Числовые последовательности рекуррентный способ задания последовательности

Конспект урока «Рекуррентное задание числовых последовательностей» (9 класс)

Выбранный для просмотра документ Открытый урок Рекуррентное задание числовой последовательности.docx

ТЕМА: Рекуррентное задание числовых последовательностей

Цель урока : познакомить учащихся с рекуррентным способом задания числовой последовательности на примере чисел Фибоначчи и разобрать задачи на преобразование одного задания последовательности в другое.

Воспитательная : продолжить формировать алгоритмическую культуру мышления учащихся на основе дискретного понимания функции.

Развивающая : продолжить развитие навыков и умений работы с формулами задания функции.

Обучающая : научить отличать аналитический способ задания функции от рекуррентного, переводить одно задание функции в другое.

Учебник, компьютер (проектор).

Учащиеся получат представление рекуррентных соотношениях.

Узнают о способе перехода от аналитического задания к рекуррентному.

Научатся использовать рекуррентные формулы для вычисления значений последовательности.

Проверка домашнего задания.

Актуализация темы «Способы задания функции»

Изучение нового материала (работа с презентацией).

Определение рекуррентного соотношения.

Различия аналитического и рекуррентного способа задания.

Определение последовательности Фибоначчи

Онтологическая интерпретация чисел Фибоначчи.

Свойства последовательности Фибоначчи.

Решение заданий из учебника

Приветствие, проверка присутствующих. Объявление темы урока, объяснение хода урока.

2. Проверка домашнего задания: № 16.6, 15.41.

3. Актуализация темы «Способы задания функции»

( Презентация ) Вспомнить в процессе беседы с учащимися какие бывают способы задания функции: аналитический, словесный, табличный, кусочный. Обосновать на базе дискретной природы числовых последовательностей возможность установления связи текущего члена последовательности с предыдущим.

4. Изложение нового материала.

1. Определение рекуррентного соотношения

Опр. ( презентация ) Говорят, что последовательность задана рекуррентным соотношением, если указана формула, в одной части которой находится только n — ый член последовательности, а в другой — буквенное выражение, содержащее предыдущие члены последовательности, в котором аргумент не участвует в вычислениях значения функции.

2. Различия аналитического и рекуррентного способа задания .

Различие состоит в том, что при аналитическом способе вычисления n — го члена в буквенном выражении имеется аргумент, с помощью которого можно сразу получить результат, не зная при этом значений остальных членов последовательности. При рекуррентном способе вычисления n — го члена обязательно надо знать значения предыдущих членов, начиная с первого. При этом в формуле рекуррентного соотношения аргумент присутствует только как индекс нумерации и в вычислениях не используется. Образно говоря, функция натурального аргумента задана зависимостью от начального и получаемого значения той же функции как в «принципе домино».

3. Определение последовательности Фибоначчи

Опр. ( презентация ) Последовательностью Фибоначчи называется числовая последовательность, у которой заданы изначально первый и второй члены, а n — ый член вычисляется как сумма ( n —1)- го и ( n —2)- го членов.

4. Онтологическая интерпретация чисел Фибоначчи.

На Западе впервые эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что: изначально есть новорожденная пара кроликов (самец и самка), со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов, кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год? ( презентация )

В начале первого месяца есть только одна новорожденная пара (1).

В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1)

В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2)

В конце третьего месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3)

В конце четвертого месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5)

5. Свойства последовательности Фибоначчи .

Если числа Фибоначчи заданы следующим образом:

тогда справедливы следующие свойства ( презентация ):

5. Решение заданий из учебника

Решение учителем № 15.37, 15.31, 15.20 (а, б), 15.32, 15.21.

Решение учащимися № 15.37, 15.31, 15.20, 15.32, 15.21 (а, б).

Заключительный опрос по изученному материалу:

1) Приведите примеры рекуррентного соотношения

2) Приведите пример последовательности Фибоначчи

3) Запишите рекуррентно арифметическую прогрессию

Источник

Числовая последовательность

п.1. Формулы числовых последовательностей

Запишем несколько первых чётных чисел и пронумеруем их:

Этот ряд бесконечен, но, глядя на таблицу, его легко задать формулой: \begin \mathrm> \end

Теперь, пользуясь формулой, для любого порядкового номера n мы сможем найти соответствующее чётное число.

Для обозначения членов последовательности и их индексов можно использовать разные буквы: x₁, x₂, . x_m. ; a₁, a₂, . a_k. ; A₁, A₂, . A_s. и т.д.

