Числовая функция определение способы задания график функции

Числовая функция: определение , способы задания, график Содержание

§ 7. Числовая функция: определение , способы задания, график 70

6.1. Определение числовой функции 70

7.1. Сужение функции 72

7.2. Способы задания функции 73

7.3. Явно или неявно заданные функции 73

7.4. Параметрически заданные функции 75

7.5. График функции 77

7.6. Примеры построения графиков функций 78

7.7. Упражнения для самостоятельной работы 83

Вопросы для самопроверки 85

Определение числовой функции

Определение числовой функции

Переменная величина yназываетсячисловой функциейпеременной величиныx, если каждому возможному числовому значению величиныxставится в соответствие по какому-нибудь правилу или закону единственное числовое значение величиныy.

Обозначения: илиилиилиили.

где x— это независимая переменная, или аргумент;y— это зависимая переменная, или функция.

Если обозначить через

X– множество числовых значений, которые может принимать переменнаяx,

Y– множество числовых значений, которые принимает переменнаяy,

то функциональная зависимость между переменными xиyздесь задает отображение числового множестваXна числовое множествоY, при котором каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент множестваY(рис. 40).

В отличие от более общего определения функции как отображения множеств, состоящих из элементов любой природы, числовая функция задает отображение множества X, элементами которого являются числа, на множествоY, элементами которого тоже являются числа. Кроме того, далее будем считать, что множествоY — это есть множество значений функции, так что отображениеявляется сюръекцией.

МножествоXзадания функции и множествоYзначений функции для числовых функций традиционно называютобластью определения функции(ООФ)иобластью значений функции(ОЗФ).

Значение функции в точке

Если задано отображение множеств функцией , то элементы множествXиYназываются точками. Символомобозначается при этом как сама функция, так и элемент, соответствующий элементуx при этой функциональной зависимости.

Если x₀— это фиксированное значение аргументаx, то значение функции в точкеx₀обозначается следующими символами:

или или или .

Например, ;

,.

Сужение функции

Если есть функцияи рассматривается некоторое подмножествоЕ множестваХ, то отображениеназываетсясужением функции f на множество Е.

Пример 1 (сужение функций)

1) ,— это есть сужение функции,на множество;

2) любая последовательность есть сужение функциина множество натуральных чисел; например,– это есть сужение функции,на множество.

Наряду с понятием сужения функции существует и понятие расширения функции.

Пример 2 (расширение функций)

1) ; от этой функции можно перейти к её расширению на множество:;

2) от функции можно перейти к её расширению на множество, если рассматривать её значения на множестве комплексных чисел, где возможно извлечение корня квадратного из отрицательного числа.

Способы задания функции

1.Аналитический способ задания функции — функция задается математической формулой, связывающей аргумент и функцию. По этой формуле для каждого возможного значения аргумента можно вычислить соответствующее значение функции. При этом нужно различать:

явное задание функции,

неявное задание функции,

параметрическое задание функции.

2.Табличный способ задания функции— используется для функций, заданных на дискретном конечном множестве значений аргумента; записывается обычно в виде следующей таблицы:

Источник

Числовые функции

Понятие числовой функции.

Пусть дано числовое множество \(X\subset\mathbb\). Если каждому \(x\in X\) поставлено в соответствие по некоторому правилу число \(y\). то говорят, что на множестве \(X\) определена числовая функция.

Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например, \(f\) и пишут
$$
y=f(x),\;x\in X,\label
$$
а множество \(X\) называют областью определения функции и обозначают \(D(f)\), то есть \(X=D(f)\).

\(x\) часто называют аргументом или независимой переменной, а \(y\) — зависимой переменной. Числа \(x\) из множества \(D(f)\) называют значениями аргумента. Число \(y_0\), соответствующее значению \(x_<0>\in D(f)\), называют значением функции при \(x=x_<0>\) (или значением функции в точке \(x_0\)) и обозначают \(f(x_0)\) или \(f(x)|_>\). Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве \(D(f)\), называют множеством значений функции и обозначают \(E(f)\). Заметим, что если \(y_0\in E(f)\), то существует по крайней мере одно число \(x_<0>\in D(f)\) такое, что \(f(x_0)=y_0\).

