Что такое дихотомический способ

Методы дихотомии

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Существует довольно очевидная теорема: «Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но м.б. и несколько)». На базе этой теоремы построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией, т.е. делением отрезка на две части. Обобщенный алгоритм выглядит так:

1. Задать начальный интервал ;
2. Убедиться, что на концах функция имеет разный знак;
3. Повторять
   • выбрать внутри интервала точку ;
   • сравнить знак функции в точке со знаком функции в одном из концов;
     • если совпадает, то переместить этот конец интервала в точку ,
     • иначе переместить в точку другой конец интервала;

пока не будет достигнута нужная точность.

Варианты метода дихотомии различаются выбором точки деления. Рассмотрим варианты дихотомии: метод половинного деления и метод хорд.

Метод половинного деления

Метод половинного деления известен также как метод бисекции. В данном методе интервал делится ровно пополам.

Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции — и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое — метод никогда не сойдется быстрее, т.е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Метод половинного деления:

1. Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента.
2. Применяется для нахождения значений действительно-значной функции, определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум, максимум или конкретное число).

Метод половинного деления как метод поиска корней функции

Изложение метода

Перед применением метода для поиска корней функции необходимо отделить корни одним из известных способов, например, графическим методом. Отделение корней необходимо в случае, если неизвестно на каком отрезке нужно искать корень.

Будем считать, что корень функции отделён на отрезке . Задача заключается в том, чтобы найти и уточнить этот корень методом половинного деления. Другими словами, требуется найти приближённое значение корня с заданной точностью .

Пусть функция непрерывна на отрезке ,

и — единственный корень уравнения .

(Мы не рассматриваем случай, когда корней на отрезке несколько, то есть более одного. В качестве можно взять и другое достаточно малое положительное число, например, .)

Поделим отрезок пополам. Получим точку и два отрезка .

• Если , то корень найден ( ).
• Если нет, то из двух полученных отрезков и надо выбрать один такой, что , то есть
  • , если или
  • , если .

Новый отрезок делим пополам. Получаем середину этого отрезка и так далее.

Для того, чтобы найти приближённое значение корня с точностью до 0″ alt= » \eps >0″/>, необходимо остановить процесс половинного деления на таком шаге , на котором

Однопараметрическая оптимизация (поиск экстремумов функций одной переменной) является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к ней сводится гораздо более сложная задача — поиск экстремума функции многих переменных.

Рассмотрим метод половинного деления как простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации. Данный метод является методом прямого поиска. В нем при поиске экстремума целевой функции используются только вычисленные значения целевой функции.

Дана функция . Необходимо найти , доставляющий минимум (или максимум) функции на интервале с заданной точностью , т.е. найти

Запишем словесный алгоритм метода.

1. На каждом шаге процесса поиска делим отрезок пополам, — координата середины отрезка .
2. Вычисляем значение функции в окрестности вычисленной точки , т.е.
   .
3. Сравниваем и и отбрасываем одну из половинок отрезка (рис. 1).
   • При поиске минимума:
     • Если , то отбрасываем отрезок , тогда . (рис. 1.а)
     • Иначе отбрасываем отрезок , тогда . (рис. 1.б)
   • При поиске максимума:
     • Если , то отбрасываем отрезок , тогда .
     • Иначе отбрасываем отрезок , тогда .
4. Деление отрезка продолжается, пока его длина не станет меньше заданной точности , т.е. .

Схема алгоритма метода представлена на рис 2.

При выводе – координата точки, в которой функция имеет минимум (или максимум), – значение функции в этой точке.

Метод хорд

Недостаток деления отрезка строго пополам проистекает от того, что он использует лишь знак функции, игноририруя отклонение (абсолютную величину). Но очевидно, что чем меньше (по абсолютной величине) значение функции, тем ближе мы находимся к корню. Метод хорд предлагает делить отрезок в точке, отстоящей от краев отрезка пропорционально абсолютному значению функции на краях. (Название «метод хорд» происходит от того, что точка деления является пересечением отрезка — хорды — с осью абцисс.)

Изложение метода

Метод основан на замене функции на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью дает приближение корня.

При этом в процессе поиска семейство хорд может строиться:

1. при фиксированном левом конце хорд, т.е. , тогда начальная точка (рис. 3а);
2. при фиксированном правом конце хорд, т.е. , тогда начальная точка (рис. 3б);

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:

Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие или .

Метод обеспечивает быструю сходимость, если 0″ alt= «f(z)\cdot f»(z) > 0″/>, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала , где знаки функции и ее кривизны совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня методом хорд представлена на рис. 4.

Комбинация метода хорд и метода половинного деления

Метод хорд можно применить в качестве «последнего штриха» после того, как метод половинного деления гарантирует требуемую точность — это не улучшит существенно гарантируемой точности, но, скорее всего, на несколько порядков повысит точность решения.