Например:
Найти 1й, 3й и 4й члены последовательности, заданной формулой \(\mathrm>\) $$ \mathrm< y_1=\frac<1-1><1+1>=0,\ \ y_3=\frac<3-1><3+1>=\frac12,\ \ y_4=\frac<4-1><4+1>=\frac35 > $$

п.2. Задание последовательностей описанием

Последовательность, заданную формулой y_n=2n, можно задать описанием как «последовательность чётных чисел».

Последовательность, заданную формулой \(\mathrm>\), можно задать описанием как «последовательность дробей, числитель которых на 1 меньше индекса, а знаменатель на 1 больше индекса последовательности».

Кроме того, существуют такие последовательности, которые можно задать только описанием.

Например:
1. Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

2. Последовательность десятичных приближений числа \(\mathrm<\sqrt<3>>\) по недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,7302050; 1,73020508,…

п.3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей

Важнейшим классом числовых последовательностей, которые широко используются в алгоритмах вычислительной математики, являются рекуррентные отношения (от латинского слова recurrere – возвращаться).

Например:
Найти y₅, если y₁ = 1, y_n = 2y_n-1 + 1
Проводим последовательные вычисления:
y₂ = 2y₁ + 1 = 3, y₃ = 2y₂ + 1 = 7, y₄ = 2y₃ + 1 = 15, y₅ = 2y₄ + 1 = 31
Интересно, что, если присмотреться, эту последовательность можно также задать аналитически: y_n = 2 n – 1.

п.4. Свойства числовых последовательностей

Например:
Последовательность квадратов натуральных чисел y_n = n 2 возрастающая:

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) – убывающая: $$ 1\gt\frac12\gt\frac13\gt. \gt\frac1n\gt. $$

Например:
Последовательность отрицательных дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена сверху числом M = 0: $$ -1\lt 0,\ \ -\frac12\lt 0,\ \ -\frac13\lt 0. \ \ -\frac1n\lt 0, . $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена снизу числом M = 0: $$ -1\gt 0,\ \ \frac12\gt 0,\ \ \frac13\gt 0. \ \ \frac1n\gt 0, . $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена: $$ 1\gt \frac12\gt \frac13\gt . \gt \frac1n\gt . \gt 0 $$ Верхней границей является M = 1, нижней границей K = 0.

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной формулой
a) \(\mathrm<2n-1>>\)

Пример 2. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой
a) y₁ = 3, y_n = 3y_n – 1

Пример 3*. Укажите какую-либо формулу для n-го члена числовой последовательности

а) 3, 5, 7, 9, .
Это – последовательность нечётных чисел, для которой:
y_n = 2n + 1

б) 5, -5, 5, -5.
Это – знакопеременная последовательность, для которой модуль всегда равен 5, а знак меняется. Изменение знака можно записать как степень (–1). Учитывая, что нечётные члены последовательности положительные, а чётные – отрицательные, получаем:
y_n = (–1) n+1 · 5

в) \(\mathrm<\frac<1><1\cdot 2>,\ \ \frac<1><2\cdot 3>,\ \ \frac<1><3\cdot 4>. >\)
Это – последовательность дробей, у которых в знаменателе произведение текущего индекса n на следующий индекс (n + 1):
\(\mathrm>\)

г) 2, 5, 10, 17, 26, 37, .
Заметим, что

5 — 2 = 3, 10 — 5 = 5, 17 — 10 = 7, 26 — 17 = 9, .

Каждый последующий член отличается от предыдущего на возрастающее нечётное число. Можем записать рекуррентную формулу:
y₁ = 2, y_n = y_n-1 + (2n –1)

Пример 4*. Пифагор изучал последовательность «треугольных» чисел, которые можно задать следующими геометрическими фигурами:

и т.д.
Задайте эту последовательность 1) рекуррентной формулой; 2) аналитической формулой.

