Числовая последовательность аналитический способ задания последовательности

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

ЧТО ИЗУЧАЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ?

Мы приступаем к изучению раздела математики, который обычно называют «Математический анализ». Это будет первое знакомство с серьезным разделом высшей математики. В основе математического анализа лежит идея движения, изменения процесса. Он предлагает набор некоторых стандартных математических моделей, с помощью которых можно описать различные процессы, разнообразные связи между меняющимися величинами, переменными.

1. Дискретная модель – последовательность.

2. Непрерывная модель – функция, заданная формулой.

3. Модель в форме зависимости – уравнение.

4. Интегральная модель – плотность.

Таким образом, математический анализ создает модели для описания различных процессов,

исследование которых требует применения наряду с известными методами и новых операций – дифференцирования и интегрирования.

ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Функция, область определения которой – множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью.

Если последовательность определена на множестве всех натуральных чисел, то такую последовательность называют бесконечной, а если последовательность определена на множестве первых n натуральных чисел, то её называют конечной.

В общем виде числовая последовательность записывается в следующим образом: а₁, а₂, …а_n.

Значения последовательности а₁, а₂, …а_n, …называют ее членами. Обычно члены последовательности обозначают буквой с индексами. Последовательность иногда обозначают так: . Это означает, что задана последовательность с общим членом а_n. По данному общему члену всегда можно найти любой член последовательности.

СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, а поэтому некоторые свойства функций рассматриваются и для последовательностей.

Последовательность называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего.

Последовательность называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Последовательность <a_n> называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n ∈ N справедливо неравенство a_n ≤ М. Число М называется верхней границей последовательности<a_n>. Если последовательность ограничена сверху, то она имеет бесконечное количество верхних границ.

Последовательность<a_n> называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n ∈ N справедливо неравенство a_n ≤ m. Число m называется нижней границей последовательности<a_n>.

Последовательность <a_n> называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху, то есть m ≤ a_n ≤ M (n ∈ N).

Последовательность, которая не будет ограниченной хотя бы снизу или хотя бы сверху, называется неограниченной.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: словесный, аналитический и рекуррентный.

Последовательность задана словесно, если правило задания последовательности описано словами, без указания каких-либо формул.

Говорят, что последовательность задана аналитически,еслиуказана формула ееn-го члена.

Например: 1) 2) 3) 4) 5)

В приведенных примерах, подставляя конкретное значение n в формулу, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером.

Рекуррентный способ задания числовой последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

Реши самостоятельно: Запишите первые 10 членов последовательности, заданной различными способами:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) n-е натуральное число, делящееся на 6;

е) n-е простое число;

ж) n-е натуральное число, являющееся полным квадратом;

з) остаток от деления на 5 числа ;

и) остаток от деления числа на ;

Среди рекуррентно заданных последовательностей особо выделяются:

Источник

Электронный конспект для обучающихся «Числовые последовательности. Предел числовой последовательности»

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности.

Последовательность – ряд чисел

Каждое число имеет свой номер (первое, второе и т.д.)

218; 220; 218; 220;…..

Числовая последовательность — множество нумерованных чисел, располагаемое в порядке возрастания номеров.

Последовательность может быть конечной или бесконечной

Определение: Функцию у = f ( x ), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f ( n ), или у₁, у₂, у₃. у _n или у( n ) или а1 , а2,…, а n … или а( n ).

Способы задания последовательностей.

Словесно (описание словами, без указания формулы)

Аналитический способ (формулой)

Рекуррентный способ задания последовательности.

Приведем три примера.

у _n = n 2 — аналитическое задание последовательности

1,4,9,16,…, n 2 , …, где n – номер элемента последовательности

у _n = С — последовательность С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

Рекуррентный способ задания последовательности — указывается правило, позволяющее вычислить последующий элемент последовательности, если известны предыдущие.

№ 1. Вычислите у1, у2, у3, у4, у5 и запишите в виде ряда чисел:

А)

Б)

В)

А)

Б)

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность (у _n )

(у _n ) =

Изобразим элементы этой последовательностей точками на координатной прямой.

0 0,125 0,25 0,5 1

все числа последовательности (у _n ) «сгущаются» около точки 0

– последовательность сходится к числу 0 .

«точка сгущения» ≡ предел последовательности

Определение: Число b называется пределом последовательности (у _n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.

у _n → b или

читают так: предел последовательности у _n при стремлении n к бесконечности равен b .

Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Достаточное условие сходимости последовательности.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

(0 q ≤ 1)

Если , то:

Предел суммы равен сумме пределов:

Предел произведения равен произведению пределов:

Предел частного равен частному пределов: , где с≠0.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Найти предел последовательности:

а) х _n =

б) х _n =

Решение: применим правило «предел суммы»:

0 – 0 + 3 = 3

в)

в подобных случаях применяется искусственный прием:

Деление числителя и знаменателя дроби (каждого слагаемого ) на наивысшую из имеющихся степень переменной n .

В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби на n 2 (каждое слагаемое):

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 801 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 283 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-400096

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Спортивные и творческие кружки должны появиться в каждой школе до 2024 года

Время чтения: 1 минута

В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Шойгу предложил включить географию в число вступительных экзаменов в вузы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник