Число способов составить четное трехзначное число

Пракикум «Решение задач по комбинаторике»

Разделы: Математика

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

ЗАДАЧИ и решения

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?

3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов

8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

№ телефона 394

10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чётных чисел?

5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?

Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)

5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 • 2 = 4
Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8
Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?

1 буква – 33 способа
2 буква – 32 способа
3 буква – 32 способа
4 буква – 32 способа

Источник

Элементы комбинаторики

Разделы: Математика

№ 1. Имеем 4 разных конверта без марок и 3 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправления письма?

34 = 12 (способов)

Ответ: 12 способов.

№ 2. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.

1) Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2) Сколькими способами из коробки можно вынуть два разноцветных шара?

= = = = 16 (способов)

= = 10

№ 3. В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин, после него из оставшихся фруктов Надя выбирает яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Пети у Нади больше возможностей выбора?

+ = + = 21 + 19

Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше возможностей для выбора.

Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

№ 4. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

= = = 5.

№ 5. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

= = . Ответ: 24.

№ 6. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

= = = = = 29870(способов).

№ 7. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

= = = = 6.

№ 8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов?

= = = = 5 = 210 (способов).

№ 9. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим?

= = = =

= = =13 = 2780 (способов).

№ 10. На плоскости отметили 5 точек. Их необходимо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в латинском алфавите 26 букв?

= = = = 22 (способов)

Ответ: .

№ 11. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не повторяются?

= = = 2 = 120 (способов).

№ 12*. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не повторяются?

= = – = 5! -4! = 4!(5 – 1) = 1.

№ 13. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?

= = – = – =

= 44 = 4 (номеров)

№ 14. Сколько разных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2) кратными 5?

2= = = 2 2) = = = = 2

№ 15*. Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.

=20;

= 20 ОДЗ: х

= 20

= 6.

= 6

= 6 ОДЗ: х

= 6

х 2 -3х -4х + 12 – 6 = 0

х 2 – 7х + 6 = 0 х₁ = 6, х₂ = 1 (исключить).

№ 1. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?

Решение: Р₄ = 4! = 1 = 24 (способа)

№ 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение: Р₇ = 7! = 1

№ 3. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

Решение: Р₅ = 5! =1 (выражений)

№4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение:Р₃ = 3! = 1(вариантов)

№ 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

1) Р₆ = 1720.

2) Р₆ – Р₅ = 6! – 5! = 1

Ответ: 1) 720; 2) 600.

№ 6. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5?

1) Р₃ =3! = 1 2) Р₃ =3! = 1

№ 7. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе).

Р₄ = 4! = 1 = 24

1+3+5+7 = 16 16

№ 8. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?

№ 9*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихотворений, чтобы сборники стихотворений стояли рядом в случайном порядке?

Р₇₅ = 7! 5! = 1

№ 10. Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Р₁₀ = 10! =1 — расположения 5 мальчиков и 5 девочек в любом месте и в любом ряду.

Если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных, то таких способов будет равно: Р₅₅ = 5!5! = 1

Ответ: 3628800; 14400.

№ 1. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: = = = = 21(способ).

№ 2. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: = = = = 56 (способов).

№ 3. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

= = = = 210 (способов).

№ 4. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны 1 словарь и 2 художественные = Р₁ = 1! = 1 (способ) 2 художественные из 11 художественных можно выбрать = = = = 55 (способов).

Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно выбрать

= = = = 55 (способов)

Если не нужен словарь, то

= = = = 165 (способов).

№ 5. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории необходимо выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

= = = = = 400400(способами)

№ 6. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?

= = = = 120(способов).

№ 7. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.

Сколько всего фотографий необходимо было для этого?

= = = 870 (фотографий).

№ 8. Сколько перестановок можно сделать из букв слова “Харьков”?

Решение: Р₇ – Р₆ = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1

№ 9. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.

Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?

= = = = 3

№ 10. Сколькими разными способами собрание из 40 человек может выбрать из числа своих членов председателя собрания, его заместителя и секретаря?

= = = = 59280 (способов)

№ 11. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?

Решение: = = = = 28 (прямых линий)

№ 12. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?

Решение: = = = 2(разных пятизначных числа)

№ 13. Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.

Решение: общая формула вычисления диагоналей у n- угольника

= = = ;

n=5, то = 10 (диагоналей)
n=12, то = 66 (диагоналей)
n=8, то = 28 (диагоналей)
n=15, то = 105(диагоналей)

Ответ: 10; 66; 28; 105.

№ 14. Сколько разных трехцветных флагов можно сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Решение: Р₃ = 3! = 1 = 6 (флагов).

№ 15. Сколько разных плоскостей можно провести через 10 точек, если ни какие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Решение: = = = 360 (разных плоскостей)