Что такое аналитический способ решения неравенства

Понятие о квадратном неравенстве и его решении, аналитический способ решения — КВАДРАТНОЕ НЕРАВЕНСТВО И ЕГО РЕШЕНИЕ — КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Цель: рассмотрение квадратного неравенства и его решения, аналитического способа решения.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала (основные понятия)

Понятие квадратного неравенства аналогично понятию квадратного уравнения. Если в одной части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в другой — число нуль, такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства 3х2 — 2х — 1 ≤ 0 и -5х2 + 3х + 2 > 0 являются квадратными. Вообще, если в части неравенства переменная х входит в степени 2 и ниже, то после несложных преобразований такое неравенство сводится к квадратному.

В неравенстве 2х2 ≥ 5х — 3 перенесем (изменяя знак) члены 5х и -3 в левую часть и получим квадратное неравенство 2х2 — 5х + 3 ≥ 0.

Напомним, что решением неравенства с одним неизвестным называется такое значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет. Например, для неравенства примера 1 число х = 2 является одним из решений, а число х = 1,2 — нет.

К квадратным неравенствам приводят многие геометрические и текстовые задачи.

Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую — на 6 см. Площадь получившегося прямоугольника стала больше 45 см3. Какова была сторона квадрата?

Пусть сторона квадрата равна х см, тогда стороны прямоугольника (х + 2) см и (х + 6) см и его площадь равна (х + 2)(х + 6) см2. По условию задачи получаем неравенство (х + 2)(x + 6) > 45 или х2 + 8х + 12 > 45, или x2 + 8x – 33 > 0. Разложим левую часть неравенства на множители (х – 3)(х + 11) > 0. Так как по условию х > 0, то и х + 11 > 0. Разделим обе части неравенства на положительное выражение х + 11, (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем линейное неравенство х — 3 > 0, откуда х > 3. Итак, сторона квадрата больше 3 см.

На плану производит построение рота солдат, состоящая не менее чем из 72 человек. Оказалось, что шеренг на 6 больше, чем солдат в каждой шеренге. Сколько может быть солдат в каждой шеренге?

Пусть число солдат в каждой шеренге равно х, тогда число шеренг равно х + 6 и число солдат в роте равно х(х + 6). По условию задачи получаем неравенство х(х + 6) ≥ 72 или х2 + 6х – 72 ≥ 0. Разложим левую часть этого квадратного неравенства на множители (х + 12)(х — 6) ≥ 0. Так как по условию х > 0, то и х + 12 > 0. Разделим обе части неравенства на положительное выражение х + 12 (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем линейное неравенство х — 6 ≥ 0, откуда х ≥ 6. Итак, в каждой шеренге находится не менее 6 солдат.

Заметим, что в двух последних примерах по условию задачи возникало дополнительное условие х > 0, что позволило легко свести квадратное неравенство к линейному неравенству и решить его. Теперь рассмотрим решение квадратных неравенств (без ограничений на х).

Решим неравенство x2 + 8х – 33 > 0.

Квадратное уравнение х2 + 8х — 33 = 0 имеет два корня x1 = -11 и х2 = 3. Поэтому квадратный трехчлен x2 + 8x — 33 можно разложить на множители x2 + 8x – 33 = (x + 11)(x — 3). Тогда данное неравенство имеет вид (х + 11)(х — 3) > 0. Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая.

1) Пусть оба множителя положительны, т. е. х + 11 > 0 и х — 3 > 0. Получаем систему линейных неравенств Решая систему, имеем откуда х > 3. Итак, все числа х > 3 являются решениями неравенства (х + 11)(x — 3) > 0.

2) Пусть оба множителя отрицательны, т. е. х + 11 0. Таким образом, решениями неравенства (х + 11)(x — 3) > 0, а следовательно, и данного неравенства х2 + 8х – 33 > 0 являются числа х 3. Итак, х 3.

Итак, при решении квадратного неравенства ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c 0 или а(х – х1)(x – х2) 0). Итак, при a = 2 решение данного неравенства х = 2.

3) Пусть a > 2. Тогда получаем две системы линейных неравенств: или (решение этой системы 2 ≤ х ≤ a) и или (такая система решений не имеет, т. к. а > 2). Итак, при а > 2 решение данного неравенства 2 ≤ х ≤ а.

Так как в задачах с параметрами очень важен правильный ответ, то выпишем ответ данной задачи: при а 2 2 ≤ х ≤ а.

Заметим, что аналогичный подход можно использовать и при решении неравенств с модулями. При этом надо помнить, что при возведении в квадрат неотрицательных частей неравенства знак неравенства сохраняется и получается равносильное неравенство (т. е. имеющее те же решения, что и данное неравенство). Учитывая свойство модуля |а| = а2, отпадает необходимость раскрытия модуля.

Решим неравенство

Возведем в квадрат обе неотрицательные части данного неравенства и получим: или (при этом знак модуля исчезает). Перенесем все члены неравенства в левую часть Используя формулу разности квадратов, разложим эту часть на множители. Имеем: или или Произведение множителей положительно, если множители х — 2 и х + 1 имеют одинаковые знаки. Получаем две системы линейных неравенств.

1) или Решение этой системы х > 2.

2) или Решение этой системы х 2.

Решим неравенство

Возведем в квадрат обе неотрицательные части данного неравенства и получим: или (при этом знаки модулей исчезают). Перенесем все члены неравенства в левую часть Используя формулу разности квадратов, разложим эту часть на множители. Имеем: или или Произведение множителей отрицательно, если множители 2 — х и 3х — 1 имеют разные знаки. Получаем две системы линейных неравенств.