Функцию часто обозначают только символом (\(f,\;\varphi,\;F\) и т. д.), который определяет правило (закон) соответствия. Для обозначения функции используются также записи вида \(x\mapsto f(x),\;f:\;X\rightarrow Y\). Под словом «функция» часто понимают зависимую переменную \(у\), значения которой определяются значениями независимой переменной \(x\) и правилом \(f\), или даже само это правило. Термин «функция» имеет синонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, говорят, что функция \(f\) отображает множество \(X=D(f)\) на множество \(Y=E(f)\), и называют множество \(Y\) образом множества \(X\) при отображении \(f\). Если \(E(f)\subset E_1\), то говорят, что функция \(f\) отображает \(X\) в \(E_1\).

Равенство функций. Операции над функциями.

Функции \(f\) и \(g\) называют равными или совпадающими, если они имеют одну и ту же область определения \(X\) и для каждого \(x\in X\) значения этих функций совпадают. В этом случае пишут \(f(x)=g(x),\ x\in X\) или \(f=g\).

Например, если \(f(x)=\sqrt>, \ x\in\mathbb\),и \(g(x)=|x|, \ x\in\mathbb\), то \(f=g\), так как при всех \(x\in\mathbb\) справедливо равенство \(\sqrt>=|x|\).

Если \(E’\subset D(f)\) , то функцию \(g(x)=f(x),\;x\in E’\), называют сужением функции f на множество \(E’\). Например, если \(E’=[0, +\infty),\) то функция \( q(x)=x, \ x\in E’\), является сужением функции \(f(x)=|x|\), \(x\in\mathbb\) , на множество \(E’\).

Если равенство \(f(x)=g(x)\) верно при всех \(x\in E’\), где \(E’\subset D(f)\cap D(g)\), то есть сужения функций f и g на множество \(E’\) совпадают, то в этом случае говорят, что функции \(f\) и \(g\) равны на множестве \(E’\). Например, функции \(\sqrt>\) и \(x\) равны на множестве \( E’=[0,+\infty\)).

Естественным образом для функций вводятся арифметические операции. Пусть функции \(f\) и \(g\) определены на одном и том же множестве \(E\). Тогда функции, значения которых в каждой точке \(x\in E\) равны \(f(x)+g(x),\;f(x)-g(x),\;f(x)g(x),\;f(x)/g(x)(g(x)\neq 0\) для всех \(x\in E\)) , называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным функций \(f\) и \(g\) и обозначают \(f+g,\;f-g,\;fg,\;f/g\).

Введем понятие сложной функции. Пусть функции \(y=\varphi(x)\) и \(z=f(y)\) определены на множествах \(X\) и \(Y\) соответственно, причем множество значений функции \(\varphi\) содержится в области определения функции \(f\). Тогда функцию, принимающую при каждом \(x\in X\) значение \(F(x)=f(\varphi(x))\), называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций \(\varphi\) и \(f\) и обозначают \( f\circ \varphi \). Например, функция \(z=\sqrt<4-x^2>,\;x\in [-2,2]\), является композицией функций \(y=4-x^2,\;x\in [-2,2]\) и \(z=\sqrt,\;y\in [0,+\infty)\) . Эта функция относится к совокупности элементарных функций, то есть функций, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. К основным элементарным функциям относят постоянную, степенную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Например, элементарными являются функции:

1. линейная \(y=ax+b, \ a\neq 0;\)
2. квадратичная \(y=ax^2+bx+c,\ a\neq 0\);
3. многочлен степени n, то есть функция , где \(y=P_n(x)\), где \(P_n(x)=a_x^+a_x^+\ldots+a_<1>x+a_0;\)
4. рациональная функция, то есть функция вида \(y=\frac(x)>(x)>\) где \(P_\) и \(Q_\) — многочлены степени n и m, \( m\neq 0\).

