Что такое рациональные способы умножения

Приемы рационального умножения
материал по математике на тему

Приемы рационального умножения

Скачать:

Вложение	Размер
priemy_ratsionalnogo_umnozhenia.doc	38.5 КБ

Предварительный просмотр:

Приемы рационального умножения.

— научить учащихся по алгоритму производить вычисления с многозначными числами;

— познакомить с историей возникновения счета разных народов;

— показать необходимость производить устные и письменные вычисления в жизни человека, как одного из условий его умственного развития.

-Ручки, калькуляторы, чистые листы для вычислений, диск с записью мастер — класса.

1. Постановка цели. Значение математических вычислений.

— Сегодня мы будем учиться производить умножение чисел нестандартными способами. А сейчас ответьте на вопрос: что такое рациональный счет? Что вы об этом знаете? В словаре С.И. Ожегова дается толкование слова « рациональный » — « разумно обоснованный, целесообразный».

Счет возник в глубокой древности, но интерес к нему не пропадает до сих пор. В чём же эффективность рационального счета?

2.История возникновения счета

Очень давно у людей появилась необходимость сообщать друг другу о каком-то числе предметов или количестве воинов. И даже те народы, которые знали только два числа, могли сделать это довольно быстро. Русский путешественник Н.Н.Миклухо- Маклай, поведал историю счета туземцев Новой Гвинеи:

« Излюбленный способ счета у папуасов, живущих на островах Тихого океана, состоял в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе-бе-бе»… Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе-бе-бе»… пока не доходит до «ибон-али» (другой руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе-бе», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше папуас пользуется пальцами рук кого-нибудь другого».

Предметы при счете, обычно, сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. Счет всегда начинали от первого пальца правой руки. При счете отмечали и предметы. Иногда для пересчета употребляли не только пальцы рук и ног, но и другие части тела, но в определенном порядке. Наша «счетная машина» (пальцы рук ) очень удобна : она всегда при нас.

3. Система счета разных народов.

У людей, различных народов, велась своя система счета. ( египетская, Вавилонская, Индейцы Майя, римская, Китайская, Счет Древней Руси).

4. Значение рационального счета для учителя и ученика.

-Овладение нестандартными приемами вычислений- это воплощение идеи сотрудничества учителя и ученика, самообразования и самоконтроля, что пробуждает познавательную активность, интерес и ведёт к результативному обучению.

— Это поиск более быстрого счёта, способствующего экономии времени на вычисления.

— Разумный счет: это- азарт, это — мыслительная игра, позволяющая создать эмоциональное состояние.

— Человек, владеющий разумными приёмами вычислений это эрудированный, любознательный, …..

— Знакомить с рациональными приемами вычислений эффективно при закреплении и обобщении учебного материала по данной теме, а также на интерактивных занятиях.

5. Знакомство с рациональными приёмами.

— Все приемы рационального умножения основаны на законах умножения и на свойствах изменения произведения.

1..Увеличение одного из множителей произведения в несколько раз и одновременное уменьшение второго множителя во столько же раз.

Умножение четного числа на 15,25,35,45.

Для этого достаточно четное число разделить на 2, а числа 15,25,35,45, умножить на 2 ( т.е.на 30, 50, 70,90).

2. Представление одного из множителей произведения в виде разности двух чисел.

Умножение на 9, 99,999.

Чтобы умножить число на 9, 99,999, достаточно увеличить его в 10,100,1000 раз и из полученного результата вычесть само число.

3. Представление одного из множителей в виде суммы двух чисел.

а) Умножение на 11

Чтобы умножить число на эти числа, достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному числу прибавить это число.

Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его цифры и вставить между ними их сумму. Причем , если эта сумма сама является двузначной, то ее единицы вставляются между цифрами данного числа, а десятки прибавляются к первой цифре.

1) находим сумму 5+4=9;

2) раздвигаем цифры числа 54, вставляем между ними цифру 9, получим ответ: 594

1) находим сумму 5+8=13;

2) раздвигаем цифры числа 58, вставляем между ними цифру 3 (единицы), а десятки увеличиваем на 1 (5+1=6), получаем ответ: 638.

б ) Умножение на 101.

Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число.

в) Умножение на 1001.

Аналогичную работу проделываем, умножая двузначное число на 1001, только между двузначными числами вставляем цифру 0.