1) или Решение этой системы x 2.

Итак, решение данного неравенства х 2.

III. Контрольные вопросы

1. Какое неравенство называется квадратным? Приведите примеры.

2. Что называется решением неравенства с одной переменной?

3. Что значит решить неравенство?

4. Как решают квадратное неравенство (опишите алгоритм)?

IV. Задание на уроке

№ 649; 650 (1, 4); 651 (1, 2); 652 (2, 3); 653 (1, 4); 654 (5); 655 (1, 4); 657.

V. Задание на дом

№ 650 (2, 3); 651 (3, 4); 652 (1,4); 653 (2, 3); 654 (6); 655 (2, 3); 658.

VI. Творческие задания

1. При всех значениях параметра а решите неравенство:

Ответы: а) при всех а х = a/2;

б) при всех а х — любое число, кроме х = -3/4а;

в) при всех а решений нет;

г) при всех а х — любое число;

д) при а 1, при а = 1 х — любое число, кроме х = 1, при а > 1 х a;

е) при а 1 2 ≤ х ≤ 2а;

ж) при а 3 3 -4 х ≤ -4 и х ≥ a;

и) при a > 0 х ≤ 2а и х ≥ a, при a = 0 х — любое число, при a > 0 х ≤ a и х ≥ 2a.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2021 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.

Источник

Реферат на тему Графическое решение уравнений и неравенств

Тема: « Графическое решение уравнений и неравенств »

1 Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.

Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств.

Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества

Содержание

1 Сравнение аналитического и графического способа решения уравнений и неравенств

-. Применение графиков в решении квадратного уравнения

— Применение графиков в решении неравенств

2 Системы уравнений и неравенств

3 Тригонометрические уравнения

4 Решение уравнений и неравенств содержащие модули

5 Графический способ решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля

7 Список литературы

Одним из эффективных методов решения нестандартных уравнений и неравенств является графический метод. Однако внимания этому методу в практике обучения уделяется немного. Это связано с тем, что построение графиков функций − трудоемкий процесс, требующий много времени. В учебно-методических комплексах решение уравнений и неравенств с помощью графического представления функций практически не рассматривается, исключение составляют лишь учебно-методические комплексы А.Г.Мордковича

Графический метод является эффективным при решении нестандартных уравнений и неравенств, например, с параметром, решение которых аналитически приводит к громоздким и трудным вычислениям

1 Сравнение аналитического и графического способа решения уравнений и неравенств

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x 2 +px+q=0;

Перепишем его так:x 2 =-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x 2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия.. Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения

Пример 1 Решить квадратное уравнение

— х 2 + 3х:-4 = 0 и соответствующие ему неравенства: — х 2 + 3х — 4 > 0 и

Решение./. Алгебраический метод

— х 2 + Зх — 4 = 0, здесь а = -1, Ь = 3, с = — 4, тогда дискриминант этого уравнения равен: D = Ь 2 — 4 ас = — 7. Так как D

II. Графический метод

Построим график функции у = — х 2 + Зх — 4. Найдем сначала координаты вершины параболы.

а = -1 (а 0, значит, ветви параболы направлены вниз),

Хо=1.5 -,у =- 1.75. Значит, вершиной параболы является точка ( 1.5; —1.75), а

осью параболы – прямая х=1.5

Так же, как и в предыдущих примерах, выполняем построение графика, учитывая, что ветви параболы направлены вниз (рис. 8).

Как видно из рисунка, парабола не пересекает ось ОХ , значит, данное уравнение -х 2 + 3х — 4 = 0 не имеет корней.

Читайте также:  Возврат займа каким способом

Решаем с помощью графика соответствующие неравенства:

Графически решить уравнение:

графики функций (Рис. 1).

Графиком функции является парабола, проходящая через точки

График функции – прямая, построим её по таблице.

Графики пересекаются в точке Других точек пересечения нет.

Ответ:

2 Графическое решение системы уравнений и неравенств

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны

Пример . Решить систему

Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1

Построим график функции Это ломаная

Повместим оба графика в одну систему координат

Получаем три точки пересечения – т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).

Ответ:

Пример Найти графически решения системы неравенств:

Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x + 2 y – 2 = 0

y – x – 1 = 0 Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2

3 Графическое решение тригонометрических уравнений и неравенств :

Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx

Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения:

Ответ х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,гдеkЄZ

Решить неравенство sin x>-1/2.

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2].

Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].

Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает

Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке

[-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6) В силу периодичности функции sin x с периодом 2π.

4 Решение неравенств и уравнений с модулем

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основывается на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров разными способами и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль

Решить неравенство |x-1|+|x+1|

Построим графики функций:y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.

На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)

Задачи с параметрами

Задачи с параметрами являются самыми сложными из всех заданий школьного курса математики. Для их решения требуется умение мыслить логически: необходимо в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают уже полученные результаты. В заданиях по математике проверяется умение мыслить сжато, логично и аргументировано

5 Графический способ решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля

Пример . При каких a неравенство выполняется для всех ?

Решение: . Рассмотрим две функции

Построим эскизы графиков функций:

Следовательно, при a =4+2 y=1- a x – касательная к y=|x2-4x+3|. Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы

Ответ

Графический метод позволил значительно сократить время, затраченное учащимися на выполнение задания.

решавшая задания аналитически, в ходе решения тратили гораздо больше времени на описание хода решения, рассмотрение различных случаев .

Графическое решение позволяет гораздо быстрее и изящнее получить решение задачи

При этом формируется геометрическое мышление, то есть развивается умение оперировать различными геометрическими образами .

7 Список литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 .

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 1986 г.

Источник