Способы задания функции.

Числовые функции чаще всего задаются при помощи формул. Такой способ задания называют аналитическим. Например, функции \(y=x^2, \ y=|x|^<3>, \ y=\sin^3<3x>\) заданы на множестве \(\mathbb\) аналитически.

Если числовая функция f задана формулой и не указана область ее определения \(D(f)\) , то принято считать, что \(D(f)\) — множество всех тех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, и результатом каждой операции, указанной в формуле, является вещественное число. Например, если \(f(x)=\sqrt<9-x^2>\), то \(D(f)=[-3,3]\), а если \(f(x)=\sqrt <\operatorname\sin>\), то \(D(f)\) — множество корней уравнения \(\sin x=1\) то есть множество чисел \(x_=\pi/2.+2\pi k\), где \(k\in Z\).

Следует отметить, что функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Например, функция
$$
f(x)=\left\<\begin-x,\quad если\;x\; 1,\end\right.\nonumber
$$
задана аналитическим способом на \(\mathbb\) с помощью трех различных формул.

Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таблицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции. Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.

На практике часто соответствие между значениями аргумента и значениями функции задается с помощью рисунка. Например, в медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы — кривые, отражающие изменение с течением времени электрических импульсов в мышце сердца. В практике физических измерений функциональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика, снимаемого, например, с экрана осциллографа.

График функции.

Графиком функции \(y=f(x), x\in D(f),\) в прямоугольной системе координат \(Oxy\)-называют множество всех точек плоскости с координатами \((x,f(x)\overline<)>\), где \(x\in D(f)\).

Для каждого \(x_0\in D(f)\) прямая, \(x=x_<0>\), параллельная оси \(Oy\), пересекает график функции \(y=f(x)\) , \(x\in D(f)\), в одной точке \(M_<0>(x_<0>,y_<0>)\) , где \(y_<0>=f(x_<0>)\) — значение функции f при \(x=x_<0>\). Значениях \(x=a\), при котором \(f(a)=0\), называют нулем функции \(f(x)\). Если \(x=a\) — нуль функции \(f(x)\), то график функции \(y=f(x)\) пересекает ось \(Ox\) при \(x=a\) то есть в точке М\((a,0)\).

Строго говоря, следует различать график функции, точное определение которого дано выше, и эскиз части графика, принимаемый нередко за график.

Построить график функции \(y=E(x)\) , где \(E(x)=[x]\) — целая часть числа \(x\) (наибольшее целое число, не превосходящее \(x\)).

Пусть \(x\in[n,n+1\)), где \(n\in Z\), тогда \(E(x)=n\). График функции \(y=E(z)\) изображен на рис. 9.1. Стрелка на графике указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику.

Рис. 9.1

Построить график функции \(y=sign\;\sin x\) где
$$
\operatorname\;x=\left\<\begin1,\quad если\quad x>0,\\0,\quad если\quad x=0,\\-1,\quad если\quad x\; Решение

Если \(x\in\left(-\pi+2k\pi,\;2k\pi\right)\) , где \(k\in\mathbb\), то \(\sin x\; 0\), и \(sign \sin x=1\). Если \(x=k\pi\), где \(k\in\mathbb\), то \(y=0\). График функции изображен на рис. 9.2.

Рис. 9.2

График функции \(y=f(x)\) иногда можно получить преобразованием известного графика другой функции \(y=g(x)\).

