Что такое алгебраический способ решения неравенств

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

• Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
• Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов это:

• введение функции y = ax + b;
• поиск нулей для разбиения области определения на промежутки;
• отметить полученные корни на координатной прямой;
• определение знаков и отмечание их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

• найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

• начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
• определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

Как решаем:

1. В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

1. Определим знаки на промежутках.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

1. Выполним решение со знаком >. Штриховку сделаем над положительным промежутком.

По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 4) или x

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

• во время решения ax + b 0 произвести определение промежутка, где график изображается выше Ох;
• во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

• Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
• Координаты точки пересечения с Ох равны −√3 : 5.
• Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
• Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

Источник

Методические рекомендации по решению алгебраических неравенств. Готовимся к ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

В материале рассмотрены основные типы алгебраических неравенств,встечающиеся в контрольно- измерительных материалах по математике базового и профильного уровня в рамках ЕГЭ, методы их решения , методические рекомендации по эффективному применению этих методов на практике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

А лгебраические неравенства Вахлаева О.В . МОУ СОШ №61» г.Саратов 1

Неравенства –не только составная часть контрольно-измерительных материалов государственной итоговой аттестации- «задания этого типа являются характеристическим свойством , различающим базовый и профильный уровни подготовки учащихся. К их выполнению в 2015 г. приступало более 60% участников профильного единого государственного экзамена (ЕГЭ), а положительные баллы получили более 30% всех участников. Поэтому при подготовке выпускников к экзамену решению заданий подобного уровня следует уделять много внимания». В данной работе рассматриваются рациональные, дробно-рациональные неравенствах и неравенствах, содержащие знак модуля. 2

Подходы к решению алгебраических неравенств Функциональный подход Неравенство- как сравнение двух функций Алгебраический подход Неравенство- как сравнение двух выражений Геометрический подход Геометрическая интерпретация неравенст в 3

Функциональный подход Метод интервалов основан на свойстве непрерывности функции . 4

Функциональный подход использование Свойств монотонности функции

Пример 5. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: (х 2 -1) 2+х > (х 2 -1) 5х-3 Запишем его как (х 2 -1) 2+х — (х 2 -1) 5х-3 >0 и используем метод рационализации. Ответ:  ; )  (1, 25;  6 Функциональный подход метод рационализации

7 Алгебраический подход сведение неравенства к равносильной системе : или

8 Алгебраический подход метод введения новой переменной

9 Алгебраический подход разбиение области определения на подмножества

Пример 9. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: | x  5 | > | x  2 |. Геометрическая интерпретация дает простое и красивое решение: так как |x  5 | и | x  2 |  | x  (  2) | – это расстояния от точки x до точек 5 и – 2 соответственно, то из данного равенства следует, что точка x – середина отрезка [  2;5], и поэтому х  . Значит, решениями данного неравенства являются все числа x  (  ;1,5), т.е. все точки, расстояния от каждой из которых до точки 5 больше расстояния до точки (–2). Ответ : (  ;1,5). 10 Геометрический подход в решении неравенств используют геометрические свойства геометрическая интерпретация модуля

Алгебраические неравенства в КИМ ах Государственной итоговой аттестации Базовый уровень 11

Алгебраические неравества в КИМ ах Государственной итоговой аттестации 2. 3. Профильный уровень

Алгебраические неравества в КИМах Государственной итоговой аттестации Типичные ошибки и способы их устранения Используют преобразования, нарушающие равносильность; Формальное перенесение приемов решения уравнений на неравенство; Последовательность шагов нарушена, незакончена, не выполнена до конца (нет обратных переходов); Неверное использование логической символики ; Не исключают из ответа точки, при которых знаменатель обращается в 0; В расстановке знаков, записи конечного ответа; Вычислительные ошибки. Добиваться понимания смысла равносильных переходов, а не формального запоминания; нужно более тщательно отрабатывать применение метода введения вспомогательной переменной при решении неравенств, указывая на отличия от уравнений, решаемых тем же способом, запись промежуточных ответов лучше в виде неравенства Логическую символику отработать или не использовать система устной работы для формирования вычислительной грамотности

Предварительный просмотр:

Методические рекомендации по решению алгебраических неравенств .

