Числовая функция способы задания виды функции

Функция. Способы задания функций.

Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.

1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.

Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.

2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.

Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.

Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.

3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.

Функцию можно задать с помощью математической формулы y=x 2 , тогда если х равно 2, то у равно 4, возводим х в квадрат.

4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.

Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у. Поясняем: если х равно 4, то у равно 4, а если х равно 358, то у равен сумме 3 + 5 + 8, т. е 16. Далее аналогично.

5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.

При разложении числа Эйлера задается функцией:

Ее сокращение приведено ниже:

При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда, значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.

Источник

Числовые функции

Понятие числовой функции.

Пусть дано числовое множество \(X\subset\mathbb\). Если каждому \(x\in X\) поставлено в соответствие по некоторому правилу число \(y\). то говорят, что на множестве \(X\) определена числовая функция.

Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например, \(f\) и пишут
$$
y=f(x),\;x\in X,\label
$$
а множество \(X\) называют областью определения функции и обозначают \(D(f)\), то есть \(X=D(f)\).

\(x\) часто называют аргументом или независимой переменной, а \(y\) — зависимой переменной. Числа \(x\) из множества \(D(f)\) называют значениями аргумента. Число \(y_0\), соответствующее значению \(x_<0>\in D(f)\), называют значением функции при \(x=x_<0>\) (или значением функции в точке \(x_0\)) и обозначают \(f(x_0)\) или \(f(x)|_>\). Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве \(D(f)\), называют множеством значений функции и обозначают \(E(f)\). Заметим, что если \(y_0\in E(f)\), то существует по крайней мере одно число \(x_<0>\in D(f)\) такое, что \(f(x_0)=y_0\).

Функцию часто обозначают только символом (\(f,\;\varphi,\;F\) и т. д.), который определяет правило (закон) соответствия. Для обозначения функции используются также записи вида \(x\mapsto f(x),\;f:\;X\rightarrow Y\). Под словом «функция» часто понимают зависимую переменную \(у\), значения которой определяются значениями независимой переменной \(x\) и правилом \(f\), или даже само это правило. Термин «функция» имеет синонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, говорят, что функция \(f\) отображает множество \(X=D(f)\) на множество \(Y=E(f)\), и называют множество \(Y\) образом множества \(X\) при отображении \(f\). Если \(E(f)\subset E_1\), то говорят, что функция \(f\) отображает \(X\) в \(E_1\).

Равенство функций. Операции над функциями.

Функции \(f\) и \(g\) называют равными или совпадающими, если они имеют одну и ту же область определения \(X\) и для каждого \(x\in X\) значения этих функций совпадают. В этом случае пишут \(f(x)=g(x),\ x\in X\) или \(f=g\).

Например, если \(f(x)=\sqrt>, \ x\in\mathbb\),и \(g(x)=|x|, \ x\in\mathbb\), то \(f=g\), так как при всех \(x\in\mathbb\) справедливо равенство \(\sqrt>=|x|\).

Если \(E’\subset D(f)\) , то функцию \(g(x)=f(x),\;x\in E’\), называют сужением функции f на множество \(E’\). Например, если \(E’=[0, +\infty),\) то функция \( q(x)=x, \ x\in E’\), является сужением функции \(f(x)=|x|\), \(x\in\mathbb\) , на множество \(E’\).

Если равенство \(f(x)=g(x)\) верно при всех \(x\in E’\), где \(E’\subset D(f)\cap D(g)\), то есть сужения функций f и g на множество \(E’\) совпадают, то в этом случае говорят, что функции \(f\) и \(g\) равны на множестве \(E’\). Например, функции \(\sqrt>\) и \(x\) равны на множестве \( E’=[0,+\infty\)).

Естественным образом для функций вводятся арифметические операции. Пусть функции \(f\) и \(g\) определены на одном и том же множестве \(E\). Тогда функции, значения которых в каждой точке \(x\in E\) равны \(f(x)+g(x),\;f(x)-g(x),\;f(x)g(x),\;f(x)/g(x)(g(x)\neq 0\) для всех \(x\in E\)) , называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным функций \(f\) и \(g\) и обозначают \(f+g,\;f-g,\;fg,\;f/g\).

