умножения чисел Мухаммед из Хорезма предлагал «метод решетки», который, пожалуй, проще, чем применяемый в школе.

Пусть надо умножить 374 на 92. Начертим таблицу, и запишем над ней число 374 слева направо, а справа от нее – число 92 сверху вниз.

В каждую клеточку запишем произведение цифр. При этом цифру десятков произведения запишем над косой чертой, а цифру единиц- под ней.

А теперь будем складывать числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишут под нижней цифрой полосы. Если же окажется больше 10, то пишут только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляют к следующей сумме. В результате получим нужное произведение, которое равно 34408.

УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ПО СПОСОБУ

Этот способ покажу на примере 47 * 68:

188 + 3008 = 3196

В левом столбике числа удваиваются, а в правом делятся на 2. В тех случаях, когда деление на 2 нацело невозможно, на 2 делят число, непосредственно предшествующее

( т.е.меньше на единицу). Чтобы найти произведение складываются числа левого столбика, соответствующие нечетному частному. На примере такими частными являются 188 и 3008.

Существует еще один способ умножения, очень похожий на способ умножения русских крестьян. Если один из множителей оканчивается на 5, то один из множителей делим на 2, а другой умножаем на 2. Например, 42*35= 21 * 70= 1470

43 * 15= 21,5* 30= 645

СПОСОБ КРЕСТИКА или ХИАЗМ

В Индии широко использовался способ умножения чисел, называемый способом крестика или хиазм ( молния). Состоит он в том, что сразу находят цифры произведения одну за другой справа налево. Я вам покажу ,как это делается, на примере 47* 76.

Ищем цифру единиц произведения. Единицы могут получиться от умножения единиц множимого на единицы множителя, т.е. 7*6= 42, цифру подписываем под единицами, а 4 десятка запоминаем.

Ищем десятки произведения. Они могут получиться от умножения десятков множимого на десятки множителя, что показано крестиком. Имеем 4* 6 + 7* 7= 73, да 4 в уме, всего 77 десятков. Пишем под крестиком 7, а 7 сотен запоминаем.

Ищем цифру сотен произведения. Сотни могут получиться от произведения десятков множимого на десятки множителя, как показано черточкой, т.е. 4* 7= 28, да в уме 7, всего 35 сотен, которые и пишем.

Умножение на 4 и на 8

На 4 можно умножать таким образом: данное число два раза умножаем на 2.

Например, 43*4= 86*2= 176

Когда умножаем на 8, то данное число 3 раза умножаем на 2.

123*8 = 246*4 = 492*2 = 984

Для того, чтобы умножать число на 5, надо это число разделить на 2 и полученному результату приписать 0: 86 * 5 = 430

Если же число не делится на 2, то к неполному частному добавляем 5: 49*5 = 245

Чтобы умножать число на 9, его надо сначала умножать на 10, потом из полученного числа вычисть данное число. 345 * 9 = 3450 – 345= 3 105

Умножение на 11

А) Число умножать на 10 и прибавить это же число: 567 * 11 = 5670 + 567= 6237

Б) Если двузначное число умножаем на 11, то между цифрами этого числа вставить сумму цифр этого числа: 34 * 11= 3(3+4)4= 374 78 * 11 = 7 (3+8) 8 = 818

Умножения трёхзначных чисел на 11

Для умножения трёхзначных чисел на 11 так же можно умножить трёхзначное или четырёхзначное число на 10 и к произведению прибавить это же число, т.е. употребить первый из рассмотренных приёмов умножения на 11.
Познакомимся с приёмом умножения трёхзначного числа на 11 при помощи второго способа, он вытекает из письменного приёма умножения на 11.

758∙11=8338.
справа нужно записать число единиц множимого, т.е 8, затем к 8 прибавить следующее за ним слева число 5;

5 + 8 = 13; запишем 3, а 1 держим в уме.
далее 1 в уме прибавляем к 5 и складываем со следующим числом слева, с 7;

6 + 7 = 13, 3 пишем, а 1 добавим к 7, получим 8.
Можно этот приём применять и для четырёх- пятизначных чисел (и с большим числом знаков)

137542∙11=1512962
При известной сноровке такой приём умножения на 11 может быть полезен.

Умножения двузначного числа на 111 так же полезно запомнить

35∙111=3885 Мы видим, что по краям стоят числа 3 и 5 , а посредине повторяются дважды сумма цифр 3 и 5.
Также можно рассмотреть приём умножения двузначного числа на 1111 :

Умножение на 25

Для того, чтобы число умножать на 25, данное число делим на 4 и умножаем на 100.

44 * 25 = 1100 36 * 25 = 900

Если же число не делится нацело на 4, то поступаем таким образом: находим неполное частное и остаток от деления на 4, потом этот остаток умножаем на 25 и к неполному частному приписываем полученное произведение.

65 * 25 = 1625 (ост 1, 1*25= 25)

34*25 = 850 (ост 2, 2* 25=50)

67*25 = 1675 ( ост 3, 3*25 = 75)

Умножение на 125

Для того, чтобы число умножать на 125, данное число делим на 8 и умножаем на 1000.

328*125= 41000 256 * 125=32000

Рассмотренные мною способы умножения не такие сложные и могут повседневно использоваться учащимися. Они познавательны и интересны.

Я знаю, что существуют еще много интересных способов вычислений. И я соберу целую коллекцию таких примеров рационального вычисления.

1. Перельман.Я.И. Живая математика.-М.:Астрель:АСТ, 2005
2. Балаян.Э.Н.1001олимпиадная и занимательная задачи по математике. -3-е изд. – Ростов н/д:Феникс,2005
3. 3.Научно- педагогический и методический ежемесячный журнал «Учитель Башкортостана». № 4, 1998
4. 4.Чупиков П.В. Математика: Школьные олимпиады: Методическое пособие.5-6 классы.- М.: ЭНАС,2004
5. 5.Фарков А.В.Математика.Олимпиады в школе.5-11 класс. – 4-е изд. –М.:Айрис-пресс,2005.

Источник