Числовая функция способы задания функции кратко

Функция. Способы задания функций.

Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.

1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.

Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.

2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.

Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.

Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.

3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.

Функцию можно задать с помощью математической формулы y=x 2 , тогда если х равно 2, то у равно 4, возводим х в квадрат.

4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.

Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у. Поясняем: если х равно 4, то у равно 4, а если х равно 358, то у равен сумме 3 + 5 + 8, т. е 16. Далее аналогично.

5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.

При разложении числа Эйлера задается функцией:

Ее сокращение приведено ниже:

При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда, значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.

Источник

Числовая, способы задания, свойства

В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел .

Способы задания функции

Словесный	С помощью естественного языка	Игрек равно целая часть от икс.
Аналитический	С помощью формулы и стандартных обозначений	f(x) = x!
Графический	С помощью графика	Фрагмент графика функции .
Табличный	С помощью таблицы значений	x y

[править]Аналитический способ

Обычно функция задаётся с помощью формулы, в которую входят переменные, операции и элементарные функции. Возможно, кусочное задание, то есть различное для различных значений аргумента.

§ ;

§ ;

§ ;

§

[править]Табличный способ

Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:

[править]Графический способ

Осциллограмма задаёт значение некоторой функции графически.

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

[править]Рекурсивный способ

Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

[править]Словесный способ

Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.

§ функция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру;

§ функция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени;

§ функция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Источник

Определение функции. Способы задания функции.

Что значить задать функцию? Какими способами можно задать функцию? Что такое определение функции?

Задать функцию — это значит указать правило, при задании любого значения аргумента x вы найдете значение функции y.

Функция y=f(x) – зависимость переменной y от переменной x. Когда задаем значение аргумента x, получаем единственное значение функции y.

Способы задания функции.

В данной статье рассмотрим 3 способа задания функции. На самом деле их больше, в школьной программе чаще всего разбирают эти способы задания функции.

Аналитический способ задания функции.

Чаще всего в школьной программе правило задают в виде формулы y=f(x), x∈X или нескольких формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Примеры аналитического задания функции:

Графический способ задания функции.

Также если по формуле построить график функции, то данный способ задания функции будет называться графическим. Не всегда вам будут давать график совместно с формулой. Иногда вам в заданиях будут давать только график функции, по которому вы должны будете найти определенные данные. По графику функции можно восстановить его формулу, но это не всегда легко сделать, все зависит от начерченного графика. В школьной программе вам будут задавать графики, по которым вы сможете рассчитать формулу.

Примеры, графического задания функции:

Табличный способ задания функции.

Следующий способ задания функции применяется чаще всего на практике называется табличный.

Все данные представлены в виде таблице. У этого способа имеется конечное множество значений аргумента. Такими таблицами вы уже пользовались в алгебре, например, таблица квадратов, таблица корней и т.д.

Примеры, табличного задания функции:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	1	4	9	16	25	36	49	64	81

Рассмотрим примеры по теме «Способы задания функции»:

Пример №1:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.

Пример №2:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.

Пример №3:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

При проведении вертикальных линий у нас имеется два пересечения. То есть у одной вертикальной линии два пересечения с фигурой. По определению переменной x должно соответствовать только одно значение переменной y, а у нас два пересечения фигуры. Следовательно, данная фигура не является графиком функции.

Источник