Введем понятие сложной функции. Пусть функции \(y=\varphi(x)\) и \(z=f(y)\) определены на множествах \(X\) и \(Y\) соответственно, причем множество значений функции \(\varphi\) содержится в области определения функции \(f\). Тогда функцию, принимающую при каждом \(x\in X\) значение \(F(x)=f(\varphi(x))\), называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций \(\varphi\) и \(f\) и обозначают \( f\circ \varphi \). Например, функция \(z=\sqrt<4-x^2>,\;x\in [-2,2]\), является композицией функций \(y=4-x^2,\;x\in [-2,2]\) и \(z=\sqrt,\;y\in [0,+\infty)\) . Эта функция относится к совокупности элементарных функций, то есть функций, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. К основным элементарным функциям относят постоянную, степенную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Например, элементарными являются функции:

1. линейная \(y=ax+b, \ a\neq 0;\)
2. квадратичная \(y=ax^2+bx+c,\ a\neq 0\);
3. многочлен степени n, то есть функция , где \(y=P_n(x)\), где \(P_n(x)=a_x^+a_x^+\ldots+a_<1>x+a_0;\)
4. рациональная функция, то есть функция вида \(y=\frac(x)>(x)>\) где \(P_\) и \(Q_\) — многочлены степени n и m, \( m\neq 0\).

Способы задания функции.

Числовые функции чаще всего задаются при помощи формул. Такой способ задания называют аналитическим. Например, функции \(y=x^2, \ y=|x|^<3>, \ y=\sin^3<3x>\) заданы на множестве \(\mathbb\) аналитически.

Если числовая функция f задана формулой и не указана область ее определения \(D(f)\) , то принято считать, что \(D(f)\) — множество всех тех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, и результатом каждой операции, указанной в формуле, является вещественное число. Например, если \(f(x)=\sqrt<9-x^2>\), то \(D(f)=[-3,3]\), а если \(f(x)=\sqrt <\operatorname\sin>\), то \(D(f)\) — множество корней уравнения \(\sin x=1\) то есть множество чисел \(x_=\pi/2.+2\pi k\), где \(k\in Z\).

Следует отметить, что функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Например, функция
$$
f(x)=\left\<\begin-x,\quad если\;x\; 1,\end\right.\nonumber
$$
задана аналитическим способом на \(\mathbb\) с помощью трех различных формул.

Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таблицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции. Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.

На практике часто соответствие между значениями аргумента и значениями функции задается с помощью рисунка. Например, в медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы — кривые, отражающие изменение с течением времени электрических импульсов в мышце сердца. В практике физических измерений функциональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика, снимаемого, например, с экрана осциллографа.

График функции.

Графиком функции \(y=f(x), x\in D(f),\) в прямоугольной системе координат \(Oxy\)-называют множество всех точек плоскости с координатами \((x,f(x)\overline<)>\), где \(x\in D(f)\).

Для каждого \(x_0\in D(f)\) прямая, \(x=x_<0>\), параллельная оси \(Oy\), пересекает график функции \(y=f(x)\) , \(x\in D(f)\), в одной точке \(M_<0>(x_<0>,y_<0>)\) , где \(y_<0>=f(x_<0>)\) — значение функции f при \(x=x_<0>\). Значениях \(x=a\), при котором \(f(a)=0\), называют нулем функции \(f(x)\). Если \(x=a\) — нуль функции \(f(x)\), то график функции \(y=f(x)\) пересекает ось \(Ox\) при \(x=a\) то есть в точке М\((a,0)\).

Строго говоря, следует различать график функции, точное определение которого дано выше, и эскиз части графика, принимаемый нередко за график.

Построить график функции \(y=E(x)\) , где \(E(x)=[x]\) — целая часть числа \(x\) (наибольшее целое число, не превосходящее \(x\)).

Пусть \(x\in[n,n+1\)), где \(n\in Z\), тогда \(E(x)=n\). График функции \(y=E(z)\) изображен на рис. 9.1. Стрелка на графике указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику.