1) Запишем последовательность в явном виде, как это следует из чертежа: $$ \mathrm< y_1=1,\ \ y_2=\underbrace<1>_+2=3,\ \ y_3=\underbrace<1+2>_+3=6,\ \ y_4=\underbrace<1+2+3>_+4=10 > $$ Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: y₁ = 1, y_n = y_n-1 + n

2) Для произвольного члена последовательности:

y_n = 1 + 2 + 3 + . + (n — 2) + (n — 1) + n

Найдём эту сумму. Для этого запишем выражение наоборот:

y_n = n + (n — 1) + (n — 2) + . + 3 + 2 + 1

Источник

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Понятие числовой последовательности

Попытаемся записать в ряд все четные числа, начиная с двойки:

Ясно, что запись можно продолжать бесконечно. Мы получили некоторый ряд чисел, в данном случае бесконечный. Любой такой ряд называется бесконечной числовой последовательностью

Приведем примеры бесконечных числовых послед-тей:

Заметим, что числа в послед-ти могут повторяться. Так, известно, что число π – это бесконечная десятичная дробь 3,1415926… Выписывая в ряд эти цифры, можно получить послед-ть, в которой будут повторяющиеся числа:

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6

Числа, входящие в состав послед-ти, называют членами послед-ти. Всегда можно указать, какое число является первым членом послед-ти, какое – вторым и т. д. Для их обозначения используются буквы с индексами. Например, есть послед-ть четных чисел 2, 4, 6, 8… Выпишем первые ее члены, обозначая их буквой а:

Получается, что каждому натуральному числу n соответствует какой-то единственный член послед-ти, который обозначается как а_n. То есть послед-ть задает некое правило, с помощью которого для каждого числа n можно вычислить число a_n. Отсюда можно сформулировать более сложное определение бесконечной числовой послед-ти – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел.

Способы задания последовательностей

Чтобы задать послед-ть, необходимо указать способ, с помощью которого можно вычислить любой ее член. Проще всего это сделать, записав формулу, в которой в качестве переменной использует номер члена послед-ти n.Такая формула называется формулой n-ого члена последовательности.

Пример. Послед-ть задается формулой а_n = 3n. Выпишите первые пять членов этой послед-ти.

Решение. Чтобы найти первый член послед-ти, то есть а₁, просто подставим в формулу единицу:

Аналогично можно вычислить и следующие четыре члена послед-ти:

Итак, послед-ть имеет вид:

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15

Пример:Запишите формулу n-ого члена для послед-ти

состоящей из положительных нечетных чисел.

Решение. Каждое нечетное число можно представить в виде 2n– 1. Тогда получаем:

Получаются как раз члены послед-ти, указанной в условии. Поэтому формула n-ого члена будет выглядеть как а_n = 2n– 1.

Стоит обратить внимание, что для вычисления n-ого члена послед-ти НЕ нужно вычислять все предшествующие члены.

Пример. Запишите 38-й член послед-ти, заданной формулой а_n = 2n 2 + 1.

Решение. Подставим n = 38 в формулу и получим:

Теперь рассмотрим послед-ть, в которой первые два числа равны единице, а каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Она называется последовательностью Фибоначчи и начинается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.

Действительно, по условию, первые два члена – это единица:

а каждый следующий равен сумме предыдущих:

Формулу n-ого члена записать для послед-ти Фибоначчи очень сложно (хотя и возможно). Вместо этого здесь удобнее использовать рекуррентный способ задания последовательности. Записываются первые несколько членов послед-ти, а после дается формула (ее называют рекуррентной), которая позволяет вычислить следующие члены по предыдущим:

При использовании рекуррентного способа для вычисления n-ого члена обычно необходимо вычислить все предыдущие члены послед-ти.

Пример. Найдите пятый член послед-ти, заданной рекуррентной формулой а_n= 3•а_n–1– 1, если а₁ = 2.

Решение. Будем последовательно вычислять все члены послед-ти, вплоть до пятого:

Надо понимать, что одну и ту же послед-ть можно задать по-разному. Так, послед-ть четных чисел можно задать формулой n-ого члена а_n = 2n, так и рекуррентной формулой а_n = a_n–1 + 2, если а₁ = 1.

Пример. Дана послед-ть, заданная формулой а_n = n 2 . Задайте ее рекуррентным способом.

Решение. Сначала вычислим первый член послед-ти:

Чтобы записать рекуррентную формулу, попытаемся найти разницу между членами, имеющими номера n и (n– 1):

Итак, получили равенство

Перенесем в нем слагаемое (– a_{n– 1}) вправо и получим рекуррентную формулу:

Наконец, некоторые послед-тине получается задать ни формулой n-ого члена, ни рекуррентным способом. Их можно только описать. Таковой является, например, послед-ть простых чисел:

Мы не будем это доказывать, однако не существует такой формулы, которая позволяла бы вычислить n-ое простое число либо по самому числу n, либо по предыдущим простым числам. Действительно, для построения такой послед-ти используют особый алгоритм, известный как решето Эратосфена. Если бы существовала формула n-ого члена, то потребность в использовании решета Эратосфена отпала бы.

