Что такое аналитический способ решения неравенств

Аналитический способ решения систем неравенств, 8 класс.

Конспект урока по теме

«Аналитический способ решения систем неравенств»

Тип урока : урок решения познавательных задач.

Формы работы : фронтальная, работа в парах.

Методы обучения: поисково-исследовательский, проблемный.

Технологии: исследовательская, проблемная.

Цели урока: 1) Формировать умения применять ранее полученные знания о решении систем неравенств в новых условиях; 2) Создать условия для включения учащихся в исследовательскую деятельность; 3) Формировать учебно-интеллектуальные умения: анализировать, обобщать, рассуждать.

Задачи: 1) Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Решение систем неравенств», учить применять теоретические знания при исследовании решения заданий с параметрами. 2) Развивающие: развивать навыки самостоятельной работы, формировать навыки применения ранее полученных знаний о решении систем неравенств на более высоком уровне – решение систем неравенств с параметром. 3) Воспитательные: формировать творческий подход к решению поставленной задачи, интерес к познавательному поиску, воспитывать взаимоуважение, умение выслушать выступающего, содействовать воспитанию у учащихся аккуратности, вычислительной культуры.

Ожидаемые результаты: Личностные: сотрудничество с одноклассниками и учителем; осознание, принятие и разрешение проблемы учащимися; стремление открывать новое знание, новые способы действия через сравнение и сопоставление фактов, от простого к сложному.

Предметные: научиться применять полученные знания о решении систем неравенств при решении заданий с параметрами, увидеть значимость данной темы.

Метапредметные: умение грамотно и логично излагать свои мысли, умение работать в парах, умение контролировать свои действия при выполнении заданий исследовательского характера, умение оценивать себя, своего одноклассника.

План урока: I . Организационный момент, постановка целей и задач урока (2 мин.). II . Актуализация опорных знаний, умений, навыков (3 мин.). III . Постановка проблемы. Работа в группах (4 мин.). IV . Обсуждение решений (5 мин.). V . Выполнение заданий методом исследования (25 мин.). VI. Рефлексия (1 мин.).

I . Учитель проверяет готовность класса к уроку. Отмечает отсутствующих. Ставит цели и задачи урока.

II . Опрос учащихся по вопросам: 1) Что называется решением системы неравенств с одной переменной?

2) Что значит решить систему неравенств с одной переменной?

3) Изобразите на координатной прямой числовые промежутки заданного вида

4) Решите систему неравенств

и соотнеси с ответом [0;2]

Решением системы неравенств с одной переменной наз. значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств с одной переменной – значит найти все ее решения или доказать ,что решений нет.

(-3;3) ;+ ) (- )

Решением системы неравенств является отрезок [0;3]. Следовательно, числовой промежуток

[0;2] также может быт решением системы.
Ответ: [0;3].

III . Учитель определяет задания каждой группе

В решении ученика закрались несколько ошибок. Найдите их.

I группа.

II группа

Решите двойное неравенство.

-3 6х+1 13

-2

Найдите значения х, при которых функции у= 1-х и

у= х+2 одновременно:

Класс разбивается на 6 групп по 4-5 человек.

Задания ориентированы на проверку внимательности учеников.

Акцент делается на то, что ошибкой может быть не только неправильный ответ, но и сам ход рассуждения.

Исследовательская работа по нахождению решения системы неравенств, решению двойного неравенства, нахождению значения аргумента, при которых данные функции одновременно отрицательны или положительны.

IV . Обсуждение решений.

Ученик с каждой группы предоставляет решение.

V .Учитель контролирует работу учащихся у доски. Оказывает помощь в исследовательской работе.

1.Найдите середину промежутка, служащего решением системы неравенств:

2.Соедините неравенства по два так, чтобы они образовывали систему, которая будет иметь решения.

1)1-6х

2)3х-2

3)4-2х

4)5х-1

5) 5х-7

6)2х-1

7)2-3х

3.При каких значениях параметра р система

а) имеет решения?

б) не имеет решений?