Рис. 9.1

Построить график функции \(y=sign\;\sin x\) где
$$
\operatorname\;x=\left\<\begin1,\quad если\quad x>0,\\0,\quad если\quad x=0,\\-1,\quad если\quad x\; Решение

Если \(x\in\left(-\pi+2k\pi,\;2k\pi\right)\) , где \(k\in\mathbb\), то \(\sin x\; 0\), и \(sign \sin x=1\). Если \(x=k\pi\), где \(k\in\mathbb\), то \(y=0\). График функции изображен на рис. 9.2.

Рис. 9.2

График функции \(y=f(x)\) иногда можно получить преобразованием известного графика другой функции \(y=g(x)\).

Функция \(y=f(x)\)	Преобразование графика функции \(y=g(x)\)
\(y=g(x)+A\)	Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат на A
\(y=g(x-a)\)	Сдвиг вдоль оси абсцисс на а
\(y=g(-x)\)	Симметрия относительно оси ординат
\(y=-g(x)\)	Симметрия относительно оси абсцисс
\(y=Bg(x)\)	Умножение каждой ординаты на B, где \(b\neq 0\)
\(y=g(kx)\)	Деление каждой абсциссы на k, где \(k\neq 0\)

Приведем примеры применения преобразований, указанных в таблице.

График квадратичной функции
$$
y=ax^<2>+bx+c,\quad a\neq 0,\label
$$
можно получить сдвигом графика функции \(у=ах\) вдоль оси \(Ox\).

\(\triangle\) Действительно, выделяя полный квадрат, получаем
$$
ax^2+bx+c=a(x+\displaystyle \frac<2a>)^<2>+c-\frac><4a>.\nonumber
$$
Поэтому графиком квадратичной функции \eqref является парабола, получаемая сдвигом параболы \(y=ax^<2>.\quad\blacktriangle\)

Рис. 9.3

Например, график функции \(y=x^<2>-2x\), изображенный на рис. 9.3, можно получить сдвигом графика \(у=x^2\) вдоль оси \(Ox\) на 1 и вдоль оси \(Oy\) на -1, так как \(x^<2>-2x=(x-1)^<2>-1\).

График дробно-линейной функции
$$
y=\displaystyle \frac,\quad c\neq 0,\quad ad-bc\neq 0,\label
$$
можно получить преобразованием графика функции вида \(y=\displaystyle \frac\).

В частности, если \(y=\displaystyle \frac<3-2x>\), то \(y=\displaystyle \frac<5-2(x+1)>=-2+\frac<5>\).

Рис. 9.4

Поэтому график этой функции можно получить сдвигом графика гиперболы \(y=\displaystyle \frac<5>\) вдоль оси \(Ox\) на -1 и вдоль оси \(Oy\) на -2 (рис. 9.4). Отсюда следует, что график функции \(y=\displaystyle \frac<3-2x>\) симметричен относительно точки \((-1, -2)\).

Построить график функции \(y=\sqrt<-x>\).

\(\triangle\) График функции \(y=\sqrt<-x>\) можно получить из графика функции \(y=\sqrt\) с помощью симметрии относительно оси ординат (рис. 9.5).\(\blacktriangle\)

Отметим еще, что график функции \(y=|f(x)|\) можно получить из графика функции \(у=f(x)\) следующим образом:

1. часть графика функции \(f(x)\), лежащую выше оси \(Ox\) и на этой оси, оставить без изменения;
2. часть графика функции f(x),лежащую ниже оси \(Ox,\) симметрично отразить относительно Ox.

Построить график функции \(y=|x^<2>-2x|.\)

\(\triangle\) Применяя указанный выше прием, строим график этой функции (рис. 9.6) с помощью графика функции \(y=x^<2>-2x\) (рис.9.3). \(\blacktriangle\)

Четные и нечетные функции.

Функция f, определенная на множестве X, называется:

1. четной, если для любого \(x\in X\) выполняются условия \(-x\in X\) и \(f(-x)=f(x)\);
2. нечетной, если для любого \(x\in X\) выполняются условия \(-x\in X\) и \(f(-x)=-f(x)\).

Четными являются, например, следующие функции: \(\displaystyle y=x^<4>,\;y=\cos\frac<2>,\;y=\lg |x|,\;y=\frac<\sin x>\), а нечетными — функции \(y=\displaystyle \frac<1>>,\ y=\sin^<5>2x, y=x^<2>\displaystyle \operatorname\frac<2>,\ y=\arcsin(\sin x)\).

