Более простой способ определения это

Основные правила составления определения понятия.

Одно и то же математическое понятие может быть определено различными способами. Например, такое простейшее понятие, как «треугольник», в разных учебниках по математике определяется по-разному:

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трех звеньев»;
Многоугольник, имеющий три стороны, называется треугольником;
Если А, В и С — любые три точки, не лежащие на одной прямой, то объединение трех отрезков АВ, ВС и АС называется треугольником.

Все эти определения, как и ранее приведенное, правильные. Однако иногда, воспроизводя определения, имеющиеся в учебнике, или строя определения самостоятельно, ученики и, не только они, допускают разные ошибки. Чтобы строить и воспроизводить определения математических понятий правильно, нужно знать основные требования к логическому определению понятий.

Рассмотрим эти требования, попутно указывая наиболее часто встречающиеся ошибки в определении математических понятий.

Определения должны быть научно правильными.

Это означает, что, определяя то или иное понятие, надо это сделать так, чтобы не исказить научный смысл этого понятия. Так, например, смысл понятия «отношение» (в математике) состоит в том, что оно есть какое-то число. Между тем иногда это понятие определяют так: «Отношение есть сравнение двух чисел или величин посредством деления». Но сравнение есть некоторый процесс, а не число. В данном случае неверно выбрано родовое понятие и тем самым искажен научный смысл определяемого понятия. Другой пример. Иногда приходится слышать от ученика такое определение: «Абсолютной величиной, или модулем числа, называется это число без знака». Получается, что существуют какие-то числа без знака, но таких чисел (кроме нуля) математика не знает: в математике рассматриваются лишь положительные, отрицательные числа и нуль, других чисел нет. Если число написано без знака, то это положительное число, а не какое-то «беззначное». Поэтому приведенное определение неверное.

Определения не должны содержать «порочного круга».

Один ученик на вопрос, что такое умножение, например, ответил: «Умножением называется действие отыскания произведения». Когда же его спросили, а что такое произведение, он с уверенностью заявил, что это результат умножения. Следовательно, у этого ученика получается, что умножение определяется через понятие произведения, а произведение через понятие умножения. Получается «порочный круг» в определении. Ясно, что такой способ определения является грубо ошибочным. Еще пример ошибки «порочного круга» в определении: «Угол называется прямым, если его стороны перпендикулярны» и «Прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые углы». Схему этих двух определений можно изобразить так.

Как видим, эти определения действительно образуют «порочный круг». Следовательно, строя определения математических понятий, надо следить за тем, чтобы они не образовали друг с другом «порочного круга».

Определение должно содержать указание на ближайшее родовое понятие.

Как бы ни было построено определение математического понятия, в нем должно быть указано ближайшее родовое понятие к определяемому понятию. Нарушение этого требования приводит к различным ошибкам. Так, например, иногда учащиеся, формулируя определения, вовсе не указывают родовое понятие. На вопрос, какие фигуры называется равновеликими, они отвечают: «Это если две фигуры имеют равные площади». Что означает «это», можно лишь догадываться. Или: на предложение сформулировать определение равнобедренных треугольников, иногда можно услышать такой ответ: «Это такие, у которых две стороны равны». Такая небрежность в формулировке определений недопустима. Другой тип ошибок связан с тем, что в определении указывается не ближайшее родовое понятие, а более широкое. Вот пример такого определения: «Параллелограмм есть фигура, у которой противоположные стороны параллельны». В этом определении указано не ближайшее для параллелограмма родовое понятие — «четырехугольник», а более далекое, более широкое — «фигура». И тем самым это определение становится неверным, ибо фигурой, у которой противоположные стороны параллельны, может быть не только параллелограмм, но и, например, правильный шестиугольник. Или другой пример. Давая определение диаметра круга, ученик сформулировал его так: «Диаметр круга есть прямая, проходящая через центр круга». Ученик указал в качестве родового понятия прямую, а ведь диаметр — это не вся прямая, а лишь отрезок прямой.

Определение не должно быть тавтологией, т. е. повторяющей в иной словесной форме ранее сказанное.

Сущность такой ошибки заключается в том, что понятие определяется через само себя. Вот примеры тавтологии в некоторых определениях: «Сложением называется действие, при котором числа складываются»(здесь сложение определено через понятие «складывание», что одно и то же). «Фигура А называется симметричной фигуре В, если они расположены симметрично относительно оси симметрии» (здесь «симметричные фигуры» определены через понятие «фигуры, расположенные симметрично»). Ясно, что такие определения являются грубо ошибочными.

Определение должно быть достаточным.