Работа коллективная, у доски.

III . Учитель определяет задания каждой группе

Верно ли утверждение?

I группа. Если 3а-2в > 2в-а, то а >в?

II группа. Если 4а-в а?

II группа. Если 3а+2в

IV . Учитель предлагает самостоятельно выполнить задание, изображенное на доске:

На доске написаны задача и ход ее решения. Но кое-что один и учеников нечаянно стер с доски. Давайте восстановим пробелы.

Мальчики собирали сборники песен на дисках. У Пети было на 3 диска …(больше), чем у Жени. Сколько было дисков у каждого мальчика, если известно, что вместе у них было не больше …(7) дисков?

Данное задание призвано подготовить учеников к выполнению самостоятельной работы.

V .Учитель предлагает выполнить самостоятельную работу:

Коты охотились на мышей. Белый кот поймал на 4 мыши больше, чем черный кот. Однако вместе они поймали меньше рыжего, у которого в итоге оказалось 12 мышей. Сколько мышей мог поймать черный кот?

VI . Поставьте себе оценку за урок.

На полях каждый ставит себе оценку за урок.

Источник

Понятие о квадратном неравенстве и его решении, аналитический способ решения — КВАДРАТНОЕ НЕРАВЕНСТВО И ЕГО РЕШЕНИЕ — КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Цель: рассмотрение квадратного неравенства и его решения, аналитического способа решения.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала (основные понятия)

Понятие квадратного неравенства аналогично понятию квадратного уравнения. Если в одной части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в другой — число нуль, такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства 3х2 — 2х — 1 ≤ 0 и -5х2 + 3х + 2 > 0 являются квадратными. Вообще, если в части неравенства переменная х входит в степени 2 и ниже, то после несложных преобразований такое неравенство сводится к квадратному.

В неравенстве 2х2 ≥ 5х — 3 перенесем (изменяя знак) члены 5х и -3 в левую часть и получим квадратное неравенство 2х2 — 5х + 3 ≥ 0.

Напомним, что решением неравенства с одним неизвестным называется такое значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет. Например, для неравенства примера 1 число х = 2 является одним из решений, а число х = 1,2 — нет.

К квадратным неравенствам приводят многие геометрические и текстовые задачи.

Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую — на 6 см. Площадь получившегося прямоугольника стала больше 45 см3. Какова была сторона квадрата?

Пусть сторона квадрата равна х см, тогда стороны прямоугольника (х + 2) см и (х + 6) см и его площадь равна (х + 2)(х + 6) см2. По условию задачи получаем неравенство (х + 2)(x + 6) > 45 или х2 + 8х + 12 > 45, или x2 + 8x – 33 > 0. Разложим левую часть неравенства на множители (х – 3)(х + 11) > 0. Так как по условию х > 0, то и х + 11 > 0. Разделим обе части неравенства на положительное выражение х + 11, (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем линейное неравенство х — 3 > 0, откуда х > 3. Итак, сторона квадрата больше 3 см.

На плану производит построение рота солдат, состоящая не менее чем из 72 человек. Оказалось, что шеренг на 6 больше, чем солдат в каждой шеренге. Сколько может быть солдат в каждой шеренге?

Пусть число солдат в каждой шеренге равно х, тогда число шеренг равно х + 6 и число солдат в роте равно х(х + 6). По условию задачи получаем неравенство х(х + 6) ≥ 72 или х2 + 6х – 72 ≥ 0. Разложим левую часть этого квадратного неравенства на множители (х + 12)(х — 6) ≥ 0. Так как по условию х > 0, то и х + 12 > 0. Разделим обе части неравенства на положительное выражение х + 12 (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем линейное неравенство х — 6 ≥ 0, откуда х ≥ 6. Итак, в каждой шеренге находится не менее 6 солдат.

Заметим, что в двух последних примерах по условию задачи возникало дополнительное условие х > 0, что позволило легко свести квадратное неравенство к линейному неравенству и решить его. Теперь рассмотрим решение квадратных неравенств (без ограничений на х).