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Построить график функции \(y=x^<2>-2|x|.\)

\(\triangle\) Если \(x\geq 0,\) то \(y =x^2-2x\) (см. рис. 9.3). Так как \(x^<2>-2|x|\)— четная функция, то для функции, соответствующей значениям \(x\leq 0\), следует симметрично отразить график \(y=x^<2>-2x, x\geq 0,\) относительно оси \(Oy\) (рис. 9.7). \(\blacktriangle\)

На рис. 9.8 изображен график нечетной функции \(y=x^<3>.\)

Рис. 9.8

Ограниченные и неограниченные функции.

Функцию f называют ограниченной снизу на множестве \(X\subset D(f)\), если существует число \(С_1\) такое, что для любого \(x\in X\) выполняется неравенство \(f(x) \geq C_1\).

Используя символы \(\exists\) и \(\forall\), это определение можно записать так:
$$
\exists C_<1>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq C_<1>.\nonumber
$$
Аналогично функцию f называют ограниченной сверху на множестве \(X\subset D(f)\), если
$$
\exists C_<2>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\leq C_<2>.\nonumber
$$

Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве X, называют ограниченной на этом множестве.

Функция f является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда
$$
\exists c>0:\forall x\in X\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$

Если неравенство \(|f(x)|\leq C\) выполняется для всех \(x\in D(f)\), говорят, что функция f ограничена.

Геометрически ограниченность функции f на множестве X означает, что график функции \(y=f(x), x\in X,\) лежит в полосе \(<-C\leq y\leq C>.\)

Например, функция \(y=\displaystyle \sin\frac<1>\), определенная при \(x\in\mathbb, x\neq 0\), ограничена, так как
$$
|\sin\frac<1>|\leq 1\nonumber
$$

Функция f не ограничена на множестве X, если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\forall C>0\ \exists x_\in X:|f(x_)|\geq C.\label
$$

Если \(X= D(f)\) и выполнено условие \eqref, то говорят, что функция f не ограничена.

Доказать, что функция \(y=\displaystyle \frac<1>>\) не ограничена.

\(\triangle\) Функция \(\displaystyle \frac<1>>\) определена при \(x\in\mathbb\), \(x\neq 0\). Пусть C — любое положительное число, и пусть \(\displaystyle =\frac<1><\sqrt<2C>>>\), тогда \(\displaystyle y(x_)=2C>C\) то есть выполняется условие \eqref. \(\blacktriangle\)

Пусть Y — множество значений, которые функция f принимает на множестве \(X\subset D(f)\) . Тогда точную верхнюю грань множества Y называют точной верхней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\sup_\), а точную нижнюю грань множества Y — точной нижней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\displaystyle \inf_\).
Если X=D(f), то в этих определениях указание на множество X опускают.

Пусть существует точка \(x_<0>\in X\subset D(f)\) такая, что для всех \(x\in X\) выполняется неравенстве \(f(x) \leq f(x_0)\).Тогда говорят, что функция f принимает в точке \(x_<0>\) наибольшее (максимальное) значение на множестве X и пишут \(f(x_<0>)=\displaystyle \max_f(x)\) В этом случае \(\displaystyle \sup_=f(x_<0>) \)

Аналогично, если \(\exists x_<0>\in X\subset D(f):\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq f(x_<0>)\) , то говорят, что функция f принимает в точке \(x_0\) наименьшее (минимальное) значение на множестве X, и пишут \(f(x_<0>)=\displaystyle \min_f(x)\). В этом случае \(\displaystyle \inf_f(x)=f(x_<0>)\).

Максимальные и минимальные значения называют экстремальными.

Монотонные функции.

Функцию \(f\) называют возрастающей (неубывающей) на множестве \(X\subset D(f)\), если для любых точек \(x_1 \in X, x_<2>\in X\) таких, что \(x_<1>\; f(x_<2>).\nonumber
$$

Убывающие и возрастающие функции объединяют названием монотонные, а строго возрастающие и строго убывающие — названием строго монотонные.

Если \(X=D(f)\), то в этих определениях указание на множество \(X\) обычно опускают.

Доказать, что функция f строго возрастает на множестве X, если:

Источник

Читайте также:  Селектив он каре минерал инфуз способ применения