4) Умножение двузначных чисел, каждое из которых содержит по 9 десятков

1) из первого числа вычтем дополнение второго до 100;

Для этого 93-3=90;

2)находим произведение дополнений данных чисел до 100;

3) приписываем это произведение к предыдущему результат (90), получаем ответ

5) Умножение чисел меньше 20.

Чтобы умножить два числа, которые меньше двадцати, достаточно прибавить к первому единицы второго, к результату приписать нуль и прибавить произведение единиц.

1) к первому числу прибавляем единицы второго 19+8=27

2) приписываем к результату нуль и прибавляем произведение единиц, получаем ответ: 270+9*8=342

— Надеюсь, что предложенные приёмы займут достойное место в жизни каждого человека, а работающие учителя будут постоянно использовать их в своей работе и формировать соответствующие навыки рациональных вычислений.

Спасибо, за внимание!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект открытого урока по математике на тему «Приемы письменного умножения для случаев вида 7019*4»

Урок математики в 4 классе показывает разнообразные виды работы учащихся на уроке с целью рассмотрения письменных приемов умножения многозначных чисел на однозначное, сравнение величин.

Конспект открытого урока по математике на тему «Приемы письменного умножения для случаев вида 7019*4»

Урок математики в 4 классе показывает разнообразные виды работы учащихся на уроке с целью рассмотрения письменных приемов умножения многозначных чисел на однозначное, сравнение величин.

Приложение к конспекту открытого урока по математике на тему «Приемы письменного умножения для случаев вида 7019*4»

Приложение к конспекту открытого урока по математикена тему «Приемы письменного умножения для случаев вида 7019*4».

Приемы табличного умножения числа 2.

Урок математики во 2 классе.Тип урока:ОНЗТЕМА: Приемы табличного умножения числа 2.Авторы: МороОсновные цели:1) Сформировать представление о способе умножения на число 22).

Повторение приемов рациональных устных вычислений. Решение задач

Технологическая карта урока1. Сарычева О.Г.2. Класс: 2«В» Дата: 18.10.18 Предмет: Математика3. Место и роль урока в изучаемой теме: урок закрепления4. Тема: повторение приемов рациональных.

ПРИЕМЫ ПИСЬМЕННОГО УМНОЖЕНИЯ ТРЕХЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА ОДНОЗНАЧНОЕ

Урокдля 3 класса на тему «Приемы письменного умножения трехзначного числа на однозначное&quot.

Конспект урока математики. Тема: «Приемы письменного умножения на однозначное число»

Тема: Приём письменного умножения на однозначное числоЦели деятельности учителя: ознакомление с приемом письменного умножения трёхзначного числа на однозначное без перехода через разряд в столбик.План.

Источник

Проектная работа «Рациональные способы счета»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №90»

«Рациональные способы счета»

ученик 5г класса Погребной Илья

Грибовская Валентина Алексеевна

Содержание проектной работы

«Счет и вычисления – основы порядка в голове»

Иоганн Генрих Песталоцци

Выбор темы и актуальность

Мы постоянно решаем разные задачи и в школе, и в быту, связанные с вычислениями. Чаще мы не можем выполнить эти вычисления устно, а делаем либо письменно в столбик, затрачивая уйму времени, либо на калькуляторе, а это, учитывая требования ЕГЭ, запрещенный прием.

И тут нам помогут рациональные способы вычисления.

«Овладение рациональной, быстрой и изящной техникой счета требует от человека определенных усилий, но дает взамен исключительный результат», — говорится в книге Сорокина А.С. «Техника счета».

«Неумение считать быстро и просто является настолько общим и современным недостатком, что мы его не замечаем, несмотря на весь приносимый им вред», — писал ученый И. Ф. Слудский.

Например, калькулятор не даст точное значение произведения 0,9999997∙0,9999998 (так как оно будет 15-тизначное), а такие и более сложные подсчеты производятся при расчете надежности элементов и систем.

А зная метод дополнений, его можно найти устно!

0,9.999.997 ∙ 0,9.999.998 = (1–0,0.000.003) ∙ (1–0,0.000.002) =1- 0,0.000.005 + +0,00.000.000.000.006 = 0,99.999.950.000.006.

Владение способами рационального счета – залог успешной учебы.

1. Изучить способы рационального счета.

2. Выяснить, как помогают навыки рационального счета успешной учебе.

1. Рассмотреть материал о способах рационального счета в имеющихся источниках.

2. Систематизировать приемы и способы.

3. Научиться рациональному счету.

4. Провести мастер-класс перед одноклассниками, показать преимущества владения навыками быстрого счета.