Решим неравенство x2 + 8х – 33 > 0.

Квадратное уравнение х2 + 8х — 33 = 0 имеет два корня x1 = -11 и х2 = 3. Поэтому квадратный трехчлен x2 + 8x — 33 можно разложить на множители x2 + 8x – 33 = (x + 11)(x — 3). Тогда данное неравенство имеет вид (х + 11)(х — 3) > 0. Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая.

1) Пусть оба множителя положительны, т. е. х + 11 > 0 и х — 3 > 0. Получаем систему линейных неравенств Решая систему, имеем откуда х > 3. Итак, все числа х > 3 являются решениями неравенства (х + 11)(x — 3) > 0.

2) Пусть оба множителя отрицательны, т. е. х + 11 0. Таким образом, решениями неравенства (х + 11)(x — 3) > 0, а следовательно, и данного неравенства х2 + 8х – 33 > 0 являются числа х 3. Итак, х 3.

Итак, при решении квадратного неравенства ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c 0 или а(х – х1)(x – х2) 0). Итак, при a = 2 решение данного неравенства х = 2.

3) Пусть a > 2. Тогда получаем две системы линейных неравенств: или (решение этой системы 2 ≤ х ≤ a) и или (такая система решений не имеет, т. к. а > 2). Итак, при а > 2 решение данного неравенства 2 ≤ х ≤ а.

Так как в задачах с параметрами очень важен правильный ответ, то выпишем ответ данной задачи: при а 2 2 ≤ х ≤ а.

Заметим, что аналогичный подход можно использовать и при решении неравенств с модулями. При этом надо помнить, что при возведении в квадрат неотрицательных частей неравенства знак неравенства сохраняется и получается равносильное неравенство (т. е. имеющее те же решения, что и данное неравенство). Учитывая свойство модуля |а| = а2, отпадает необходимость раскрытия модуля.

Решим неравенство

Возведем в квадрат обе неотрицательные части данного неравенства и получим: или (при этом знак модуля исчезает). Перенесем все члены неравенства в левую часть Используя формулу разности квадратов, разложим эту часть на множители. Имеем: или или Произведение множителей положительно, если множители х — 2 и х + 1 имеют одинаковые знаки. Получаем две системы линейных неравенств.

1) или Решение этой системы х > 2.

2) или Решение этой системы х 2.

Решим неравенство

Возведем в квадрат обе неотрицательные части данного неравенства и получим: или (при этом знаки модулей исчезают). Перенесем все члены неравенства в левую часть Используя формулу разности квадратов, разложим эту часть на множители. Имеем: или или Произведение множителей отрицательно, если множители 2 — х и 3х — 1 имеют разные знаки. Получаем две системы линейных неравенств.

1) или Решение этой системы x 2.

Итак, решение данного неравенства х 2.

III. Контрольные вопросы

1. Какое неравенство называется квадратным? Приведите примеры.

2. Что называется решением неравенства с одной переменной?

3. Что значит решить неравенство?

4. Как решают квадратное неравенство (опишите алгоритм)?

IV. Задание на уроке

№ 649; 650 (1, 4); 651 (1, 2); 652 (2, 3); 653 (1, 4); 654 (5); 655 (1, 4); 657.

V. Задание на дом

№ 650 (2, 3); 651 (3, 4); 652 (1,4); 653 (2, 3); 654 (6); 655 (2, 3); 658.

VI. Творческие задания

1. При всех значениях параметра а решите неравенство:

Ответы: а) при всех а х = a/2;

б) при всех а х — любое число, кроме х = -3/4а;

в) при всех а решений нет;

г) при всех а х — любое число;

д) при а 1, при а = 1 х — любое число, кроме х = 1, при а > 1 х a;

е) при а 1 2 ≤ х ≤ 2а;

ж) при а 3 3 -4 х ≤ -4 и х ≥ a;

и) при a > 0 х ≤ 2а и х ≥ a, при a = 0 х — любое число, при a > 0 х ≤ a и х ≥ 2a.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Источник