Готовимся к ЕГЭ.

Учитель математики МОУ «СОШ №61»

Ленинского района г.Саратова

Вахлаева Ольга Васильевна

Глава 1 Теоретико-методические аспекты изучения темы «Алгебраические неравенства» в школьном курсе математики…………………………………..2

1.1 Анализ изложения темы «Алгебраические неравенства» в учебно-методической и научно-популярной литературе………………. …………. 3

1.2 Функционально-графические методы решения неравенств………………4

1.2.2 Использование свойств монотонности функций в решении неравенств………………………………………………………………………..6

1.2.3 Метод рационализации………………………………………………7

1.3 Алгебраические методы решения неравенств……. …………………….7

1.3.1 Метод равносильных переходов…………………………………… 7

1.3.2 Метод введения новых переменных………………………………. 9

1.3.3 Разбиение области определения неравенства на подмножества. 9

1.4.Геометрический подход в решении неравенств…………………………. 10

Глава 2 Алгебраические неравенства в контрольно-измерительных материалах государственной итоговой аттестации по математике………….11

2.1.1 Типы алгебраических неравенств, используемые на ГИА …………. 12

2.2.2Типичные ошибки при решении алгебраических неравенств и способы их устранения…. …………………………………………………………..…. 14

Список использованной литературы………………………………………..….28

Введение

Выпускной экзамен по математике — сложное, но необходимое испытание для всех выпускников, потому что успешная его сдача-обязательное условие для получения аттестата о среднем полном образовании, а набранные баллы по математике профильного уровня- пропускной билет в высшую школу. Поэтому выпускники серьезно и основательно готовятся к его сдаче.

В соответствии с распространенными рекомендациями все задания экзамена по математике и базового и профильного уровня условно делят на группы: самые простые, решая которые можно набрать минимальное количество баллов, перешагнуть «порог», задания среднего уровня сложности, решая которые можно набрать «хорошее» количество баллов, сложные задания, решив которые, выпускник набирает максимальное количество баллов. Задания первой группы решают все- это необходимая данность, а вот задания второй группы-для ребят знающих, творческих, амбициозных, трудолюбивых. К этой второй важной, сложной, но интересной группе заданий можно отнести и задания, связанные с решением алгебраических неравенств (задания № 18 базового уровня, задания №17 — профильного уровня). Поэтому в работе рассмотрены основные методы решения этого типа заданий.

Поскольку тема «алгебраические неравенства» обширна, в своей работе я остановлюсь на решении рациональных, дробно-рациональных неравенствах и неравенствах, содержащих знак модуля.

Глава 1 Теоретико-методические аспекты изучения темы «Алгебраические неравенства» в школьном курсе математики

При решении неравенств в школьном курсе используют такие основные методы: метод интервалов (обобщенный метод интервалов), метод равносильных переходов, метод введения новых переменных, метод рационализации, метод оценки и другие.

