Бесконечная числовая последовательность способы задания свойства

Содержание

Бесконечная числовая последовательность способы задания свойства
Лекция по теме»Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.»
Задание последовательности формулой ее общего члена

Бесконечная числовая последовательность способы задания свойства

Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется числовая функция `x=x(n)`, определённая на множестве `N` натуральных чисел.

Аргумент `n` этой функции записывается в виде индекса, т. е. вместо записи `x(n)` используют запись `x_n`, а саму последовательность часто обозначают `(x_n)`. Число `x_n` называют `n`-м (читается: энным) членом последовательности `(x_n)`. Задать последовательность означает задать правило, по которому каждому натуральному `n` сопоставляется действительное число `x_n`. Приведём примеры.

(1) `1`; `1`; `1`; `. ` (т. е. `x_n=1` для всех `n in N`);

(2) `1^2`; `2^2`; `3^2`; `. ` (т. е. `x_n=n^2` для всех `n in N`);

(3) `1`; `1/2`; `1/3`; `. ` (т. е. `x_n=1/n` для всех `n in N`);

(4) последовательность, `n`-й член которой равен `n`-му знаку после запятой в десятичной записи числа `8/33`;

(5) последовательность, `n`-й член которой равен количеству простых чисел, не превосходящих `n`;

(6) `x_1=1`, `x_2=1`, `x_n=x_(n-1)+x_(n-2)` для всех `n>=3` (последовательность Фибоначчи).

Как видим, последовательности задаются различными способами. Например, указывается формула `n`-го члена (примеры (1) – (3)). Закон соответствия между номером `n` и членом `x_n` может быть описан словесно (примеры (4) – (5)). Последовательность может быть также задана рекуррентным соотношением: даны несколько первых членов последовательности и формула, выражающая следующие члены последовательности через предыдущие (пример (6)).

Легко убедиться, что в примере (4) `x_1=2`, `x_2=4` `x_3=2`, `x_4=4` и т. д., т. е. `x_n=3+(-1)^n`. В примере (6) формулу `n`-го члена найти сложнее:

А вот явную формулу `n`-го члена последовательности (5) написать невозможно. Тем не менее, многие её свойства установлены и без формулы.

Напомним два важных примера числовых последовательностей: арифметическая и геометрическая прогрессии. Геометрическая прогрессия – последовательность, заданная рекуррентно соотношением `x_(n+1)=x_nq`, первым членом `x_1!=0` и знаменателем `q!=0`. Арифметическая прогрессия – последовательность, заданная равенством `x_(n+1)=x_n+d` и первым членом `x_1`.

Найти формулу `n`-го члена последовательности, заданной рекуррентно:

Рассмотрим вспомогательную последовательность `y_n=x_n+a`, где число `a` подбирается так, чтобы последовательность `y_n` была геометрической прогрессией. Подставляя `x_n=y_n-a` и `x_(n+1)=y_(n+1)-a` в рекуррентное соотношение, имеем `y_(n+1)-a=2(y_n-a)+1`, т. е. `y_(n+1)=2y_n+(1-a)`. Последовательность `y_n` будет геометрической прогрессией, если `1-a=0`, т. е. `a=1`. Поскольку `y_1=x_1+a=3/2`, формула общего члена геометрической прогрессии `y_n`запишется так:

Источник

Лекция по теме»Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.»

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Сформировать понятие последовательности;

Рассмотреть способы задания и свойства числовых последовательностей.

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :

Элемент называется первым членом последовательности , — вторым, . , — -ым или общим членом последовательности .

Задание. Для последовательности определить, чему равен третий член

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что

Ответ.

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

Задание. Найти формулу общего члена последовательности

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

Таким образом, делаем вывод, что

Ответ. Формула общего члена:

Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой -го члена:

Решение. Для того чтобы найти , подставим в формулу общего члена значение . Получим:

Ответ.

Задание. Проверить, являются ли числа и членами последовательности

Решение. Число является членом последовательности , если существует такой номер , что :

Таким образом, число является первым и пятым членами заданной последовательности.

Проверим теперь, является ли число членом указанной последовательности . Рассуждая аналогично, как и для , получаем:

Таким образом, уравнение не имеет решение в натуральных числах , а значит, не является членом последовательности

Ответ. Число является первым и пятым членами заданной последовательности, а не является членом последовательности .

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

Пример. y _n = 2 n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

«Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

«Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3.Рекуррентный способ задания последовательности.

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член последовательности и известно, что , то есть и так далее до нужного члена.

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

Задание. Последовательность задана при помощи рекуррентного соотношения . Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

Аналогично находим далее, что

и так далее.

1. Что называется числовой последовательностью?

Ответ : Множество чисел, элементы которого можно пронумеровать.

2. Приведи пример числовой последовательности.

3. Что называется членами числовой последовательности?

Ответ : Числа, составляющие числовую последовательность.

4. Что такое общий член числовой последовательности?

Ответ : ап называется общим членом последовательности ,а саму последовательность коротко обозначают через <ап>.

5. Как обозначают числовую последовательность?

Ответ : Обычно числовую последовательность обозначают малыми буквами латинского алфавита с индексами, указывающими на номер этого члена в последовательности: а ₁ ,а ₂ ,а ₃ ,а ₄ ,….,а _п ,…

5. Когда числовую последовательность считаются заданной?

Ответ : Если мы можем указать любой член последовательности.

Напишите первые пять членов последовательности.