Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №28.Логарифмические неравенства.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Понятие логарифмического неравенства
2) Основные способы решения логарифмических неравенств
Глоссарий по теме
Логарифмические неравенства – это неравенства вида 
, где 
и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Решение логарифмических неравенств:
(знак неравенства сохраняется)
(знак неравенства меняется)
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.
Лысенко Ф. Ф. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2008. Под редакцией – Ростов-на-Дону: Легион, 2007. 256 с.
Шестаков С.А., Трепалин А.С., Ященко И.В., Захаров П.И.; под ред. Ященко И. В. ЕГЭ 2016. Математика. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2016. – 295, [1] c.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Логарифмические неравенства – это неравенства вида 
, где 
и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Способы решения логарифмических неравенств основаны на монотонности логарифмической функции в зависимости от основания логарифма. Функция возрастает, если 
и убывает, если 
.
(знак неравенства сохраняется)
(знак неравенства меняется)
Решить неравенство
.
Основание логарифма 3 > 1, значит используем 1 схему.
; 
; 
.
Решить неравенство 
.
Выполним преобразование правой части: заменим 
и используем свойство суммы логарифмов.
Основание логарифма 
, значит используем 2 схему.
;
; 
; 
.
Ответ: 
Решение логарифмических уравнений и неравенств встречается в заданиях ГИА.
Задача 1. Решите неравенство
.
Замена: 
.
Рассмотрим функцию: 
.
Нули: 
Обратная замена: 
Используем определение логарифма, учитывая, что основание 2 >1.
; 
; 
;
Ответ: 
Задача 2. Решите неравенство
.
;
Квадраты противоположных чисел равны, поэтому применяя свойство логарифма степени, не забываем поставить модуль.
;
Т. к. основание логарифма содержит переменную, необходимо рассмотреть 2 случая.
1. 
; 
; 
;
; 
.
2. 
.
; 
; 
;
; 
.
Ответ: 
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства 
.
- Упростим левую часть неравенства, используя основное логарифмическое тождество:
- Приведем подобные слагаемые.
- Разделим неравенство на 2. (2 > 0, знак неравенства не меняем):
Источник
Логарифмические неравенства
Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.
Давайте повторим, что такое логарифмы:
Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Алгоритм решения логарифмических неравенств
Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.
И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .
Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение
Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.
Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.
1. Рассмотрим неравенство log3x > log35.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.
Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»
Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?
Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.
Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?
Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log3x1 > log3x2 следует, что x1 > x2. 
Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.
Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.
Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому
Решая эту систему, получим: x > 0.
Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.
А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.
3. 
Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть
Решая эту систему, получим: x > 4,5.
Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента: 
И если , то
2x − 9 ≤ x.
Получим, что x ≤ 9.
Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:
В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.
Теперь более сложные неравенства:
4. Решите неравенство
5. Решите неравенство
Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.
Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!
6.
Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:
Упростим эту систему:
Это область допустимых значений неравенства.
Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что
В данном случае удобно перейти к основанию 4.
Сделаем замену
Упростим неравенство и решим его методом интервалов:
Вернемся к переменной x:
Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).
Ответ:
7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов
Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае
0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″/>Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:
Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:
Видим, что условие 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″/> (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.
Решаем неравенство методом интервалов:
Ответ:
Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:
8. Решите неравенство:
Неравенство равносильно системе:
9. Решите неравенство:
Выражение 5 — x 2 навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:
Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда
Неравенство примет вид:
Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, ( t − 3) (5 9 · t − 1) > 0
Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.
А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625 t − 2) 2 .
Это означает, что 625 t − 2 ≠ 0, то есть
Аккуратно запишем ОДЗ
и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.
Итак,
Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:
«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.
Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:
0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3)%5E%3C2%3E-(625t-2)%5E%3C2%3E%3E0;»/>
0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3-625t+2)(t-3+625t-2)%3E0;»/>
0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(-624t-1)(626t-5)%3E0.»/> 
Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.
Получим, что
Вернемся к переменной x
Поскольку
9;» src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E%3C2%3E%3E&space;9;»/> 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-3)(x+3)%3E0″/>
Ответ:
10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.
Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:
Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию
Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.
Выражение lg | x − 3| равно нулю, если | x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.
Выражение lg (| x| − 2) равно нулю, если | x| = 3, то есть в точках 3 и −3.
Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.
Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.
Ответ:
11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.
Запишем ОДЗ:
0\\ x+2\neq 1\\ 36+16x-x^<2>>0\\ x\neq 18 \end
Итак, Это ОДЗ.
Обратите внимание, что .
Это пригодится вам при решении неравенства.
Упростим исходное неравенство:
Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x x — 18) 2 =(18 — x) 2 . Тогда:
Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:
Дальше – всё просто. Сделаем замену
Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда
— не удовлетворяет ОДЗ;
Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.
Источник