Анализ изложения темы «алгебраические неравенства» в

учебно-методической и научно-популярной литературе

Неравенства и методы их решения включены в обязательный минимум содержания образовательных программ основного общего и среднего полного образования, поэтому эта тема изложена в школьных учебниках по математике. В УМК по алгебре для 7–9 классов Мордковича А.Г., Никольского С.М., Дорофеева В.Г., Макарычева Ю.Н., Колягина Ю. М. , а также в УМК по алгебре и началам математического анализа для 10–11 Мордковича А.Г., Никольского С.М., Дорофеева В.Г., Колягина Ю. М. . Виленкина Н.Я. и др. в полном объеме изложены основные методы решения алгебраических неравенств. В многочисленных математических справочниках, например «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа» Крамора В.С., «Математика» Гусева В.А., Мордковича А.Г. и других, эта тема также подробно изложена. В научно-популярной литературе много публикаций, связанных с нестандартными методами решения неравенств. Например, это статья Олехник, С. Н. « Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы» в учебно-методическом пособии, посвященном задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности или публикация «Нестандартные методы решения неравенств и их систем» Короповец З.П. Много публикаций связано с методом рационализации, его еще называют метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И) который получил достаточно широкое распространение, хотя в школьных учебниках он, как правило, не рассматривается. Мне показалась интересной классификация методов, представленная в работе Прокофьева А.А. и Корянова А.Г. «Решение неравенств с одной переменной». Авторы предлагают в зависимости от трактовки или интерпретации неравенства различать алгебраический, функциональный или геометрический подходы в решении неравенств. Первые два подхода различаются в понятии неравенства, которое рассматривается либо как сравнение двух выражений, либо как сравнение двух функций. При алгебраическом подходе выполняют равносильные общие (над обеими частями неравенства) или частичные преобразования неравенств (отдельных выражений, входящих в неравенство). При функциональном подходе используют свойства функций (монотонность, ограниченность и т.д.), входящих в данное неравенство. В некоторых случаях алгебраический и функциональный подходы взаимно заменяемы. Основой геометрического подхода является интерпретация неравенств и их решений на координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве, что позволяет перейти к равносильным неравенствам, опираясь на геометрические утверждения.

1.2 Функционально-графические методы решения неравенств Функциональный подход в решении неравенств использует свойства функций.

1.2.1 Один из наиболее распространенных методов решения неравенств- метод интервалов основан на свойстве непрерывности функции.

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Решим каждое из неравенств (предварительно приравняв левую часть к нулю) методом интервалов.

Отметим данные решения на числовой прямой и расставим знаки на соответствующих интервалах:

Данному решению соответствует 1)

Отметим данные решения на числовой прямой и расставим знаки на соответствующих интервалах:

Данному решению соответствует 4)

Отметим данные решения на числовой прямой и расставим знаки на соответствующих интервалах:

Данному решению соответствует 3)

Отметим данные решения на числовой прямой и расставим знаки на соответствующих интервалах:

Данному решению соответствует 2)

В рациональных неравенствах профильного уровня часто используется обобщенный метод интервалов, например, для которых при переходе из одного интервала в смежный интервал знак функции f (х) может не меняться.

Пример 2. Решите неравенство:

1.2.2 Свойство монотонности при решении неравенств используют для случаев, когда функции, стоящие в обеих частях неравенства, имеют одинаковую монотонность или разную монотонность. Например:

Пример 3. Решите неравенство: х 7 +1

Его можно записать его в виде х 7 7 , и рассматривая функцию у= х 7 , которая возрастает на всей области определения, можно сделать вывод, что последнее неравенство равносильно неравенству х

Пример 4. Решите неравенство: ( 2х 2 +1) 5 — (3х) 5 >3х — 2х 2 -1.

Запишем неравенство как

(2х 2 +1) 5 + 2х 2 +1> (3х) 5 +3х

Рассмотрим функцию у = t 5 + t, определенную при всех действительных значениях t. Так как у ′ (t) = 5t 4 + 1 • 0 для любого t из области определения, то функция у(t) возрастает на всей области определения . Для возрастающей функции, определенной на всей числовой прямой, неравенство у(t 1 ) • у(t 2 ) равносильно неравенству t 1 • t 2 .Значит, наше неравенство равносильно неравенству 2х 2 +1>3х,

2х 2- 3х +1>0, откуда х 1.

1.2.3При решении неравенств методом интервалов могут возникать трудности вычислительного характера. Чтобы расширить возможности применения метода интервалов при решении неравенств, используют идею рационализации неравенств. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение, при которой более сложное неравенство равносильно более простому неравенству на области определения исходного неравенства.

Пример 5. Решите неравенство: (х 2 -1) 2+х > (х 2 -1) 5х-3

Запишем его как (х 2 -1) 2+х — (х 2 -1) 5х-3 >0 и используем метод рационализации.