Возрастающие и убывающие последовательности

Рассмотрим послед-ть, заданную формулой а_n = 5n:

Очевидно, что каждый следующий член больше предыдущего. Это значит, что мы имеем дело с возрастающей последовательностью.

Теперь изучим послед-ть, заданной рекурсивным способом:

Выглядеть он будет так:

Ясно, что каждый следующий член послед-ти меньше предыдущего. Такой ряд чисел называется убывающей последовательностью.

Убывающие и возрастающие послед-ти называют также монотонными последовательностями.

Для того, чтобы определить характер послед-ти, достаточно найти разность членов а_nи а_n+1. Если получается положительное выражение, то послед-ть возрастает, а если выражение отрицательно, то послед-ть убывает. Если получилось выражение, которое может иметь различный знак, то послед-ть вовсе не является монотонной.

Пример. Послед-ть задана формулой a_n = n/(n + 1). Является ли она убывающей либо возрастающей?

Решение. Запишем выражения для вычисления n-ого и (n+ 1)-ого члена послед-ти:

Осталось найти их разницу:

При натуральных значениях n полученная разница является положительным числом. Это значит, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть послед-ть является возрастающей.

Пример. Исследуйте на монотонность послед-ть, заданную формулой

Решение. Если выписать первые члены послед-ти, может показаться, что она – убывающая:

Но это не так. Запишем выражения для n-ого и (n + 1)-ого члена послед-ти:

Теперь найдем их разность:

Получили выражение (2n– 7), которое может быть как отрицательным, так и положительным (при n≥ 4). Это значит, что послед-ть немонотонна. В этом можно убедиться, вычислив четвертый и пятый член послед-ти:

Получаем, что у₅>у₄, поэтому послед-ть не является убывающей

Ответ: послед-ть немонотонна.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Изучим послед-ть, заданную с помощью формулы b_n = 1/n. Её первые члены будут выглядеть так:

Очевидно, что она является убывающей, ведь каждая следующая дробь меньше предыдущей. Вместе с тем все члены послед-ти являются положительными числами. Это значит, что для каждого n выполняется неравенство b_n> 0. То есть последовательность ограничена числом 0. В математике такие послед-ти называют ограниченными снизу.

Существует и послед-ти, ограниченные сверху. Это такие послед-ти, каждый член которых меньше какого-то постоянного числа.

В качестве примера можно привести послед-ть, заданную формулой с_n = 1 – 1/n. Каждый следующий ее член все ближе к единице, но ни один из них не достигает ее. Покажем, как строго доказать это. Для этого используют метод рассуждений «от противного».

Предположим, что послед-ть с_n = 1 – 1/n не ограничена числом 1 сверху. Тогда существует такой ее член с_n, для которого выполняется условие

Попытаемся найти номер этого члена:

Полученное нер-во выполняется только для отрицательных n. Но n – это натуральное, то есть положительное число. Это говорит о том, что не существует такого натурального n, для которого справедливо нер-во 0 ≥ 1/n. Значит, и не существует такого с_n, для которого верно нер-во с_n ≥ 1. Из этого следует, что послед-ть ограничена сверху числом 1.

Пример. Докажите, что послед-ть m_n = n 2 – 6n + 4 ограничена снизу числом (– 6).

Решение. Предположим, что на самом деле послед-ть не ограничена снизу числом (– 6). Тогда хотя бы для одного ее члена будет выполняться нер-во

Найдем номер этого члена:

Получили неравенство второй степени. Для его решения следует найти корни квадратного трехчлена. Начнем с вычисления дискриминанта:

Дискриминант отрицательный, а ветви параболы смотрят вверх. Поэтому схематично парабола относительно оси Ох будет располагаться так:

Видно, что нер-во решений не имеет. Значит, не существует такого номера n, для которого верно условие m_n ≤ – 6. Следовательно, послед-ть ограничена снизу числом (– 6).

Если послед-ть ограничена одновременно и снизу, и сверху, то ее называют просто ограниченной послед-тью.

Примером ограниченной последовательности является b_n = 1/n. С одной стороны, она ограничена нулем снизу. С другой стороны, она ограничена сверху числом 2, так как первый ее член равен единице, а вся послед-ть – убывающая.

Примером неограниченной последовательности является v_n = 5n, ведь ее невозможно ограничить сверху.

Примером ограниченной последовательности является b_n = 1/n. С одной стороны, она ограничена нулем снизу. С другой стороны, она ограничена сверху числом 2, так как первый ее член равен единице, а вся послед-ть – убывающая.