Если применять аналогичное уточнение к интервалу, полученному методом хорд, то эффект будет значительно слабее. Это ещё раз иллюстрирует тот факт, что метод хорд очень хорошо работает в условиях малого интервала (близости обеих границ интервала к корню), но неспособен сам создать себе эти условия (приблизить обе границы к корню).

На вопрос о том, стоит ли использовать попеременное применение метода половинного деления и метода хорд, ответ отрицателен. После того, как метод хорд приближает одну из границ почти вплотную к корню, методу половинного деления придётся долго работать, чтобы гарантировать заданную точность, т.к. метод хорд ее гарантировать не может.

Поэтому лучше использовать в качестве точки деления что-то среднее: если метод половинного деления предлагает использовать , а метод хорд — , то возьмем . Коэффициент .

Чему должен быть равен коэффициент ? Его следует не задавать, а вычислять по ходу работы: если при очередной операции интервал уменьшился более чем в два раза (это то, что гарантирует метод половинного деления), то значит, нужно больше доверять методу хорд (уменьшить ), и наоборот.

Может показаться, что при большом доверии к методу хорд этот комбинированный метод работает так же, как метод хорд. На самом деле, это не так: метод хорд передвигает по направлению к корню только одну границу, а комбинированный метод даже при высоком доверии к методу хорд передвигает и вторую границу, обеспечивая лучшие условия для работы метода хорд, а значит — для ещё большего доверия к нему.

Источник

Метод дихотомии

Дихотоми́я (греч. διχοτομία : δῐχῆ , «надвое» + τομή , «деление») — последовательное деление на две части, не связанные между собой. Дихотомическое деление в математике, философии, логике и лингвистике является способом образования взаимоисключающих подразделов одного понятия или термина и служат для образования классификации элементов.

Содержание

Пример

Объём понятия «человек» можно разделить на два взаимоисключающих класса: мужчины и не мужчины. Понятия «мужчины» и «не мужчины» являются противоречащими друг другу, поэтому их объёмы не пересекаются. От дихотомии следует отличать обычное деление, приводящее к тому же самому результату. Например, объём понятия «человек» можно разделить по признаку пола на мужчин и жен­щин. Но между понятиями мужчина и женщина нет логичес­кого противоречия, поэтому здесь нельзя говорить о дихотомичес­ком делении.

Преимущества и недостатки

Дихотомическое деление привлекательно своей простотой. Дей­ствительно, при дихотомии мы всегда имеем дело лишь с двумя классами, которые исчерпывают объем делимого понятия. Таким образом, дихотомичес­кое деление всегда соразмерно; члены деления исключают друг друга, так как каждый объект делимого множества попадает только в один из классов а или не а; деление проводится по одному основа­нию — наличие или отсутствие некоторого признака. Обозначив делимое понятие буквой а и выделив в его объёме некоторый вид, скажем, b, можно разделить объем а на две части — b и не b.

Дихотомическое деление имеет недостаток: при делении объё­ма понятия на два противоречащих понятия каждый раз остаётся крайне неопределённой та его часть, к которой относится части­ца «не». Если разделить учёных на историков и не историков, то вторая группа оказывается весьма неясной. Кроме того, если в начале дихотомического деления обычно довольно легко устано­вить наличие противоречащего понятия, то по мере удаления от первой пары понятий найти его становится все труднее.

Применение

Дихотомия обычно используется как вспомогательный приём при установлении клас­сификации.

Также она известна благодаря достаточно широко используемому методу поиска, так называемому методу дихотомии. Он применяется для нахождения значений действительно-значной функции, определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум, максимум или конкретное число). Рассмотрим метод дихотомии условной одномерной оптимизации (для определённости минимизации).

Метод дихотомии

Метод дихотомии несколько схож с методом двоичного поиска, однако отличается от него критерием отбрасывания концов.

Пускай задана функция .

Разобьём мысленно заданный отрезок пополам и возьмём две симметричные относительно центра точки и так, что:

,

где — некоторое число в интервале

Отбросим тот из концов изначального интервала, к которому ближе оказалась одна из двух вновь поставленных точек с максимальным значением (напомним, мы ищем минимум), то есть:

• Если , то берётся отрезок , а отрезок отбрасывается.
• Иначе берётся зеркальный относительно середины отрезок , а отбрасывается .

Процедура повторяется пока не будет достигнута заданная точность, к примеру, пока длина отрезка не достигнет удвоенного значения заданной погрешности.

На каждой итерации приходится вычислять новые точки. Можно добиться того, чтобы на очередной итерации было необходим высчитывать лишь одну новую точку, что заметно способствовало бы оптимизации процедуры. Это достигается путём зеркального деления отрезка в золотом сечении, в этом смысле метод золотого сечения можно рассматривать, как улучшение метода дихотомии с параметром .

Источник