Метод замены плоскостей проекций
Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.
Замена одной плоскости проекции
Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.
Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П1, П2. Введем дополнительную горизонтальную пл. П4. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2 и пересечет её по оси x1. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.
В новой системе плоскостей положение точки A» не изменится. Чтобы найти точку A’1, которая является проекцией т. А на плоскость П4, проведем из A» перпендикуляр к оси x1. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x1 отложим отрезок Ax1А’1, равный отрезку AxA’.
Данные построения основаны на равенстве ординат точек A’ и А’1. Действительно, в системе плоскостей П1, П2 и в системе П2, П4 точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П2 на одно и то же расстояние.
Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П1, П4 (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П4, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П1 и пересечет её по оси x1.
В системе П1, П4 положение точки B’ останется неизменным. Чтобы найти точку B»1, проведем из B’ перпендикуляр к оси x1. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x1 отложим отрезок Bx1B»1 равный отрезку BxB». Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B» и B»1.
Замена двух плоскостей проекций
Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A’ и A» – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П1, П2. Введем первую дополнительную плоскость П4 и определим новую горизонтальную проекцию A’1 точки A, как это было описано ранее.
Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П2, П4 в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П5 перпендикулярно горизонтальной пл. П4. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x2 = П4 ∩ П5. Из точки A’1, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x2. На нем от точки Ax2 отложим отрезок Ax2A»1 равный отрезку A»Ax1.
Использование метода замены при решении задач
Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П4 проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.
На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П1, П4 так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h0α введем дополнительную фронтальную плоскость П4.
Новый фронтальный след f0α1 строится по двум точкам. Одна из них, Xα1, лежит на пересечении h0α с осью x1. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N»1 на плоскости П4.
Определение расстояния между параллельными плоскостями
Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.
Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f0β1 и f0α1, параллельных друг другу.
Источник
Научная электронная библиотека
Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,
5.3. Преобразование комплексного чертежа способом замены плоскостей проекций
Рассмотрим решение задач, используя способ замены плоскостей проекций. При этом способе объект сохраняет своё положение в пространстве,а положение плоскостей проекций последовательно меняется. Любые две взаимно перпендикулярные плоскости могут быть приняты за новую систему плоскостей проекций, но при этом понятие горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций сохраняется.
Задача №1. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения АВ оказалась параллельной одной из плоскостей проекций т.е. прямой уровня (горизонталь или фронталь) новой системы (рис. 5.1).
Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П1, или П2 новой плоскостью проекций П4, параллельной прямой АВ и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций.
Такая задача решается на комплексном чертеже при необходимости определения натуральной длины отрезка прямой и угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций. Для того чтобы прямая АВ в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, нужно заменить фронтальную плоскость проекций П2новой плоскостью П4 ⊥ П1 и параллельной прямой АВ.
Рис. 5.1. Изображение в пространстве преобразования прямой линии
общего положения в прямую линию уровня
Рассмотрим подробно этапы построения на комплексном чертеже (рис. 5.2), необходимые для решения первой основной задачи на преобразование комплексного чертежа:
1) провести новую ось проекций х14 параллельно А1В1 на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х14 обусловливается тем, что П4 параллельна АВ. В частном случае, если плоскость П4 проведена непосредственно через прямую АВ, ось х14 = А1В1;
2) выбрать на прямой две точки А(А1А2) и В(В1В2);
3) построить проекции точек А и В на плоскости П4.
Прямая А4В4 является проекцией прямой АВ на плоскость П4. Прямая AB в новой системе плоскостей проекций П1/П4 является фронталью.
Отрезок [АВ] прямой проецируется на плоскость П4 в истинную величину, т.е. |А4В4| = |АB|, α°– величина угла наклона прямой АВ к плоскости П1.
Рис. 5.2. Изображение преобразования прямой линии общего положения
в прямую линию уровня
3адача 2. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы линия общего положения АВ стала проецирующей (рис. 5.3).
Для решения задачи необходимо выполнить две замены плоскостей проекций – заменить фронтальную плоскость проекций П2 исходной системы П2/П1 вспомогательной проецирующей плоскостью П4 || А1В1.При этом плоскость П4 будет перпендикулярной П1 так как АВ || П4 и образует с ней новую систему плоскостей проекций П1/П4.