Функция \(y=f(x)\)	Преобразование графика функции \(y=g(x)\)
\(y=g(x)+A\)	Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат на A
\(y=g(x-a)\)	Сдвиг вдоль оси абсцисс на а
\(y=g(-x)\)	Симметрия относительно оси ординат
\(y=-g(x)\)	Симметрия относительно оси абсцисс
\(y=Bg(x)\)	Умножение каждой ординаты на B, где \(b\neq 0\)
\(y=g(kx)\)	Деление каждой абсциссы на k, где \(k\neq 0\)

Приведем примеры применения преобразований, указанных в таблице.

График квадратичной функции
$$
y=ax^<2>+bx+c,\quad a\neq 0,\label
$$
можно получить сдвигом графика функции \(у=ах\) вдоль оси \(Ox\).

\(\triangle\) Действительно, выделяя полный квадрат, получаем
$$
ax^2+bx+c=a(x+\displaystyle \frac<2a>)^<2>+c-\frac><4a>.\nonumber
$$
Поэтому графиком квадратичной функции \eqref является парабола, получаемая сдвигом параболы \(y=ax^<2>.\quad\blacktriangle\)

Рис. 9.3

Например, график функции \(y=x^<2>-2x\), изображенный на рис. 9.3, можно получить сдвигом графика \(у=x^2\) вдоль оси \(Ox\) на 1 и вдоль оси \(Oy\) на -1, так как \(x^<2>-2x=(x-1)^<2>-1\).

График дробно-линейной функции
$$
y=\displaystyle \frac,\quad c\neq 0,\quad ad-bc\neq 0,\label
$$
можно получить преобразованием графика функции вида \(y=\displaystyle \frac\).

В частности, если \(y=\displaystyle \frac<3-2x>\), то \(y=\displaystyle \frac<5-2(x+1)>=-2+\frac<5>\).

Рис. 9.4

Поэтому график этой функции можно получить сдвигом графика гиперболы \(y=\displaystyle \frac<5>\) вдоль оси \(Ox\) на -1 и вдоль оси \(Oy\) на -2 (рис. 9.4). Отсюда следует, что график функции \(y=\displaystyle \frac<3-2x>\) симметричен относительно точки \((-1, -2)\).

Построить график функции \(y=\sqrt<-x>\).

\(\triangle\) График функции \(y=\sqrt<-x>\) можно получить из графика функции \(y=\sqrt\) с помощью симметрии относительно оси ординат (рис. 9.5).\(\blacktriangle\)

Отметим еще, что график функции \(y=|f(x)|\) можно получить из графика функции \(у=f(x)\) следующим образом:

1. часть графика функции \(f(x)\), лежащую выше оси \(Ox\) и на этой оси, оставить без изменения;
2. часть графика функции f(x),лежащую ниже оси \(Ox,\) симметрично отразить относительно Ox.

Построить график функции \(y=|x^<2>-2x|.\)

\(\triangle\) Применяя указанный выше прием, строим график этой функции (рис. 9.6) с помощью графика функции \(y=x^<2>-2x\) (рис.9.3). \(\blacktriangle\)

Четные и нечетные функции.

Функция f, определенная на множестве X, называется:

1. четной, если для любого \(x\in X\) выполняются условия \(-x\in X\) и \(f(-x)=f(x)\);
2. нечетной, если для любого \(x\in X\) выполняются условия \(-x\in X\) и \(f(-x)=-f(x)\).

Четными являются, например, следующие функции: \(\displaystyle y=x^<4>,\;y=\cos\frac<2>,\;y=\lg |x|,\;y=\frac<\sin x>\), а нечетными — функции \(y=\displaystyle \frac<1>>,\ y=\sin^<5>2x, y=x^<2>\displaystyle \operatorname\frac<2>,\ y=\arcsin(\sin x)\).

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Построить график функции \(y=x^<2>-2|x|.\)

\(\triangle\) Если \(x\geq 0,\) то \(y =x^2-2x\) (см. рис. 9.3). Так как \(x^<2>-2|x|\)— четная функция, то для функции, соответствующей значениям \(x\leq 0\), следует симметрично отразить график \(y=x^<2>-2x, x\geq 0,\) относительно оси \(Oy\) (рис. 9.7). \(\blacktriangle\)

На рис. 9.8 изображен график нечетной функции \(y=x^<3>.\)

Рис. 9.8

Ограниченные и неограниченные функции.