Это означает, что в определении должны быть указаны все признаки, позволяющие однозначно выделить объекты определяемого понятия. Если же это требование нарушается, то под определение можно подвести не только объекты определяемого понятия, но и другие объекты. Так, например, иногда ученики дают такоеопределение смежных углов: «Смежными называются углы, которые в сумме составляют 180°». Недостаточность этого определения становится очевидной, если взглянуть на рисунок. На нем изображены две пары углов, сумма которых равна 180°, но они не смежные. Ошибка здесь в том, что указано лишь одно свойство смежных углов, оно недостаточно для их определения. Можно было бы, например, так определить их: «Смежными называются два угла, имеющие общую сторону, которые расположены в разных полуплоскостях от этой общей стороны и в сумме составляют 180°».

Например, медиану треугольника определили следующим образом: «Медианой треугольника называется отрезок, делящий его сторону пополам». Очевидно, что и в этом определении указано недостаточное число признаков медианы. Поэтому под это определение подходят не только медиана треугольника, но и средняя линия (ведь и она делит сторону треугольника пополам) и вообще любой отрезок, делящий сторону треугольника пополам. Для построения правильного определения медианы треугольника надо добавить еще и такой признак: «Медиана выходит из вершины треугольника». Тогда получаем такое правильное определение: «Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны».

Определение не должно быть избыточным.

Это означает, что в определении не должно быть указано лишних признаков, являющихся следствием других признаков определяемого понятия. Например, весьма часто встречается такое определение ромба: «Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны между собой». Это определение явно избыточное, ибо достаточно равенства двух смежных сторон параллелограмма для того, чтобы были равны все его стороны. Следовательно, правильнее определять ромб следующим образом: «Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны». Вот другой пример: «Диаметром круга называется наибольшая хорда, проходящая через центр круга». Здесь первый признак «наибольшая» является следствием второго признака «проходящая через центр», а второй является следствием первого. Поэтому правильное определение такое: «Диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга» или: «Диаметром крута называется наибольшая хорда».

Мы указали лишь основные требования к определению математических понятий и привели примеры ошибок, возникающих при нарушении этих требований. Для того чтобы избежать таких ошибок, надо знать эти требования, учитывать их при формулировании тех или иных определений, учиться строить правильные определения.

Источник

Как давать определения?

Поскольку как аналитики мы вынуждены давать определения постоянно, неплохо было вспомнить эти правила.

Почему я так серьезно рассматриваю тему определений? Потому что регулярно встречаю определения, пользоваться которыми на практике невозможно. И тенденции к улучшению я не вижу. Для начала разберем термин процесс по аналогии с тем, как в прошлой статье мы разобрали термин система.

Я видел множество определений процесса, каждое из которых противоречит другому. Вот одно из них:

Процесс — это совокупность последовательных действий, направленных на достижение определенного результата.

Причина противоречий в том, что одним термин «процесс» обозначает очень много разных понятий (я досчитал в свое время до 30-ти и остановился), а определений ему стараются дать только одно. Если бы все они были перечислены отдельно, было бы 30 определений разных понятий, обозначенных одним словом.

Хорошо, если слово имеет всего несколько смыслов, которые легко читаются из контекста. Например, смысл термина «коса» легко угадывается из контекста. Значения этого термина украшают книгу Сахарного.

Хуже, если из контекста мы не можем понять, о каком понятии идет речь, как, например, происходит с термином конструкция, который я разбирал в прошлой статье Понятие системы и конструкции. Их место в проектировании информационных систем. Проблема его в том, что не ясно, что сейчас имеется ввиду: объект, или множество объектов, потому что и то и другое обозначено одним именем: конструкция. Например, если сказать, что взвод окопался, то понятно, что в данном контексте речь идет о системе взвод, рассматриваемом нами как объект. Если же сказать, что взвод состоит из 20 бойцов, то речь идет о взводе, который рассматривается нами как множество объектов. При этом первое значение термина «взвод» никак не связано со вторым значением того же слова «взвод». Однако, если не уточнять контекст, то невозможно понять, о чем сейчас идет речь: о множестве, или об объекте? Как сказал наш знакомый филолог, тема известная, и произошло так не случайно. Чтобы не перегружать язык лишними терминами, некоторые из них могут обозначать разные понятия. Однако, при формализации высказываний, мы сталкиваемся с трудностями перевода, поскольку тут мы вынуждены различать их явно.