Построения на комплексном чертеже:
1) провести новую ось проекций х14 || А1В1;
2) построить проекции точек А и В на плоскости П4, взяв координаты точек из плоскости П2;
3) заменить плоскость П1 на новую П5, которая будет ⊥ А4В4. Для этого нужно провести новую ось проекций х4,5.
Так как расстояния точек А и В до плоскости П4 одинаковы, то проекции их на плоскости П5 совпадут, А5 ≡ В5, прямая АВ (А5В5) в новой системе плоскостей проекций займёт проецирующее положение и станет горизонтально проецирующей.
Прямую линию общего положения преобразовать в проецирующую линию, заменой, только одной плоскости проекций, нельзя, потому, что плоскость П5 перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из «старых» плоскостей проекций, и, следовательно, не сможет образовать, ни с одной из них, прямоугольной системы плоскостей проекций. Для того, чтобы, прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций: прямую общего положения следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (рис. 5.3).
Рис. 5.3. Изображение преобразования прямой линии АВ общего положения
в прямую горизонтально-проецирующую линию.
Задача №3. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей (рис. 5.4, 5.5).
Для решения задачи необходимо заменить плоскость П1 или П2исходной системы П2/П1 новой плоскостью П4, перпендикулярной плоскости 
(АВС).
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости 
, преобразовать в проецирующую, то данная плоскость 
в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня.
На рис. 5.4 плоскость 
(АВС) общего положения преобразована во фронтально-проецирующую путем преобразования её горизонтали h(h1,h2), во фронтально-проецирующее положение. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость 
является фронтально проецирующей ( 
⊥ П4), и поэтому её проекция на П4 вырождается в прямую линию 
4 (С4, А4, В4).
В этом случае α° – величина угла наклона плоскости 
к плоскости П1.
Рис. 5.4. Преобразование плоскости общего положения
в проецирующую плоскость для определения угла наклона α°к П1
Для определения угла наклона (β°), заданной плоскости к фронтальной плоскости проекций (П4), необходимо выполнить преобразования построения, аналогичные преобразованиям, рассмотренным выше (рис.5.5), используя фронталь.
Рис. 5.5. Преобразование плоскости общего положения
в проецирующую плоскость для определения угла наклона β° к П2
В этом случае плоскость преобразуется в горизонтально проецирующую плоскость с помощью её фронтали, которая преобразуется в горизонтально – проецирующую линию.
Задача № 4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня (параллельной одной из плоскостей проекций) новой системы (рис.5.6).
Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. В начале решения плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, т. е. решить задачу 3 на преобразование комплексного чертежа, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.
На рис. 5.6 показан алгоритм преобразования плоскости Δ(АВС) в плоскость уровня.
Рис. 5.6. Решение задачи на преобразование плоскости общего положения
в плоскость уровня.
Рассмотрим ещё один возможный вариант (рис. 5.7). Допустим, что необходимо определить натуральную величину фронтально проецирующей плоскости Г(ΔАВС). Для этого заменим плоскость П1 новой плоскостью проекций П4, параллельной плоскости Г(ΔАВС) и, перпендикулярной незаменяемой плоскости П1. В новой системе плоскостей проекций П2/П4 плоскость Г(АВС) станет плоскостью уровня новой плоскости проекций.
Построения на комплексном чертеже:
1) провести новую ось проекций х2,4 параллельно А2С2 на произвольном от нее расстоянии;
2) построить проекции точек А, В и С на плоскость П4;
3) треугольник А4В4С4 является проекцией плоскости треугольника АВС на плоскость П4.
Примечание. Так как плоскость треугольника АВС параллельна П4, значит отображение этого треугольника на П4 величина натуральная. Значит, третья задача на преобразование плоскости уже решена и для решения четвёртой задачи необходимо выполнить одну замену плоскостей проекций. Необходимо горизонтальную плоскость проекций заменить на плоскость П4 и создать новую систему П2 /П4.
Рис. 5.7. Решение четвертой задачи на преобразование фронтально проецирующей плоскости в плоскость уровня
Источник