Функцию f называют ограниченной снизу на множестве \(X\subset D(f)\), если существует число \(С_1\) такое, что для любого \(x\in X\) выполняется неравенство \(f(x) \geq C_1\).

Используя символы \(\exists\) и \(\forall\), это определение можно записать так:
$$
\exists C_<1>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq C_<1>.\nonumber
$$
Аналогично функцию f называют ограниченной сверху на множестве \(X\subset D(f)\), если
$$
\exists C_<2>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\leq C_<2>.\nonumber
$$

Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве X, называют ограниченной на этом множестве.

Функция f является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда
$$
\exists c>0:\forall x\in X\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$

Если неравенство \(|f(x)|\leq C\) выполняется для всех \(x\in D(f)\), говорят, что функция f ограничена.

Геометрически ограниченность функции f на множестве X означает, что график функции \(y=f(x), x\in X,\) лежит в полосе \(<-C\leq y\leq C>.\)

Например, функция \(y=\displaystyle \sin\frac<1>\), определенная при \(x\in\mathbb, x\neq 0\), ограничена, так как
$$
|\sin\frac<1>|\leq 1\nonumber
$$

Функция f не ограничена на множестве X, если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\forall C>0\ \exists x_\in X:|f(x_)|\geq C.\label
$$

Если \(X= D(f)\) и выполнено условие \eqref, то говорят, что функция f не ограничена.

Доказать, что функция \(y=\displaystyle \frac<1>>\) не ограничена.

\(\triangle\) Функция \(\displaystyle \frac<1>>\) определена при \(x\in\mathbb\), \(x\neq 0\). Пусть C — любое положительное число, и пусть \(\displaystyle =\frac<1><\sqrt<2C>>>\), тогда \(\displaystyle y(x_)=2C>C\) то есть выполняется условие \eqref. \(\blacktriangle\)

Пусть Y — множество значений, которые функция f принимает на множестве \(X\subset D(f)\) . Тогда точную верхнюю грань множества Y называют точной верхней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\sup_\), а точную нижнюю грань множества Y — точной нижней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\displaystyle \inf_\).
Если X=D(f), то в этих определениях указание на множество X опускают.

Пусть существует точка \(x_<0>\in X\subset D(f)\) такая, что для всех \(x\in X\) выполняется неравенстве \(f(x) \leq f(x_0)\).Тогда говорят, что функция f принимает в точке \(x_<0>\) наибольшее (максимальное) значение на множестве X и пишут \(f(x_<0>)=\displaystyle \max_f(x)\) В этом случае \(\displaystyle \sup_=f(x_<0>) \)

Аналогично, если \(\exists x_<0>\in X\subset D(f):\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq f(x_<0>)\) , то говорят, что функция f принимает в точке \(x_0\) наименьшее (минимальное) значение на множестве X, и пишут \(f(x_<0>)=\displaystyle \min_f(x)\). В этом случае \(\displaystyle \inf_f(x)=f(x_<0>)\).

Максимальные и минимальные значения называют экстремальными.

Монотонные функции.

Функцию \(f\) называют возрастающей (неубывающей) на множестве \(X\subset D(f)\), если для любых точек \(x_1 \in X, x_<2>\in X\) таких, что \(x_<1>\; f(x_<2>).\nonumber
$$

Убывающие и возрастающие функции объединяют названием монотонные, а строго возрастающие и строго убывающие — названием строго монотонные.

Если \(X=D(f)\), то в этих определениях указание на множество \(X\) обычно опускают.

Доказать, что функция f строго возрастает на множестве X, если:

Источник

Читайте также:  Способы применения коллагеновых масок