1.3 Алгебраические методы решения неравенств

1.3.1 При решении неравенств алгебраическими методами используют преобразования, позволяющие привести неравенство к более простому виду. При выполнении преобразований множество решений исходного неравенства или не меняется, или расширяется (можно получить посторонние решения), или сужается (можно потерять решения). Поэтому важно знать, какие преобразования неравенства являются равносильными и при каких условиях. Например, решая неравенство с модулем методом сведения его к равносильной системе или совокупности систем можно использовать стандартные схемы для решения, которые опираются на определение модуля, его геометрический смысл и свойства

Пример 6. Решите неравенство:

Согласно одной из стандартных схем неравенство равносильно совокупности неравенств:

1.3.2 Для решения неравенств часто используют метод введения новой переменной, решают неравенство относительно этой переменной, а и затем решают полученные неравенства (или неравенство) с первоначальной переменной х.

Пример 7. Решите неравенство:

Сделаем замену решим неравенство методом интервалов.

Возвратимся к исходной переменной и получим:

1.3.3 Разбиение области определения неравенства на подмножества Разбиение области определения неравенства на промежутки позволяет упростить некоторые неравенства. Решение неравенства рассматривают отдельно на каждом промежутке. Особенно наглядно этот метод работает при решении неравенств с модулями, когда модуль раскрываем на каждом промежутке.

Пример 8. Решите неравенство:

Числа 2 и -1 разбивают числовую прямую на три промежутка ( −∞ ;1) ,

[1; 2) и [2; + ∞ ) . Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком модуля решим данное неравенство на каждом из этих промежутков.

Объединяя промежутки, получаем

1.4 Геометрический подход в решении неравенств

Геометрические методы решения неравенств не часто используются на практике. Однако, геометрическая интерпретация неравенств позволяет легко и красиво решать, как простые, так и сложные задачи.

Пример 9. Решите неравенство: | x − 5 | > | x + 2 |.

Геометрическая интерпретация дает простое и красивое решение: так как |x − 5 | и | x + 2 | = | x − ( − 2) | – это расстояния от точки x до точек 5 и – 2 соответственно, то из данного равенства следует, что точка x – середина отрезка [ − 2;5], и поэтому х = . Значит, решениями данного неравенства являются все числа x ∈ ( −∞ ;1,5), т.е. все точки, расстояния от каждой из которых до точки 5 больше расстояния до точки (–2).

В материалах для дистанционного обучения нашей группы в блоке «Методы решения уравнений. Модуль», представленном доцентом кафедры математического образования Конник О.Ю. этот подход развивается. Анализируя различные способы решения уравнений, содержащих модуль, Ольга Юрьевна делает вывод: обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

, которые можно использовать в решении неравенств.

Пример 10. 1Решите неравенство: .

Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой х, которые находятся ближе к точке с координатой-2000, чем к точке с координатой -2001. Так как , то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой .

Глава 2. Алгебраические неравенства в контрольно-измерительных материалах государственной итоговой аттестации по математике

Все представленные выше методы используются при решении неравенств на государственной итоговой аттестации. В математике базового уровня задания с неравенствами однотипны: они на установление соответствия между неравенствами(простейшими) и их решениями. В математике профильного уровня неравенства могут встретиться в различных заданиях, но в основном они представлены в заданиях №13. Эти задания занимают одну из важнейших позиций в структуре КИМ. К их выполнению в 2015 г. приступало более 60% участников профильного единого государственного экзамена (ЕГЭ), а положительные баллы получили более 30% всех участников. Успешность выполнения заданий этого типа является характеристическим свойством, различающим базовый и профильный уровни подготовки учащихся. Поэтому при подготовке выпускников к экзамену решению заданий подобного уровня следует уделять много внимания.

2.1.1 Все задания, связанные с неравенствами, на базовом уровне (задания №17) зависимости от формы записи решений неравенств можно условно разделить на следующие прототипы: неравенства, в которых решения записаны в виде числовых промежутков, в виде неравенств, на геометрической модели.

— Решения записаны в виде числовых промежутков:

Поставьте в соответствие каждому неравенству множество его решений.

Источник