Вопросы, на которые я искал и нашел ответ в ходе работы над проектом :

Как произошли рациональные способы счёта.

Какие бывают рациональные способы счёта.

Сколько человек из нашего класса знают рациональные способы счёта.

Из истории рациональных способов счёта или устного счета

Ученые полагают, что человек научился считать более 100 тыс. лет назад . Вычислительные операции применялись во время обмена продуктами питания и орудиями труда с другими племенами, и для определения времени посадки растений.

Естественными «счетными устройствами» были пальцы рук и ног, которых древним людям вполне хватало для нехитрых расчетов.

Результаты счета фиксировались с помощью узелков на веревках или зарубок на ветках деревьев и костях животных.

Некоторые рациональные способы счёта при сложении и вычитании

При изучении данной темы я понял, что существует много рациональных способов счета, быстрых и удобных. Я покажу некоторые из них.

1 . Очень простой способ – сложение по разрядам. Для этого нужно:

Представить слагаемые в виде сумм разрядов.

Пример: 5287 + 3564

5000+3000=8000;
200+500=700;
80+60=140;
7+4=11;
8000 + 700 + 140 + 11 = 8851.

При вычитании по разрядам нужно:

Представить вычитаемое в виде суммы разрядов.

Выполнить последовательное вычитание.

Пример: 555 – 367

1) 555 – 300 = 255

2. Группировка чисел.
Если несколько слагаемых в сумме дают круглое число, то применяем переместительное и сочетательное свойства сложения.

1) 37 + 86 + 63 + 14 = (37+63) + (86+14) = 200.

2) 67 + 55 + 16 + 25 + 17 + 20 = (67+16+17) + (55+25+20) = 200.

Если несколько вычитаемых в сумме дают круглое число, то применяем свойство вычитания суммы из числа.

852 – 95 – 5 = 852 — (95 + 5) = 752.

2) 259 – 90 – 44 – 56 – 10 = 259 — (90+44+56+10)=59.

3. Круглое число.

Если слагаемое (вычитаемое) близко к круглому числу, то его округляют, а потом из ответа вычитают (прибавляют) избыток или недостаток.

1) 257+399 = 257 + 400 – 1 = 656.

2) 525+103 = 525 + 100 + 3 = 628.

765-389 = 765 – 400 + 11 = 376.

Некоторые рациональные способы счёта при умножении

1. Умножение по разрядам.

Чтобы умножить два числа, нужно:

1. Представить множитель в виде суммы разрядов.

2. Умножить каждое слагаемое и сложить.

Здесь используется распределительное свойство умножения (правило «фонтанчика»).

1) 28∙5 = (20 + 8) ∙5 = (20 ∙ 5) + (8 ∙ 5) = 100 + 40 = 140.

2) 935∙6 = (900+30+5) ∙6 = (900 ∙ 6)+(30 ∙ 6)+(5 ∙ 6) = 5400 + 180 + 30 = 5610.

2. Умножение на единицу с предшествующими нулями..

Чтобы умножить число на 0,1 , 0,01 , 0,001 и т. д., можно это число разделить на 10 , 100 , 1000 и т. д.

1) 635 ∙ 0,1 = 635:10 = 63,5.

2) 562 ∙ 0,01 = 562:100 = 5,62.

3) 384 ∙ 0,0001 = 384:10000 = 0,0384.

3. Умножение двузначного числа на 11.

При умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа «раздвигают» и в середину ставят сумму этих цифр.

1) 32 ∙ 11=352 , т. к. 2 + 3 = 5.

2) 54 ∙ 11=594 , т. к. 4 + 5 = 9.

3) 69 ∙ 11=759 , т.к. 6 + 9 = 15 (пятерку поставили в середину, а единицу добавили к разряду сотен).

4. Умножение на 1,5 и на 15.

1) При умножении на 1,5 к исходному числу прибавить его половину.

2) При умножении на 15 умножаем на 10 и прибавляем половину полученного произведения.

1) 62 ∙ 1,5 = 62 + 31 = 93.

2) 27∙ 1,5 = 27 + 13,5 = 40,5.

3) 27∙ 15 = 270 + 135 = 405.

5. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

Число, образованное из цифр, стоящих до 5 умножить на последующее число и приписать справа 25.

1) 8 ∙ 9 = 72 и приписываем 25.

2) 3 ∙ 4 = 12 и приписываем 0,25.

6. Способ умножения русских крестьян.

Один из множителей увеличиваем в несколько раз, а другой уменьшаем во столько же раз.