Еще хуже, когда понятий два, а определение одно, как произошло с термином система. У системных инженеров отняли одно из определений термина система, и я не знаю, как они теперь их различают. И совсем плохо, когда понятий много, а определение одно, как у термина процесс. Это и функция, и функциональная структура, и класс функций, и тип функций, и операция, и последовательность операций, и типовая последовательность операций, и класс последовательностей операций, и класс операций и тд. В итоге, почти все, кто занимаются процессным подходом, не могут отличить функцию от сценария, не могут сказать, что они моделируют при помощи нотации IDEF0, чем модели в нотации IDEF0 отличаются от моделей в нотации BPMN, а модели в нотации BPMN от диаграмм Ганта. Поэтому каждый раз, когда я слышу этот термин, сильно напрягаюсь, потому что для его перевода мне приходится одновременно держать в сознании все множество возможных понятий, чтобы из контекста понять, о чем сейчас говорит собеседник. Очень часто собеседник использует термин процесс в разных смыслах, иногда в одном предложении. Понять такого собеседника невозможно, а разговор можно прекращать. Есть и другая ошибка, когда термин процесс, обозначающий функцию, противопоставляют термину функция, обозначающему функцию. И говорят буквально следующее: видите, функция — это плохо, а процесс (в смысле функции) — хорошо. Фактически, на этой эквилибристике терминами основана манипуляция с «изобретением» процессного подхода в управлении. О том, как это выглядит со стороны, я расскажу в отдельной статье, ведь теперь, после определения термина конструкция, у нас есть все необходимое для этого.

В данной статье я рассмотрю лишь небольшой фрагмент, касающийся определения термина «процесс» в той его части, которая перекликается с текущей темой разговора: конструкциями и правилами подачи определений.

Напомню, что процессом мы решили называть совокупность последовательных действий, направленных на достижение определенного результата. Совокупность, состав и проч. — это обозначение множества. То есть, в данном определении процесс определен как множество объектов — действий. Сам термин действие не прост, но мы пока оставим его в стороне. Пока посмотрим на следующий тезис: множество действий кем-то направлено на достижение результата. Понятно, что множество не может обладать таким свойством. Множество может обладать свойствами: количество элементов в множестве, средняя продолжительность действий, входящих в данное множество и тд. (Это ровно то же, что мы видели в определении термина поезд. Это — множество вагонов, ведомых локомотивом. Понятно, что множество не может двигаться. Двигаться могут элементы этого множества, или синтезированный из этого множества объект. Когда мы говорим, что поезд движется, мы имеем ввиду, что движется объект, а не множество). В определении процесса направить на результат можно лишь тот объект, который синтезирован из последовательности действий. Следовательно, когда речь идет о направлении объекта на результат, имелся ввиду процесс как объект. Получается, что процессу, как объекту определение не дано, а ссылка на него имеется. Узнаете проблему с определением системы? Термины система, конструкция, процесс одновременно обозначают и множество объектов, и объект. Если в определении конструкции эти понятия разведены, то в определении системы, а теперь, как мы видим, и процесса — они слиты в одном флаконе. Но не стоит пенять только на эти определения. Все определения в словарях грешат этим. В них дается только одно определение термина, но не указывается другое. Например, когда говорят, что самолет — это транспортное средство, не говорят, что самолет — это множество <хвост, фюзеляж, крылья, шасси, моторы>. Когда говорят, что поезд — это множество вагонов, не говорят, что поезд — это транспортное средство. Наш знакомый филолог подтвердил, что в лексикографии эта проблема известна. Если она известна филологам, то почему мы о ней ничего не знаем? И как наше незнание влияет на то, как мы строим модели?

Синтез самолета как множества порождает самолет как объект. Синтез поезда как множества вагонов порождает поезд как объект. Синтез последовательности действий порождает что? Что такое процесс как объект? Для себя я решил, что это действие. То есть, как функции при синтезе порождают функции, так и действия при синтезе порождают действия. По аналогии с конструкцией процесс определяет два разных понятия:

Процесс — это множество последовательных действий, синтез которых образует действие, направленное кем-то на достижение определенного результата.
Процесс — это действие, направленное кем-то на достижение определенного результата, конструкция которого может быть представлена в виде множества действий.

Поскольку любое действие можно разделить на действия, то второе определение можно упростить. Получится:

Процесс — это действие, направленное кем-то на достижение определенного результата.

Мы получили ту же проблему, что и с определением термина система. Как мы выяснили, все объекты — это системы(о), а теперь мы поняли, что все действия — это процессы(о). Именно поэтому я бы не стал бы называть системой объект, а действие процессом. Я бы сказал, что есть объекты и их конструкции. Тогда мы смогли бы давать разные определения самолету и его конструкции, поезду и его конструкции явно.

Разобравшись с первой задачей, перейдем ко второй. Нам надо определить, что значит «направленное кем-то на достижение определенного результата»? То есть, в определении явно заложена субъективная точка зрения. Кто-то должен нам сказать, направлено ли данное действие на достижение результата, или нет? В любом определении есть ссылка на субъект. Например, плавательное средство — это объект, на котором можно плавать. Но кто решает, можно ли плавать на объекте? Какой-то субъект. До тех пор, пока все сходятся в том, что на данном объекте можно плавать, мы можем отнести его к плавательным средствам. Но как только появляется субъект, который скажет, что этого делать нельзя, у нас возникнет проблема: можно ли назвать этот объект плавательным средством, или нельзя? Если в плавательным средством мы можем еще договориться и случаи, когда лодку не признают плавсредством, можно пересчитать по пальцам, то с действиями все не так однозначно. Часто можно услышать что действие, со стороны одного стейкхолдера проекта считается полезным, а с точки зрения другого — нет. Если действие бесполезно, то его нельзя назвать процессом. Получается, что действие в одной ИС может одновременно быть и процессом и не быть оным. Ничего страшного в этом нет, но представьте себе ситуацию, когда заказчик знает, что действие бессмысленно, вредно, но он просит нас автоматизировать его. Может он идиот? Не знаю. Но как нам назвать то, что он просит нас автоматизировать? Процессом уже нельзя. Как называется действие, не направленное никем никуда?

Пришла пора вспомнить книгу Сахарного. Он пишет, что для определения нового понятия мы должны:

Назвать надкласс объектов. Например, мы говорим, что стул – это мебель. Мебель — это более широкий класс объектов, чем класс стульев.
Указать отличительные особенности (дифференциальные свойства) объектов данного класса от объектов более общего класса. Например, стул – это объект, у которого есть четыре ножки и спинка.
Описать класс задач, выполняемых функций и тд., решаемые (выполняемые) этими объектами: стул предназначен для сидения. Эти задачи должны объяснить, зачем были выделены указанные ранее дифференциальные признаки: 4 ножки – для устойчивости (а почему не три?) спинка – чтобы не напрягать спину при сидении на стуле и тд.
Описать ограничения, которые накладывают дифференциальные признаки на решаемые задачи, выполняемые функции. Например, в стуле нельзя хранить вещи.

Пример хорошего определения -это определение материальной точки, данное в физике. Материальная точка – это материальный объект, чьим размером в рамках решаемой задачи можно пренебречь.

Надкласс – это материальные объекты.
Дифференциальные свойства: с точки зрения субъекта размер материального тела равен нулю в отличие от других тел.
Решаемая задача – расчет траектории движения материального тела. Причина дифференциального свойства – упрощение вычислений.
Ограничения перечислять не буду, потому что в хороших учебниках физики много времени уделяется вопросу, когда можно представить материальное тело в виде точки, а когда – нет.

Кроме того, поскольку один и тот же предмет можно классифицировать разными способами, то полное определение понятия должно включать максимально подробное описание каждого такого надкласса, и дифференциальных свойств. Например, гидросамолет может быть трактован как подкласс самолетов и подкласс плавучих средств. В определении гидросамолета необходимо указать оба эти надкласса и объяснить дифференциальные свойства гидросамолетов, отличающих их от самолетов и лодок.

Вернемся к определению процесса(о). Напомню, что Процесс — это действие, направленное кем-то на достижение результата.

Надкласс процессов — класс действий
Дифференциальный признак — направленность на достижение результата.
Цель введения дифференциального признака мне неизвестна. Круг задач, которые помогает решить этот признак, — тоже не ясен.
Ограничения: если два стейкхолдера не сходятся во мнении насчет полезности действия, его нельзя назвать процессом.

Что меня смущает в этом определении? То, что не ясен гешефт от ограничения, накладываемого на действие: направленность на результат? Какой класс задач решается проще, если мы себя ограничиваем этим довольно тесным ограничением? Ответ: никакой! То есть ограничение есть, а гешефта — нет. Бессмысленное и вредное ограничение. Вот к этому тезису я подводил вас все это время. Есть определения, которые не дают нам ничего, кроме проблем. Они бессмысленны и контрпродуктивны. Нет смысла вводить ограничение, если оно нам не помогает решить наши задачи.

Теперь про эмерджентность систем. Кто-нибудь знает, в чем гешефт от этого ограничения? Какой класс задач решается проще, если система признана эмерджентной?

Какой гешефт мы имеем от того, что ограничиваем количество объектов в конструкции больше одного? почему нельзя рассмотреть конструкции с нулевым количеством элементов, или с одним элементом?

Источник