Примером неограниченной последовательности является v_n = 5n, ведь ее невозможно ограничить сверху.

Начнем вычислять сумму первых n членов двумя способами: просто складывая и используя формулу S_n= n 2 . Посмотрим, будут ли получаться одинаковые результаты.

Видно, что формула работает. Однако, сколько бы раз мы не проверяли ее, это не будет служить строгим доказательством ее справедливости. Возможно, что она будет работать для первого миллиона члена послед-ти, а для 1000001-ого даст ошибку. Поэтому поступим иначе. Предположим, что фор-ла S_n= n 2 верна хотя бы для одного значения n, равного k:

Докажем, что тогда она будет верна и для следующего числа k + 1. То есть нужно доказать равенство

Ясно, что сумму (k + 1) членов послед-ти можно получить, прибавив к сумме k членов (то есть к S_k )ещё одно слагаемое a_n+1, то есть справедлива запись:

При этом мы предположили, что верно равенство

а число a_n+1 можно посчитать по формуле n-ого члена:

Тогда можно записать

Получили формулу сокращенного умножения – квадрат суммы. Его можно «свернуть»:

Итак, если для формула S_k= k 2 верна для k = 1 (а в этом мы убедились в самом начале), то она верна и для k = 2. Но если она верна для k = 2, то она верна и для k = 3 и т.д. Получаем цепочку утверждений, каждое из которых подтверждает истинность формулы для конкретного натурального числа k, а все вместе они подтверждают ее истинность для всех натуральных чисел. Таким образом, нам удалось доказать справедливость формулы S_n= n 2 .

Сформулируем принцип математической индукции:

То есть сначала надо доказать, что утверждение выполняется при n = 1. Это действие называют шагом индукции. Далее предполагают, что утверждение верно при n = k, и из этого выводят, что оно верно и для n =k + 1.

Пример. Докажите с помощью математической индукции, что сумма квадратов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:

Решение. Докажем базис индукции, то есть то, что утверждение верно при n = 1. Действительно, подставив единицу в формулу, получим:

Получили один и тот же результат. Базис индукции доказан.

Теперь предположим, что формула верна для произвольного n = k:

Тогда сумма (k + 1) квадратов может быть найдена по формуле

Подставим в нее выражение для S_k и получим:

С другой стороны, нам надо доказать, что величина S_k+1определяется по формуле

Приравняем выражения (1) и (2) и покажем, что они тождественно равны:

Умножим обе части на 6 и получим:

Получили одинаковые выражения в обоих частях рав-ва, поэтому оно является верным при любом значении k. Значит, мы смогли доказать шаг индукции, и следовательно, всё исходное утверждение.

Пример. Докажите, что любую сумму, большую 7 копеек, можно оплатить, используя только два типа монет: по 3 и 5 копеек.

Это утверждение, очевидно, верно сумм в 8, 9 и 10 копеек:

Добавив к этим суммам ещё одну трехкопеечную монету, мы сможем получить выражения для следующих трех чисел:

С помощью ещё одной монетки в три копейки можно уплатить следующие 3 суммы:

Ясно, что продолжая подобные рассуждения, можно для любого натурального числа записать эквивалентную ему сумму пятерок и троек, что доказывает утверждение из условия.

Последовательности в жизни

Порою, изучая математические объекты, люди задумываются – а какое отношение все эти формулы имеют к реальной жизни? Встречаются ли последовательности в природе и обществе, или они являются лишь плодом фантазии математиков?

На самом деле последовательности имеют большое практическое приложение. Так, Фибоначчи сформулировал свою последовательность тогда, когда изучал скорость размножения кроликов. Если каждая пара кроликов рожает в месяц ещё одну пару, а через месяц и старая, и новая пара рожает ещё кроликов, то их численность будет расти также, как и последовательность Фибоначчи! Аналогично протекают процессы роста популяций других животных.

Большое значение последовательности имеют в программировании. Дело в том, что порою программам нужно получить некоторое случайное число, чтобы имитировать случайные события. Однако по ряду причин компьютеру тяжело сгенерировать истинно случайное число, поэтому часто используют генераторы псевдослучайных чисел. Это особые алгоритмы, порождающие последовательности чисел, которые кажутся случайными, хотя таковыми на самом деле не являются.

Встречаются последовательности и в астрономии. В частности, расстояние от планет до Солнца примерно можно рассчитать с помощью особой последовательности Тициуса-Боде. Последние исследования показывают, что и расположение планет в других планетных системах хорошо описывается этой последовательностью.

Источник