1) 24 ∙ 35 = (24 : 2) ∙ (35 ∙ 2) = 12 ∙ 70 = 840.

2) 23 ∙ 27 = 69 ∙ 9 = 207 ∙ 3 = 621.

Некоторые рациональные способы счёта при делении

1. Разложение делимого на слагаемые.

Разложение делимого на такие слагаемые, которые легко бы делились раздельно.

1) 8154:9 = (8100:9) + (54:9) = 900 + 6 = 906.

2 56820:5 = (50000:5)+(5000:5) + (1500:5)+(300:5)+(20:5) = 10000+1000+300+60+5 = 11365.

2. Деление на единицу с предшествующими нулями.
При делении на 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. число умножают на 10, 100, 1000 и т. д.

1) 50,01 : 0,1 = 50,01∙10 = 500,1.

2) 5621,25 : 0,01 = 5621,25 ∙ 100 = 562125.

3) 7,5 : 0,001 = 7,5 ∙ 1000 = 7500.

3. Деление числа на 0,5; 0,25; 0,125

Чтобы разделить число на 0,5, можно его умножить на 2.

Пример: 6 : 0,5 = 6∙2 = 12.

Чтобы разделить число на 0,25, можно его умножить на 4.

Пример: 54 : 0,25 = 54∙4 = 216.

Чтобы разделить число на 0,125, можно его умножить на 8.

Пример: 625 : 0,125 = 625∙8 = 5000.

4. Последовательное деление

Если делитель – составное число, то разлагаем его на множители и делим

последовательно на каждый множитель.

1) 144 : 18 = (144 : 2) : 9 = 72 : 9 = 8.

2) 210 : 15 = (210 : 3) : 5 = 70 : 5 = 14.

Я провёл мастер-класс в 5а и 5г классах, а затем опрос «Знаешь и пользуешься ли ты рациональными способами счёта?»

Для проверки результатов мастер — класса предложили и провели в 5г классе следующую работу:

Экспертиза навыков рационального счета

(заполняется только один столбиков)

При умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа «раздвигают» и в середину ставят сумму этих цифр

При умножении на 15 умножаем на 10 и прибавляем половину произведения

При делении на 0,1, 0,01, 0,001

число умножают на 10, 100, 1000

Чтобы разделить число на 0,5, можно его умножить на 2

Чтобы разделить число на 0,25 , можно его умножить на 4

Если слагаемое близко к круглому числу , то его округляют, а потом вычитают (прибавляют) избыток или недостаток

Если владеете иными способами рационального счета, то запишите его в этой строке

Результаты опроса: до мастер-класса знали приемы рационального счета – 2 человека, а после мастер-класса – 11 человек.

Я привел некоторые, изученные мною, рациональные способы счета. Я понял, что все они основываются на свойствах числа и действий: переместительное, сочетательное, распределительное.

Способы рационального сложения и вычитания

Сложение и вычитание по разрядам

Применение переместительного и сочетательного свойств сложения

Способы рационального умножения

Распределительное свойство умножения

Умножение на единицу с предшествующими нулями

Умножение на 1,5; 15

Умножение на 11

Способ умножения русских крестьян

Способы рационального деления

Разложение делимого на слагаемые

Деление числа на 0,5; 0,25; 0,125

Мне было интересно работать над проектом. Для меня открытием было, узнать, что способов рационального устного счета очень много и они достаточно эффективно экономят время.

Владение навыками рационального счета упрощает вычисления, экономит время, тренирует память, развивает математическое логическое мышление, является залогом успешной учебы.

В учебнике 5 класса мало примеров на рациональные способы счета, поэтому моя работа восполнит этот недостаток и может стать методическим пособием для одноклассников.

1. Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Сорокин А.С. Техника счета.- М.: Знание, 1976.

3. ж. «Математика», №3, 2018.

3. Ресурсы Интернет:

4. Презентация Microsoft Office PowerPoint .

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 798 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 277 человек из 70 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Владение способами рационального счета – залог успешной учебы.

Проект «Рациональные способы счёта» может служить п ятиклассникам пособием по овладению некоторыми способами рационального счета, как с натуральными числами, так и с десятичными дробями. Каждый способ обосновывается.

Приводится примерная работа для диагностики навыков рационального счета.

Номер материала: ДБ-1635658

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

ЕСПЧ запретил учителям оскорблять учеников

Время чтения: 3 минуты

На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр

Время чтения: 1 минута

Когда дети начинают шутить

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник