Метод рассмотрения частных случаев
Есть n пчелок и n + 1 цветок. Определите, при каких значениях переменной n может так получиться, что каждая пчелка посетила одинаковое количество цветков, но на каждом цветке побывала разное количество пчелок.
Решение:
(№543 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Пронумеруем цветки от 1 до n + 1, а п челок от 1 до n. Рассмотрим таблицу. Будем ставить звездочки (*) па следующему правилу: если i-я пчелка посетила k-й цветок, то ставим в эту клетку (*) (i-й столбец и k-я строка), в других случаях клетки остаются без (*). Подсчитаем двумя разными способами количество клеток со (*).
Поскольку на каждом цветке побывало разное количество пчелок и цветков n + 1, а пчелок n, то пчелки посетили 0, 1, … , n цветков, потому что в таблице есть строка, в которой нет ни одной клетки со (*), есть строка, в которой одна клетка со (*) и так далее, есть строка, в которой n клеток со (*). Других строк нет. Значит, в таблице 0 + 1 + 2 + … + n = (n + 1)/2 звездочка. Такие задачи вам поможет решить репетитор по олимпиадным задачам.
С другой стороны, поскольку каждая пчелка посетила одинаковое количество цветков, то в каждом столбце таблицы находится одинаковое количество клеток со (*) (пусть их m). Звездочек в таблице m∙n. Поскольку m∙n = n(n + 1)/2, то m = (n + 1)/2 и n = 2m – 1 – это нечетное число. Остается расставить звездочки в таблице так, чтобы в строках было 0, 1, … , n клеток со (*), а в каждом столбце (n + 1)/2.
Еще логические задачи по математике для школьников.
Источник
Урок решения частных задач
Формирование навыка в системе развивающего обучения имеет свои особенности. Известно, что навык в традиционной системе обучения вырабатывается с помощью ряда однотипных упражнений, доведения их выполнения до автоматизма. Однако здесь если и можно говорить об эффективности такого способа, то лишь по отношению к конкретно-практическим задачам обиходного типа (письмо, счет).
В условиях же использования обобщенного способа решения задач теоретического типа вопрос формирования навыка остается практически неразработанным. Например, овладение способом решения орфографических задач еще не дает гарантии письма без ошибок. В программе обучения русскому языку особая роль отводится так называемому списыванию. Предполагается, что задача на списывание, условием которой является выделение или пропуск орфограмм слабых позиций, формирует орфографическую зоркость, а следовательно, позволяет в процессе письма не делать ошибок. Однако подобный способ формирования именно навыка является искусственным.
Задача на списывание, вводимая внутри языковой предметной области, и задача грамотного письма — это принципиально разные смысловые задачи. В первом случае это задача на контроль собственного способа действия. Письмо же вообще есть не цель, а средство решения какой-то другой задачи. В соответствии с известным механизмом сдвига мотива на цель у ребенка должна возникнуть потребность в адекватном применении средства (в данном случае письмо без ошибок). Можно предположить, что основным условием формирования навыка в развивающем обучении является постановка перед ребенком таких задач, где неадекватное применение средства обеспечивает или осложняет решение основной задачи.
Учебная деятельность в этом случае приобретает форму жизнедеятельности. Она органично входит в жизнедеятельность, становится ее основным средством. Использование способа, полученного в одной предметной области, как средства решения задач в других предметных областях позволяет ребенку видеть мир целостным, обнаружить взаимосвязь между предметами — сторонами единого мира.
В связи с этим следует конкретизировать понятие оценки как учебного действия. В теории учебной деятельности она рассматривается лишь в рамках определенной предметной области: соответствие найденного способа решению. Личностная оценка есть анализ соответствия целей практического действия средствам их достижения. С этой точки зрения небезразлична грамматическая ошибка, допущенная ребенком в описании условий математической задачи.
Разработка серии специальных задач, где обмениваются цели и средства, в различных предметных областях является необходимым условием формирования навыка, обретающего для ребенка личностный смысл. Именно тогда реализуется полная осознанность совершаемого действия: рефлексия на всю совокупность средств, используемых в задаче.
Такие задачи должны быть сконструированы так, чтобы у ребенка возникли определенные трудности (в осознании условий, описании результатов и т. п.), требующие от него специального обращения к действию со средством.
Источник
Статья «Методы решения математических задач».
I. Роль задач в математическом образовании.
Вооружение учащихся методами и способами решения задач, обучение их самостоятельному поиску решений задач – одна из важных проблем школьного математического образования. Основная цель обучения заключается в том, чтобы научить человека методам решения практических, теоретических задач, которые встретятся ему в жизни, в будущей его деятельности, научить ученика использовать математические подходы для решения задач, возникающие в окружающем его мире, уметь осуществлять поиск, отбор, анализ, систематизацию и классификацию информации.
Наблюдения за работой учителей дают повод считать, что большинство из них в качестве единственного метода обучения решению задач используют показ способов решения определенных видов задач и допускают, что умение школьников решать задачи находится в прямой зависимости от числа решенных задач.
Однако, психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоит в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач. Поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу.
Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче – ее ответ.
II. Методы поиска решения задач.
Существуют различные методы поиска решения задачи. Учащихся желательно знакомить с ними, показывая в каких случаях удобнее использовать тот или иной из них.
Найденное, известное решение задачи обычно излагают синтетическим методом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи быстро и четко. И в дальнейшем, встречаясь с подобными задачами, учащиеся используют уже известный им способ и решают эти задачи синтетическим методом.
Чтобы найти способ решения, пользуются анализом. Синтез позволяет изложить готовое решение, однако ученику при этом трудно понять, как было найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить задачу. Анализ требует большей, чем синтез, затраты учебного времени, но зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно самому догадаться ее решить. Если анализ используется систематически, то у учащихся формируются навыки поиска решения задач. Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик пользуется им при поиске решения задачи, то только до тех пор, пока в его сознании не возникнет идея решения. При решении задач синтезом в сознании человека проводится и анализ, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется, будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу.
Поскольку анализ является неотъемлемой частью решения большинства задач, то ясно, насколько важно обучать школьников процессу анализа. Обучение математике сводится не столько к запоминанию теорем и их доказательств, сколько овладению методами познания.
При решении задач анализ может выступать в двух формах:
1) анализ в расчленения;
2) анализ в форме рассуждения.
Анализ в форме расчленения.
Ознакомление учащихся с этой формой анализа можно осуществлять двумя способами:
а) сообщаем общую схему метода, затем иллюстрируем ее применение на примерах;
б) показываем применение анализа в форме расчленения при решении задачи.
Общая схема анализа в форме расчленения:
1) разбиваем условие задачи на отдельные части;
2) выделяем отдельные условия;
3) из отобранных условий составляем более легкую вспомогательную задачу;
4) решаем ее и, обнаружив идею решения, переходим к данной задаче.
б) анализ в форме рассуждения.
Анализ в форме рассуждения.
Эта форма подразделяется на два вида: восходящий и нисходящий. Ознакомление учащихся с нисходящим анализом лучше начать с его общей схемы.
Общая схема нисходящего анализа
Пусть требуется доказать некоторое утверждение А. Предполагаем, что оно верно, и пытаемся получить из него верное следствие. При этом возможно несколько случаев
1) Получено неверное следствие. Значит, предположение о справедливости А ошибочно. Решение задачи на этом закончено.
2) Получено верное следствие. В этом случае следует обязательно проверить обратимость рассуждений:
а) Если все рассуждения обратимы, то А верно.
б) Если среди рассуждений есть необратимые, то приходиться применять другие методы поиска решения задачи.
3) Если верное следствие получить не удается, то так же приходится перейти к другим методам.
Общая схема восходящего анализа
Пусть требуется доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А. Затем отыскиваем утверждение С, из которого следует В, и т.д. до тех пор, пока находим путь решения задачи.
3. Переформулировка задачи.
При решении задачи с использованием анализа целесообразно четко формулировать, «промежуточные» задачи, возникающие по ходу поиска решения. Такой способ решения называют переформулировкой задачи. Этот способ приводит к следующим удачным методическим ситуациям:
1) Усилия учащихся в каждый момент поиска сосредотачиваются на его ос-новных этапах.
2) Выделяемые вспомогательные задачи разбивают на отдельные логические части. Рассуждение разбивается на этапы, выделяется как бы план поиска решения.
3) При подведении итога решения задачи легче выделить и рекомендовать для запоминания выделенные при поиске решения вспомогательные задачи – теоремы.
В процессе поиска решения задачи важное значение имеет прогнозирование – предвидение тех результатов, к которым может привести поиск. В современной психологии считают, что человек ищет и находит решение задачи на основе непрерывного прогнозирования искомого. Формирование умения прогнозировать предвидеть результаты, к которым приведет каждый отдельный шаг в процессе поиска решения задачи, является важным компонентом развития мышления учащихся. С целью такого развития при обсуждении идеи решения задачи, когда кто-либо из учащихся предлагает воспользоваться той или иной формулой, теоремой, целесообразно добиваться того, чтобы учащийся обосновывал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах указывал, к чему оно приведет.
5. Индуктивный метод.
Как правило, применение индуктивного метода занимает небольшую часть времени. По этой причине от внимания многих учащихся «ускользает» польза применения индукции. Они не успевают заметить, что именно «натолкнуло» их на «догадку». Во многих случаях индуктивный метод желательно сочетать с переформулировкой задачи. Идею решения, возникшую при рассмотрении частных случаев, формулируем в виде промежуточной, вспомогательной задачи. Тем самым более четко оттеняется индуктивный метод и переформулировка задачи. Полезно все задачи разделять на два вида: задачи на освоение теоретического материала и задачи на применение этого материала. К первому виду следует отнести простейшие задачи – упражнения и «одношаговые» задачи на непосредственное использование формул. Последовательность операций для решения таких задач может быть следующая:
1) устанавливаются размеры необходимых элементов (данных или полученных измерением);
2) подставляют эти размеры в формулу.
Сюда можно отнести так называемые «двухшаговые» задачи, в которых требуется найти всего лишь одно данное.
1) записать рабочую формулу и установить, какие данные есть, и каких нет;
2) найти неизвестное данное;
3) подставить в формулу найденный размер.
Эти задачи в некотором смысле имеют воспитательное значение. При их решении необходимо показать, что умение решить задачу предполагает наличие у решающего ее прочных и глубоких знаний теории, знаний ряда теорем, формул и определений. При решении этих задач повторяется большой материал. Ко второму виду следует отнести так называемые «нестандартные» задачи. Психологические исследования показывают, что попутное решение задач на применение изучаемого теоретического материала не эффективно. Лучше их решать, выделяя специальные уроки.
1) разбиение задач на подзадачи;
2) разбиение области задачи на части;
3) сведение задачи к ранее решенным;
4) модельные преобразования задачи.
Для описания деятельности по решению задач различные авторы предлагают различные схемы, от очень подробных до довольно простых и наглядных. Можно рекомендовать учащимся такую короткую схему:
1.Анализ условия задачи.
2. Поиск плана решения.
3. Осуществление найденного плана решения и проверка того, что полу-ченный результат удовлетворяет условию задачи.
4. Обсуждение (анализ) проведенного решения, рассмотрение других возможных решений.
Источник
